自动控制原理-暂态性能分析

本章的主要内容3.1稳定性分析3.2暂态性能分析3.3稳定性能分析3.4MATLAB辅助分析控制系统时域性能3.2.1

典型输入信号及性能指标

一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态外作用：一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有

单位阶跃函数的拉氏变换为

2．速度函数（斜坡函数）

其表达式为

当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为

3．加速度函数（抛物线函数）

其表达式为

当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为

4．脉冲函数

其表达式为

单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为单位脉冲函数的拉氏变换为

5．正弦函数

其表达式为

其拉氏变换为

3.2.2暂态性能指标

分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。

控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分为过渡过程和稳态过程。过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。控制系统单位阶跃输入单位阶跃响应初始条件为零

105%的稳态值响应稳态值典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）

（1）（最大）超调量

5%的稳态值响应稳态值3.2.2暂态性能指标系统对于超调量的要求对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度跟踪特性较好。对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。机床刀架系统。5%的稳态值响应稳态值（2）（最大）超调时间

（3）上升时间

（4）调节时间

5%的稳态值响应稳态值典型的单位阶跃响应曲线（非衰减振荡形式）90%的稳态值上升时间超调时间调节时间快速性超调量

稳态误差平稳性最终(稳态)精度3.2.3一阶系统的暂态性能分析

为什么要研究典型系统的性能分析？现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为典型的系统，以便于系统的分析与设计。在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。分析和理解高阶系统的动态响应的基础。一阶系统R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)微分方程：传递函数：Kt一阶系统的单位阶跃响应：Kt2.3T3T一阶系统的动态性能指标

（1）上升时间（2）调节时间

95%

设K=1，取不同的时间常数T,对于系统单位阶跃响应的影响。T=1T=3T=7T=9T=5t参数K，T对于一阶系统单位阶跃响应的影响设T=3，取不同的K，对于系统单位阶跃响应的影响。K=10K=7K=4K=1tKT小结：一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的。因而，不存在超调量。可以用上升时间或者调节时间来作为动态性能指标。为了提高一阶系统的快速响应和跟踪能力，应该减少系统的时间常数T。

单位阶跃输入，一阶系统的稳态响应值为K，稳态值与T无关。

3.2.4典型二阶系统的暂态性能

为系统的阻尼比，为无阻尼自然振荡频率。1、典型二阶系统的数学模型：二阶系统R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)闭环传递函数写成如下一般形式

其闭环特征方程为

方程的特征根为

2、典型二阶系统的单位阶跃响应阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上的分布：欠阻尼状态临界阻尼状态

过阻尼状态零阻尼状态负阻尼状态二阶系统的单位阶跃响应

1.过阻尼>1的情况

系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。

式中

于是闭环传递函数为

因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。

当输入为单位阶跃信号时

系统的输出

取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应

稳态分量为1，动态分量为两项指数项。过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线2.临界阻尼=1的情况

系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应

3.欠阻尼0<<1的情况

欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。

系统闭环传递函数的一般形式为

特征根为一对共轭复根衰减系数d有阻尼振荡频率当输入信号为单位阶跃作用时

取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

或者写成

式中

或

系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成，稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线

二阶系统单位阶跃响应的通用曲线

t小结：当时，系统的输出为正弦曲线。这种情况称为无阻尼振荡，系统处于临界稳定状态。当时，系统为欠阻尼振荡状态。增加，将减少系统的振荡，减少超调量；但上升时间、调节时间加大。当时，系统为临界阻尼状态，这是总能保持系统的输出值小于1的最小阻尼值。当时，系统为过阻尼状态，在增加时系统的响应减慢。当自然频率增加时，系统的响应速度加快但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯一确定。三（欠阻尼）二阶系统性能指标计算

1.上升时间

由定义知：为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。当一定时，越小，越小；当一定时，越大，越小。2.超调时间对上式两边求导，并令其等于0，得：代入

按的定义，应取n=1。当一定时，越小，越小；当一定时，越大，越小。

与有类似的表现。3.超调量

与的关系曲线

增大，减小。通常，为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之间,相应的超调量约为25%-2.5%。超调量只是阻尼比的函数

4.调节时间根据定义：

令：

在设计系统时,

通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率

来决定。超越方程定义：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程，如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。解法：

超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。求解超越方程的近似解法有很多，图象法虽然形象，但得到的解误差太大了。常用的近似解法有牛顿切线法、幂级数解法等等，现在也可以编制一段程序用计算机求解，或者利用现成的软件求解，例如大多数电脑都安装的EXCEL也可以用来求解超越方程。

matlab是获得数值解的一个最强大的工具。常用的命令有fsolve,fzero等，但超越方程的解很难有精确的表达式，因此在matlab中常用eval（）函数得到近似数值解，再用vpa（）函数控制精度。计算举例如图所示典型二阶系统，求

－计算举例设计图示系统具有如下的动态性能指标：超调量20%，超调时间为1秒。试确定系统参数K