三垂线定理及其逆

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三垂线定理及其逆定理OPaA

α若直线PA是平面α的斜线，平面α内有没有直线a与PA垂直？猜想:在什么情况下PA⊥a?OPaA

αOA⊥a已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在α内的射影，a在平面α内，且a⊥OA

求证：a⊥PA

（如图）.OPaA

α若线射垂直，则线斜垂直在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理OPaA

αOPaA

α线射垂直线斜垂直？三垂线定理的逆定理A1D1C1B1ADCB

例1、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：BD1⊥平面AB1CA1D1C1B1ADCBADCBA1D1C1B1EFM练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，

E、F分别为棱上的中点，M为DD1的中点，

求证：BM⊥面B1EFBADCH正四面体ABCD例2、如图，在四面体ABCD中，

(1)已知AB⊥CD，AC⊥BD

求证：AD⊥BCHADCB

(2)若点A在面BCD中的射影H为∆BCD的垂心

求证：AB⊥CD，AC⊥BD,AD⊥BCHADCBADCB(3)若A在平面BCD中的射影H为∆BCD的垂心，则D在面ABC中的射影G也为∆ABC的垂心。HGPCBA已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，问：图中共有几个直角三角形？D练习：三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理

平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。课堂小结AaPoα线射垂直，线斜垂直线斜垂直，线射垂直OPaA

α三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直

作业《绿色通道》三垂线定理思考

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