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第三节函数的基本性质一、有界性二、单调性三、奇偶性四、周期性一、有界性设函数y=f(x)的在集合Ｄ内有定义，如果存在正数M，使得对于任意的，都有成立，则称f(x)在Ｄ内有界，或称f(x)为Ｄ内的有界函数，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在Ｄ内无界.如果M为f(x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.如果f(x)在Ｄ内无界，那么对于任意一个给定的正数M，Ｄ中总有相应的点，使得.当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=–Ｍ之间.这里取Ｍ=1.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y=–1之间.例如，函数f(x)=sinx在内是有界的.

这是因为对于任意的，都有成立，应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围Ｄ.例如，函数在区间(1,2)内是有界的.事实上，若取Ｍ=1，则对于任何而在区间(0,1)内是无界的.二、单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义(即Ｉ是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的，当时，均有则称函数y=f(x)在区间Ｉ上单调增加(或单调减少).则称函数y=f(x)在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).如果对于区间I上任意两点，当均有严格单调增加的函数的图形是沿x

轴正向上升的；严格单调减少的函数的图形是沿x

轴正向下降的；例如，函数内是严格单调增加的.函数内是严格单调减少的，在区间上是严格单调增加的,而在区间内则不是单调函数.三、奇偶性设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当时，有.则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；如果对于任意的，均有如果对任意的,均有就称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.例1

讨论下列函数的奇偶性:解设函数y=f(x)在Ｄ内有定义,如果存在正常数

T,使得对于Ｄ内的任何x，恒有

f(x+T)=f(x)四、周期性

显然，若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3)，通常我们说的周期就是指最小正周期.成立，则称函数y=f(x)为周期函数，T为f(x)的周期.例如，函数y=sinx及y=cos

x

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