课程概览本章在“两点确定一条直线”的基础上由浅入深地探

课程概览本章在“两点确定一条直线”的基础上由浅入深地探讨了确定直线的另一种方法，即由直线l向上方向与x轴正方向所夹角α(倾斜角)和l上一点可唯一确定一条直线，即确定一条直线有两种方法：一种是由两点确定一条直线，另一种是由一个点和这条直线的倾斜角确定一条直线.在此基础上，讲述了直线平行与垂直的判定，接下来讲述了直线方程的几种形式：

(1)点斜式.已知直线l上一点和l的斜率可以用点斜式，特别地，如果在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可写成y＝kx＋b.(2)两点式.已知直线上不同的两点，可用两点式写出直线方程.(3)一般式.以上的直线方程都可以写成形如Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)的形式，把这种形式称为直线方程的一般式.最后，给出了直线交点坐标的求法以及距离公式.这里的距离公式包括任意两点间的距离、点到直线的距离，以及两条平行线间的距离.总之，这部分内容对今后学习直线与圆以及直线与圆锥曲线有着直接的影响，一定要牢固掌握.学法点津

1.理解解析几何研究问题的基本思想和方法解析几何研究问题的基本思想和方法是通过建立坐标系，用代数方法研究图形的几何性质.首先将几何问题转化为代数问题，然后处理代数问题，再分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，要初步形成用代数方法解决几何问题的能力.2.要准确理解概念直线的倾斜角和斜率是本章的重点和难点，要仔细体会定义，要在解题中不断提高对概念的理解能力.3.要注意知识的联系与运用学习本章的过程中要注意知识的联系与运用，比如代数知识、三角知识、平面几何知识等.4.要注意数形结合思想的形成和应用本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系.3.1.1倾斜角与斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.1.直线的倾斜角(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取

作为基准，x轴

与直线l

之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.①当直线与x轴

时，它的倾斜角为0°；②当直线与x轴

时，它的倾斜角为90°.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为

.x轴正向向上方向平行或重合垂直[0°，180°)一条直线的倾斜角可以是－60°吗？参考答案：不能，因为直线倾斜角的范围是[0°，180°).2.直线的斜率(1)定义：对于倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的

叫做直线的斜率，记作k＝tanα；倾斜角为90°的直线的斜率不存在.(2)斜率的求法：①定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tanα.正切值直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？参考答案：这句话是不对的，当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°<α<180°时，k<0，并且随α的增大k也增大.过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时直线的倾斜角和斜率怎样？参考答案：直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1.直线的倾斜角α与斜率k之间的关系斜率和倾斜角的关系是本节命题的热点，它们之间的关系是“数与形”的关系，斜率是一个数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，因此α与k之间不是一一对应关系.(1)对应关系当α＝90°时，直线不存在斜率；当α≠90°时，k与α是一一对应关系，k＝tanα，(2)变化情况①当0°≤α<90°时，随α的增大，斜率k在[0，＋∞)范围内增大；②当90°<α<180°时，随α的增大，斜率k在(－∞，0)范围内增大.1.倾斜角的理解(1)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到直线重合时所成的角.(2)倾斜角直观地描述表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.2.斜率的理解直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).例1

设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

)A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时为α＋45°，当135°≤α<180°时为α－135°[解析]

倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即当0°≤α<135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α<180°，所以当135°≤α<180°时l1的倾斜角为α－135°(如右图).故应选D.[答案]

D[评析]

(1)倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的非负角.(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.如图，有三条直线l1，l2，l3倾斜角分别是α1，α2，α3则下列关系正确的是(

)A.α1>α2>α3B.α1>α3>α2C.α2>α3>α1D.α3>α2>α1[解析]

由图知α1∈(0°，90°)，α2＝90°，α3∈(90°，180°)，∴α3>α2>α1.[答案]

D例2

如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率.[分析]

由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1、k2可求.[评析]

(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180°－α)＝－tanα是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线的斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.由这个公式可知，若α为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，则有：0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝0°⇔k＝0；α＝90°⇔k不存在.如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，其中l1∥l4，则(

)A.k1<k2<k3<k4B.k1＝k4<k2<k3C.k3<k2<k1＝k4D.k4＝k1<k3<k2[解析]

本题以斜率与倾斜角的关系为载体考查图形语言，即识图能力.由l1与l4平行，知l1与l4的倾斜角相等，所以斜率相等，故排除A项.从图上可知l3的倾斜角比l2的倾斜角小，并且是小于90°的角，所以k2>k3>0，而l1与l4的倾斜角是钝角，故k1＝k4<0，通过以上的分析可知D项是正确的.[答案]

D斜率公式有两种形式：一是用倾斜角的正切值表示；二是用两点的坐标表示.在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记.题目中凡涉及直线上的点与倾斜角的问题，要用斜率的两个公式把它们联系起来.但要注意应用斜率公式的条件，即α≠90°，两点坐标表示中要求x1≠x2.例3

(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；(2)设m>0，斜率为m的直线上有两点(m,3)和(1，m)，则此直线的倾斜角为________.[分析]

(1)根据斜率的定义可得直线的斜率，再根据过两点的直线的斜率公式可求得y的值；(2)中直线的斜率是存在的，所以不必对两点的横坐标的取值分情况讨论，利用斜率公式列方程求出m，再根据斜率的定义及倾斜角的范围便可得到倾斜角的大小.利用斜率证明三点A、B、C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，AB，AC又都过点A，所以直线AB、AC重合，从而说明A，B，C三点共线.例4

已知A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)三点在同一条直线上，求a的值.[评析]

由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线⇔A，B，C中任意两点的斜率相等(如kAB＝kAC).斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.求证：A(1，－1)，B(－