第九章对策模型

第九章对策模型9.1对策现象及基本概念9.2矩阵对策模型9.3最优纯策略9.4混合策略对策背景9.1对策现象及基本概念

在社会生活中，人们会遇到各种具有竞争或对抗性质得现象，如下棋、赛球等各种比赛，国家或集团之间的战争，外交和贸易谈判，人与自然灾害之间的斗争等等。上面这些现象，都具有竞争或对抗的性质，至少包含有竞争或对抗的成分，我们称之为对策现象。在竞争或对抗过程中，各方都设法充分发挥自己的所长，采取恰当的策略，力争取得对自己有利的结果。对策现象简单实例例1齐王与田忌赛马战国时，齐王有一天提出要与大臣田忌进行赛马，双方约定：（1）各出三匹马，上、中、下等马各一匹；（2）每次比赛双方各出一匹马，共赛三次；（3）每匹马只参加一次比赛；（4）每次比赛后，负者要付给胜者一千金。当时同等级的马，齐王的马比田忌的马要强。因此，似乎田忌肯定要输了。但田忌的谋士孙膑出了一个好主意：用田忌的下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马，用上马对齐王的中马，结果田忌二胜一负，赢得一千金。由此可见，在进行对策时，参与者应如何决策是值得认真研究的！对策模型的基本概念局中人局中人是指那些在一场竞争或抵抗（简称为对策）中的参与者，他们在这场竞争的结果中都有利害关系，且都有决策权。策略称局中人自始至终如何行动的一个完整的可行方案为一种策略。如在例1中，田忌共有六个不同的可行方案：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），

(下，上，中），（下，中，上）。其中的（上，中，下）表示田忌在三次比赛中依次派出上、中、下等马参赛。田忌的每个方案称为他的一个策略，这六个策略的全体称为田忌的策略集。同样，另一个局中人齐王也有六个策略。在一局对局中，每个局中人从其策略集中各取出一个策略与对方对阵。双方所选的这一组策略，合起来称为一个局势。如例1中，田忌取策略（下,上,中），齐王取策略（上,下,中），就构成了一个局势（（下,上,中），（上,下,中））。一般，若局中人A采取策略α，局中人B采取策略

β

，所形成的局势记为（α，β

）。一局对策的得失由例1可见，若局势已定，则这一局对策得结果就确定了。对每个局中人来说，结果不外乎胜或负，名次的前或后，财物的收入或付出等等，这些可统称为得失。如例1中，田忌赢得一千金齐王失去一千金，即为这局对策得得失。

易见，一局对策结束时，每个局中人的得失，是全体局中人所取定的一组策略（即局势）的函数，称为该对策的支付函数或赢得函数。若在任一局势中，全体局中人的得失相加的总和都为0，则称该对策为零和对策，否则称为非零和对策。对策的分类按不同的标准，可以将对策分为不同的类型。按局中人的数目多少来分，可分为二人对策和多人对策。按策略的数目是否有限来分，可分为有限对策和无限对策。按支付函数的特点来分，可分为零和对策与非零和对策。按局中人是否结盟来分，可分为结盟对策与不结盟对策。显然，例1的对策是个二人有限零和对策。9.2矩阵对策模型问题分析上一节中，我们介绍了对策及有关对策的基本概念。本节我们要用数学语言和数学方法来描述对策，最终建立对策的数学模型，并称之为对策模型。建模

设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备求n使G(n)最大已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使

a-b~售出一份赚的钱

b-c~退回一份赔的钱0rp9.3随机存贮策略问题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小模型假设

每次订货费c0,每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3(c1<c3)

每周销售量r随机、连续，概率密度p(r)

周末库存量x,订货量u,周初库存量x+u

每周贮存量按x+u-r计建模与求解（s,S)存贮策略确定(s,S),使目标函数——每周总费用的平均值最小平均费用

订货费c0,购进价c1,贮存费c2,缺货费c3,销售量rs~订货点，S~订货值建模与求解1）设x<s,求u使J(u)最小，确定S建模与求解SP1P20rp2）对库存x，确定订货点s若订货u,u+x=S,总费用为

若不订货,u=0,总费用为

订货点s是的最小正根建模与求解不订货最小正根的图解法J(u)在u+x=S处达到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S处达到最小值I(S)I(x)图形建模与求解J(u)与I(x)相似I(S)的最小正根s9.4轧钢中的浪费轧制钢材两道工序

粗轧(热轧)~形成钢材的雏形

精轧(冷轧)~得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长度大于规定切掉多余部分粗轧钢材长度小于规定整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背景分析设已知精轧后钢材的规定长度为l，粗轧后钢材长度的均方差为记粗轧时可以调整的均值为m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作x~N(m,2)切掉多余部分的概率整根报废的概率存在最佳的m使总的浪费最小lP0p(概率密度)mxP´mPP´建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费=+粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧N根成品材

PN根成品材长度lPN总长度mN共浪费长度mN-lPN选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数优化模型：求m使J(m)最小（已知l,

）建模粗轧N根得成品材

PN根求解求z使J(z)最小（已知

）求解例设l=2(米),=20(厘米)，求m使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5随机人口模型背景

一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象X(t)~时刻t

的人口,随机变量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。

bn与n成正比，记bn=n,~出生概率；dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。进一步假设模型假设建模为得到Pn(t)P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t内出生一人X(t)=n+1,t内死亡一人X(t)=n,t内没有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dn

t

o(t)~一组递推微分方程——求解的困难和不必要(t=0时已知人口为n0)转而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n