《偏微分方程》 - 华中师范大学

《偏微分方程教程》

第三章特征理论与方程的分类1§3球上的Dirichlet问题

【知识点提示】Poisson公式解的存在性,哈那克(Harnack)不等式及其应用。【重、难点提示】

求解特殊区域上的Green函数，进而能求解特殊区域上的椭圆型方程的各种定解问题。【教学目的】

熟练地掌握球和半空间上Green函数的构造，并会求解球和半空间上椭圆型方程的定解问题，掌握Harnack不等式。

2

3.1.Poisson公式

(3.1)

设是以原点为心为半径的球,其球表面用表示.我们的问题是:求一个函数,它在球内调和,在上连续,且在球面上取给定的函数值,即求解定解问题3

下面先找出球上的Green函数.这个问题的关键是:在球内任给一点

,找一个在内调和的函数

,使得当

时.

由调和函数基本解的性质知,对任意的常数

,当

时,函数

关于

在

内调和.剩下的问题是:如何确定常数

及点

,使得当

时,有,

具体作法如下:

设

是内任一点,用

表示它到原点的距离,在射线

上取一点

使得4其中是点到原点的距离.我们把点称为点关于球面的对称点(或镜象点).今在球面上任取一点,并分别用表示点到点的距离(如图6-2).

(3.2)图6-25考察与,它们有一个公共角,由(3.2)知此夹角的两对应边成比例,因此这两个三角形相似,由此推出

从(3.3)不难看出,对于球内的任一点,只要取,函数或者于是球上的Green函数具有如下形式6

(3.4)

显然,

作为

的函数,在球

内是调和的,因此,作为

的函数,在球

内除

点外是调和的,且在球面

上的点

处有

,这表明函数(3.4)具备Green函数的所有条件.

我们用表示与之间的夹角,表示点到原点的距离,则由余弦定理,有

代入(3.4),得

7它在球面

上的法向导数为

于是由§2的公式(2.7),我们得到Dirichlet问题(3.1)的解为

(3.5)(3.6)8

注1上面所介绍的求Green函数的镜像法同样适用于

维空间的Laplace方程.

注2本节仅讨论了球上的Dirichlet问题,对于其它特殊区域，比如半空间区域,空间区域，甚至矩形、正三角形等规则平面区域也可用对称开拓法来构造它的Green函数，从而求得在此区域上的Dirichlet问题的解.(3.7)

我们把公式(3.6)或(3.7)称为球上的Poisson公式.若注意到

,则(3.6)可写成9

3.2.解的存在性

Dirichlet问题(3.1)的解的表达式已写出来了,但它是否真的是解,还需要加以验证.

定理6.3

设函数在球面上连续,则Poisson公式(3.7)上定解问题

(3.1)的解.

给出在球证先证明在

内由(3.7)定义的函数

满足(3.1)中的方程.

当点

取在球面

上时,则

在球内关于点

是调和函数,

于是由性质6.9(Green函数的对称性),有

10其中

.从而函数

在球内关于

也是调和的,故由(3.6)的第一个等式得

现在我们来证明由(3.7)定义的函数

在球面

上满足

(3.1)中的边界条件,即设

是球面

上的任一点,则当点

从球内趋向

时,有

(3.8)

11事实上,由Green函数的性质6.7及(3.5),(3.7),有

由此得

于是有

(3.9)

因为函数

在

上的点

处连续,故对任意小的正数

总存在正数

,只要球面上的点

位于以

为心

为半径的球

内,就有

12(3.10)

另一方面,我们用

表示球面

在球

内的那一部分,余下的

部分记为

.如图6-3.

图6-313这样(3.9)就可写成

(3.11)

下面对(3.11)右端的每一项进行估计,由(3.10)及Green函数的性质6.7知

(3.12)

14为了估计第二项,我们以

为心

为半径再作一个小球

当点

时,它与

上的点

的距离

,由于

函数

在上有界,所以存在一正数

,使得

,于是有

15当时,,从而推得

(3.13)

由(3.11),(3.12),(3.13),即得

由的任意性,有

定理证毕.

163.3.哈那克(Harnack)不等式及其应用

设在区域内是一个非负的调和函数,对于

内的任

一点

,作一个以为心

为半径的球,使它完全位于区

域内,记球

的表面为

,再在球内任取一点,分别用

和及球面

上点表示从点

到球心的距离,如图6-4.

图6-417显然有,于是有不等式

成立,从而推得

利用Poisson公式(3.7)可推得

18再应用平均值公式(1.15),即可得到

(3.14)

我们称公式(3.14)为Harnack不等式.

注

对于平面上的圆内的非负调和函数,我们也可以建立相应的Harnack不等式.下面我们给出Harnack不等式的一个直接应用,即刘维尔(Liouville)定理.

定理6.4

在全空间上有下界(或有上界)的调和函数必为常数.

19证

我