41复数项级数与幂级数

一、复数列的极限二、级数的概念第一节复数项级数与幂级数三、典型例题四、幂级数五、小结与思考1一、复数列的极限1.定义记作22.复数列收敛的条件定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略.3课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.收敛到-1不收敛收敛到04二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n

项的和称为级数的部分和.部分和5收敛与发散说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:672.复数项级数收敛的条件证因为定理二8说明

复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)9解所以原级数发散.课堂练习10必要条件重要结论:11不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.123.绝对收敛与条件收敛注意应用正项级数的审敛法则判定.定理三13证由于而根据实数项级数的比较准则,知14由定理二可得[证毕]15非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.定义16所以综上:17三、典型例题例1解级数满足必要条件,但18例2故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解19故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例3解20四.幂级数1.幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域d内有定义.表达式称为这级数的部分和.称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)21s(z)称为级数如果对于d内的某一点z0,极限存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在d内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...的和函数.22如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:这种级数称为幂级数.23定理一(阿贝尔abel定理)z0xyo24[证]25262.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.

ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.27蓝色：已知收敛部分，绿色圆外是发散部分往里压缩往外扩张最终，称28例4求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为29303.收敛半径的求法定理二(比值法)如果则收敛半径中心在z0的幂级数也是如此求半径,只是收敛圆域的写法不同而已.31解：故收敛半径324.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.3334更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.35363)f(z)在收敛圆域内可以逐项积分,即37五、小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.38思考题39思考题答案否.放映结束，按esc退出.