第一节相关与回归

第一节

相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系1.函数关系当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。（1）是一一对应的确定关系（2）设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量.函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为y=p

x(p为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=r2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)

、单位产量消耗(x2)

、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

2.相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。

现象之间客观存在的不严格、不确定的数量依存关系。（1）变量间关系不能用函数关系精确表达；（2）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；（3）当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个；（4）各观测点分布在直线周围。xy相关关系的例子商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系二、相关关系的种类1.按相关关系的程度划分可分为完全相关，不完全相关和不相关。2.按相关形式划分可以分为线性相关和非线性相关。（1）正相关：两个相关现象间，当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或减少），即同方向变化。例如收入与消费的关系。（2）负相关：当一个变量的数值增加（或减少）时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或增加）趋势变化，即反方向变化。例如物价与消费的关系。3.按相关的方向划分可分为正相关和负相关4.按相关关系涉及的变量多少划分分为单相关、复相关和偏相关。两个变量之间的相关，称为单相关。当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。三、相关分析与回归分析（一）概念：1.相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。广义的相关分析包括相关关系的分析（狭义的相关分析）和回归分析。2.回归分析是指对具有相关关系的现象，根据其相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程式），用来近似地表达变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。“回归”的由来“回归”的概念英国生物学家兼统计学家高尔顿在19世纪末研究遗传学中首先提出的。

在研究人类的身高时，发现父母的身高与子女身高之间有密切的联系。如果父亲为高个，则儿子的身高也高，但其平均身高低于父亲的平均身高；如果父亲为矮个，则儿子的身高也矮，但其平均身高要高于父亲的平均身高即身高的变化不是两极分化，而是“趋同”，儿子的身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定。高尔顿认为这是回归到普通人。后来，人们将此种方法普遍应用于寻找变量之间的规律。现在，回归分析法已经成为分析变量之间关系最重要的方法，进而用以找出变量之间关系的具体表现形式。（二）相关分析与回归分析的区别

1.在相关分析中，不必确定自变量和因变量；而在回归分析中，必须事先确定哪个为自变量，哪个为因变量，而且只能从自变量去推测因变量，而不能从因变量去推断自变量。2.相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式；而回归分析能确切的指出变量之间相互关系的具体形式，它可根据回归模型从已知量估计和预测未知量。3.相关分析所涉及的变量一般都是随机变量，而回归分析中因变量是随机的，自变量则作为研究时给定的非随机变量。（三）相关分析与回归分析的联系相关分析和回归分析有着密切的联系，它们不仅具有共同的研究对象，而且在具体应用时，常常必须互相补充。相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。简单说：1、相关分析是回归分析的基础和前提；2、回归分析是相关分析的深入和继续。定性分析是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断。定量分析在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度。四、相关关系的判断

(一)相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。例：