大学物理第22章量子力学基础知识

人们很早就认识到构成世界的物质有两种：实物Matter和场Field。前者的例子有电子质子，后者的例子有电磁场。电磁场表现出了粒子性的一面（光子），并得到光电效应和康普顿散射的证实。那么对于实物粒子，我们很容易想到是不是以前过分强调粒子性的一面而忽略了实物波动性的一面呢？第二十二章量子力学基础知识一切实物粒子也具有波粒二象性：既是粒子也是波——物质波或德布罗意波。物质波的波长、频率与能量、动量满足下面的德布罗意关系：一、DeBroglie物质波假设§22.1波粒二象性wave-particleduality两式中左边反映波动性，右边反映粒子性。刚好与爱因斯坦的光量子假设相反。公式中的E和p并未指定是牛顿力学还是相对论力学中的能量和动量，所以需要我们自己判断。两个式子中，我们更加关注德布罗意波长和粒子动量关系的公式。LouisdeBroglie1892～19871924年，法国物理学家DeBroglie向巴黎大学提交的一篇博士论文中，提出了物质波的假设。

氢原子中电子作圆周运动，它所对应的物质波形成驻波时才是稳定的。因此，圆周长应等于波长的整数倍。DeBroglie波与Bohr的量子化条件

电子波动反映到原子中，为驻波。当受到微扰时，波保持稳定，如同金、银等金属化学性质一般保持稳定一样。DeBroglie波长公式

当质量为m的粒子运动速度v<<c时，可以用牛顿力学处理，物质波波长为但如果速度为v~c，必须使用相对论公式：我们常常碰到的是带电(电量q)粒子，从静止开始受到加速电压U的作用具体到考虑加速电压U为多少可以忽略相对论效应？如果是电子U小于百万伏特就可以例1：电子静止质量m0=9.110-31Kg，以v=6.0106m/s速率运动。质量m=50Kg的人，以v=15m/s的速度运动，试比较电子与人的DeBroglie波长。解：电子和人的DeBroglie波长分别为：

电子的DeBroglie波长与X射线接近，人的DeBroglie波长仪器根本观测不到。可见，宏观物体的波动性根本不必考虑，只考虑其粒子性。例2：两束电子动能分别为100eV和200eV，求电子的DeBroglie波长。解：电子的DeBroglie波长分别为：电子的DeBroglie波长与X射线接近，其波动性不能忽略。①Davisson-Germer的电子衍射实验

1927年美国物理学家C.J.Davisson与G.P.Germer用电子衍射实验证实了电子具有波动性。实验装置示意图如下：二、物质波的实验验证

要想从实验上观察到物质波，必须波长孔隙线度可比拟从而产生衍射现象。由上面的计算可知，任何宏观物体的物质波实际上都无法通过衍射观察，但是能量为～102eV的电子其德布罗意波长与X射线同量级，X射线能观察到衍射，电子打在晶体上也应当能观察到电子的衍射。真空电子枪掠射角INi单晶U此实验验证了电子具有波动性。实验装置如图示。灯丝K发出的电子束通过狭缝D后，略入射到镍单晶体上。假如电子具有波动性，应满足布喇格公式

在散射角不变时，测量在不同加速电压下经晶体散射后的电子束（电流）的强度。实验发现电子束（电流）的强度具有明显的选择性。如：仅当时，电流才有极大值。②GPThomson的电子衍射实验1927年英国物理学家GPThomson（JJThomson之子）也独立地完成了电子多晶体衍射实验。灯丝K发出的电子束经加速后通过狭缝（～keV），垂直投射到多晶薄片上，穿过薄片后在底片上形成衍射图样。screenpoly-crystalfilmultra-highvoltagegridcathode由此L.deBroglie获1929年Nobel物理奖G.P.Thomson与C.J.Davisson共获1937年Nobel物理学奖。后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波动性，并都满足德布罗意关系。三、物质波的统计解释

德布罗意波理论得到实验支持后，怎么解释实物粒子的波动性质，或者说如何看待波粒二象性，成为当时物理学界的一个重大争论问题。物质波对应什么物理量在波动？物质波是电磁波还是机械波？物质波满足什么波动方程？经过物理学家之间的反复论战，大部分人都同意波恩的观点：物质波是一种概率波，而不是经典的波动。波粒二象性是单个粒子所具有的固有属性。下面我们来讨论一下电子的双缝干涉实验。1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样单电子双缝衍射实验：7个电子100个电子30002000070000

说明衍射图样不是电子相互作用的结果,它来源于单个电子具有的波动性。每个电子到达屏上各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的统计结果。粒子观点电子密处，概率大电子疏处，概率小

物质波的统计意义：某处物质波的强度与粒子在该处邻近出现的概率成正比。怎样理解微观粒子的二象性：1粒子性指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，应抛弃“轨道”的概念！2波动性指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等现象。但不是经典的波！因为它没有某种实际物理量（如质点的位移、电场、磁场等）的波动。少女？老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一体中，却不能同时表现出来。§22.2波函数波函数

描述具有波粒二象性的微观物体状态的函数称为波函数。如果知道了某微观物体的波函数后，原则上确定该物体的全部物理性质。波函数一般是时间和空间坐标的复数函数。一、波函数

随着旧量子论的出现，经典物理的概念越来越难以描述微观现象，矛盾随处可见，物理学家们都很困惑。1925~1928年，在物质波理论成功的激励下，Heisenberg、Born、Schrödinger、Dirac等人终于建立了一套完全革命性的理论量子力学。在量子力学中用复数表达式：

沿X方向匀速直线运动的自由粒子，动量、能量恒定不变。按照DeBroglie关系，此物质波的波长和频率也保持恒定不变，即为平面单色波，其波函数写作：

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间的二元函数。一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程：取实部Eulerformula应用DeBroglie关系，上式可改写成为：进而，沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为：

自由粒子的能量和动量为常量，其德布罗意波是平面单色波。

对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。

外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。

微观物体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。

空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；

在该处单位体积内发现粒子的概率（即概率密度）与波函数的模的平方成正比，并取比例系数为1，即：德布罗意波又可以被称概率波probabilitywave二、波函数的统计解释

设描述粒子运动状态的波函数为，则：的共轭复数是MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了对波函数的统计解释1954年获诺贝尔物理奖。rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度

在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中粒子出现的概率为1。此条件称为波函数的归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。故在矢端的体积元内发现粒子的概率为：波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件YYYYXOXOOXOX连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定单值；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；德布罗意波（物质波）经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。

因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度

因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则各处的能流密度增大C2倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。2.物质波与经典波的异同例1：已知粒子的波函数为，c是待定实数。求发现粒子概率最大的位置和粒子出现在[0,1]上的概率。发现粒子的概率为：令导数为零能求吗？解：先定归一化系数c发现粒子概率最大处为发现粒子出现在[0,1]概率为

在经典力学中，宏观物体（粒子、质点）某一时刻的运动状态，我们可以确定的坐标和确定的动量来描述。那么，对具有波粒二象性的微观粒子，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？

Heisenberg首先提出，由于微观粒子具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量。后来玻恩按照波函数的统计解释给出了严格的证明，使其表述更为准确，最后这一关系成为了量子力学的基本假设之一。

§22.3不确定关系

海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）德国理论物理学家。他在1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，于1927年提出的不确定关系，奠定了量子力学的基础。因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖。

由于使用波函数来描述微观粒子的状态，粒子的位置出现在空间各点的概率就可以用来计算，这样的结果告诉我们，粒子位置具有一个不确定度，同样粒子的动量分布也可以计算出一个不确定度这两个量：同一时刻的坐标和动量的不确定度是否有某种联系呢？我们首先定性分析一个例子：1.定性分析位置不确定度波包可用若干不同波长平面波叠加得到，波长不是单一的，有一个波长分布范围。根据德布罗意关系动量也有一定的不确定度

量子力学可严格证明，一维微观粒子坐标和动量的不确定度之积为：即：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述，这就是Heisenberg不确定关系，以前叫测不准关系），如果是三维情况：2.不确定关系uncertainlyrelation在做数量级估算的时候，不等式右方还可以出现、、在量子力学中，能量和时间也存在着一组关系：3.不确定关系的理解坐标和动量不能同时具有确定的数值；坐标或动量越准确，则与之对应的量就越不确定。坐标或动量具有完全确定的值时,与之对应的量将具有完全不确定的值。测不准关系是由于微观粒子的波粒二象性决定的，并非由于实验仪器、实验技术和方法的不精确所致，即使是无误差的理想实验，也不能排除量子体系固有的这一特性。测不准关系与Bohr轨道概念不相容。这里的坐标或动量都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。时间与能量的不确定关系表示出了粒子能量与其寿命确定程度互相制约的关系。②关于时间与能量关系根据能量和时间的不确定关系，可以解释原子谱线的宽度。基态：非常稳定第一激发态：能量和基态比要高，所以不稳定，存在一个寿命τ。完全确定；所以，电子从第一激发态E1向基态Eo的跃迁，所发出的光谱线一定有宽度，或者说波长有一个范围。其它高激发态也一样。存在一个范围。③普朗克常量h的物理意义

如同光速c的量级规定了Newton力学的适用范围，把它与相对论划分开来，Planck常数的量级从另一个方向规定了Newton力学的适用范围，并把经典理论同量子理论划分开来。在任何具体的问题中，如果相对说来，可以忽略不计，那么坐标和动量就可以同时确定，经典理论适合这样的问题；如果的大小不能忽略，那就必须使用量子理论。例：若电子与质量m

=0.01Kg

的子弹，都以200m/s的速度沿x

方向运动，速率测量相对误差在0.01%内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度△x

。解：（1）电子位置的不确定度。由于电子动量不确定度为（2）子弹位置的不确定度。由于子弹动量不确定度为例：讨论电子的单缝衍射实验中的不确定关系。如果我们仍用坐标和动量描述电子的运动，那么当电子通过狭缝的坐标x为多少？对此我们无法准确知道，不确定范围为：

衍射电子的动量大小无变化，但方向改变了。由于衍射后，大部分电子落在两个一级暗纹之间，因此，由暗纹条件电子动量在x方向的不确定度为：一级暗纹满足关系：由DeBroglie关系:

由于电子经狭逢衍衍射后，并不完全出现在一级明纹处，考虑次级明纹后，应有：§22.4Schrödinger方程薛定谔（ErwinSchrödinger,1887--1961）奥地利物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面都有很大成就。

薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程，在量子力学中居核心的地位，是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在微观、低速条件下适用。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。由于对原子理论的发展贡献卓著，于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖。

量子力学是研究微观粒子运动规律物理学分支学科，主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论。经典力学中，已知力F及xo、vo，可由牛顿定律及守恒率等方程求质点任意时刻的状态。量子力学中，已知初始状态、根据薛定谔方程，可求(How)粒子任意时刻波函数、在某一体积中概率、系统能量。经典力学r0p0r()tp()tXYzO量子力学zXYOYr(t,(

上面的方程含有时间变量t，常常称为含时薛定谔方程。求解过程一般很复杂。下面我们用一维平面波的波函数来验证其正确性。动能哪里来的？猜测出来的。费曼说：“它来自薛定谔的心灵。”一、Schrödinger方程的引入i是纯虚数，粒子质量为m，势能为V(r,t)定义粒子的哈密顿量H

(总能量：动能+势能)势能

一个粒子不受到外力，势能为零，称为自由粒子。它的波函数是前面介绍过的平面波形式。1.一维自由粒子Schrödinger方程自由粒子的薛定谔方程方程左端方程右端含时薛定谔方程正确。自由粒子不受力，低速情况下，牛顿公式：2.定态Schrödinger方程

含时薛定谔方程很难解，但如果粒子的势能V只是坐标的函数，与时间t无关，此时可以化简含时薛定谔方程。分离变量法可以证明E就是粒子的总能量数值，包含动能和势能之和。此时薛定谔方程可以化简为记为此时薛定谔方程不含时间t，所以也称为定态薛定谔方程。为什么叫定态？stationarystate此时波函数的概率密度与时间无关，所以可以称为定态。波函数可称为定态波函数。在一维定态问题中，即粒子在V(x)势能场中运动，定态薛定谔方程为别忘记，要使上式解得的波函数合理，必须满足标准化条件：连续波函数必须处处连续，光滑；单值归一化二、一维势阱问题做一维运动的粒子所受到的势能为：粒子只能在宽为

a

的两个无限高井壁间运动。我们分区讨论粒子的运动。1.一维方势阱中粒子的波函数薛定谔方程在势阱内成为：波函数在势阱外应等于零，为什么？通解为：由边界条件：只有：势阱内粒子E只能取离散值，能量量子化：2.能量量子化由：“基态”“激发态”波函数在（0，a）区间内出现的概率满足归一化条件，即：3.归一化条件粒子在势阱中的概率密度：4.讨论n很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。①函数曲线势阱内任两相邻能级差

量子规律在极限条件下可转化为经典物理规律。②对应原理a很小时，电子在原子中运动，△E大，量子化显著；a较大时，△E小，量子化不显著，连续变化。三、一维方势垒、隧道效应1.一维方势垒经典物理看来，在x<0区域里，能量小于势垒高度的粒子，不能越过势垒达到x>a的区域。但在量子力学看来，由于粒子的波粒二象性粒子，在势垒内和势垒外区域的波函数都不为0，进而各处都有一定的概率密度分布。量子力学认为，虽然粒子的能量低于势垒，但在势垒中似乎有一个“隧道”，能使少量粒子穿过势垒，而到达另一端，这种量子现象称为隧道效应。隧道效应tunnelingeffect入射波IIIIII+反射波透射波

隧道效应来源于微观粒子的波动性。该效应已被许多实验证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。2.扫描隧道显微镜ScanningTunn