第15章 期权定价数值方法蒙特卡洛方法

第15章期权定价数值方法—蒙特卡罗方法Chapter15NumericalMethodsforOptionPricing-MonteCarloMethod蒙特卡罗方法的原理01对偶变量和控制变量方法03目录CONTENTS标准蒙特卡罗方法022准蒙特卡罗方法043学习要点用标准蒙特卡罗方法计算经典欧式期权用标准蒙特卡罗方法——对偶变量方法——计算欧式期权用控制变量方法对标准蒙特卡罗方法进行改进三种低偏差系列4本章知识结构图第〇节

导入案例蒙特卡罗方法的来源蒙特卡罗(MonteCarlo)方法是著名的数值方法，常被称为蒙特卡罗模拟方法第二次世界大战后期一些著名的美国数学、物理学家如冯･诺伊曼在计算机上利用随机抽样的方法对中子的连锁反应进行模拟。模拟方法的引入不仅大大降低了真实世界中进行类似实验对环境造成的巨大影响，也大大降低了实验的成本，而且可以反复进行从而有利于科学家们了解、跟踪和改进实验效果。冯･诺伊曼以世界著名的赌城—摩纳哥的“蒙特卡罗”来命名这一模拟方法。第一节

蒙特卡罗方法的原理一、基本原理基本原理：根据问题的核心内容构造一个概率模型，使得概率模型的解等于所要解决的问题的近似解；然后设计随机抽样试验计算获得所求解的统计特征，最后得到所求解的近似值。计算精度：与

(n为抽样样本数量)成正比应用领域8核物理大气科学金融工程管理科学一、基本原理基本步骤：1、在掌握实际问题的基础上，将问题转化成给出一个概率模型，使所求解恰巧是模型的概率分布或模型中随机变量的数字特征；2、利用计算机上模拟模型中的随机变量，获得足够多的随机样本值；3、通过样本获得问题的近似解，即概率分布或模型中随机变量的数字特征，给出估计的精度；4、改进模拟效率和近似解的精度，这被称之为蒙特卡罗方法的“方差减少技术”。9二、投针实验蒙特卡罗方法的古典起源：法国数学家布丰在1777年提出问题:如何计算圆周率π？在平面直角坐标系里画一个边长为1的正方形，然后在这个正方形里画一个四分之一圆，假设正方形的面积为S1，四分之一圆的面积为S2，S1=1，

解决方案向正方形里随机投“针”，有的“针”落在四分之一圆内，有的在四分之一圆外。投针行为随机，落在圆内的点数和投掷的总点数之比应该等于四分之一圆面积和正方形之比，假设总投掷数量为n，落到圆内的点数为m，10二、投针实验投针实验的实现生成随机数挑选出四分之一圆内的点计算π的近似值11投针实验示意图三、理论基础柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律

为独立同分布的随机变量序列，且

则

因此，若

是从同一总体中得到的抽样，由强大数定律可知样本均值

当n很大时以概率1收敛到总体均值

μ

12三、理论基础莱维——林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理中心极限定理研究什么情况下随机变量之和的极限分布是正态分布设

为独立同分布的随机变量序列，

，k=1,2,…，则有若令

则假设

为随机变量Θ的期望，那么近似确定

Θ

的蒙特卡罗方法是对

ξ

进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列

，计算样本均值

，则有

即可用

作为所求量Θ的估计值。由中心极限定理可得到估计值的误差：设随机变量ξ的方差是

，

σ

为

ξ

的标准差。对标准正态分布上的

分位数

，则即置信水平1-δ对应的渐近有效置信区间是那么蒙特卡罗方法的误差为

误差收敛速度为13第二节

标准蒙特卡罗方法一、期权定价——标准蒙特卡罗方法理论基础：风险中性定价方法:期权价格表示为其到期支付贴现值的风险中性测度下的期望。蒙特卡罗方法计算经典欧式期权的主要步骤：1、模拟风险中性测度下标的资产的路径；2、计算这条路径下期权的到期支付，并且根据无风险利率贴现；3、重复前两个步骤，得到大量的期权支付贴现值的抽样样本；4、求抽样样本均值，这样得到的蒙特卡罗估计值就是期权价格的近似解。15一、期权定价——标准蒙特卡罗方法运用标准蒙特卡罗方法计算经典欧式期权:Z为标准正态分布中抽取的一个随机值，T为期权期限。欧式看涨期权价格:欧式看跌期权价格:16二、标准蒙特卡罗方法的精度研究—举例说明举例计算：S0=30,K=28,r=0.04,T=1,σ=0.2517S02626.52727.52828.5B-S公式2.20452.45992.73023.01523.31443.6272标准蒙特卡罗2.20022.45362.72083.03183.31133.6306误差-0.0043-0.0063-0.00940.0166-0.00310.0034欧式看涨期权价格与模拟路径条数的关系标准蒙特卡罗与B-S公式计算结果对比（n=100,000）二、标准蒙特卡罗方法的精度研究—举例说明比较标准蒙特卡罗计算的欧式期权的价格与B-S-M的欧式期权解析解估计值的标准差数量级为,要减小标准差仅靠增加模拟次数是不行的，不仅大大提高计算成本，效果还不显著。学者们提出了许多“方差减少”技术，对偶变量法、控制变量法、矩阵匹配法、分层抽样方法、重要抽样方法、低偏差序列法（也称准蒙特卡罗方法）等。18标准蒙特卡罗与B-S-M公式结果比较（其中每一个价格对应的路径条数n=100,000）第三节

对偶变量和控制变量方法一、对偶变量方法设为从标准正态分布中抽取的随机数样本，第i次模拟的资产价格的路径为：欧式看涨期权价格的一个无偏估计为：也为标准正态分布，第i次模拟的资产价格的路径为：欧式看涨期权价格的另一个无偏估计为：通常情况下和负相关，一个高于真实值时另一个低于真实值选择这两个无偏估计的平均值为对偶变量，即：通过对偶变量方法提高了计算效率。20二、控制变量方法基本思想：尽量使用已知信息

设为期权的模拟价格，但其解析解未知；用相同的方法模拟计算出另外一个解析解为的期权价格，可以估计:其中以算术平均亚式期权定价为例，一般可以采用以下两种控制变量：以标准欧式期权作为控制变量，即

其中以连续几何平均亚式期权作为控制变量，即

其中21第四节

准蒙特卡罗方法一、伪随机数23产生的一维和二维伪随机数分布图经典方法：线性同余法比如通过MATLAB中的rand命令产生的随机数，可以看出伪随机数的分布不均匀，使用这样的伪随机数进行蒙特卡罗模拟必将产生较大误差。二、Halton序列24Halton序列产生的一维和二维分布图Halton序列是最基本的低偏差序列在Matlab中haltonset()命令便可以产生Halton序列Halton序列比伪随机序列要均匀的多，但随着维数的增多会退化，超过14维就开始分布不均匀Halton序列绘制的不同维数分布图三、Faure序列25Faure序列产生的一维和二维分布图Faure序列也是被广泛使用的序列Faure序列计算出一组N维空间的点，也就是算出不同数列相同位置的点。Faure序列分布也比较均匀，但在高维情况下存在很高的相关性。Faure序列绘制的不同维数分布图四、Sobol序列26Sobol序列产生的一维和二维分布图Sobol是比较重要的低偏差序列。在Matlab中obolset()命令便可以产生Sobol序列Sobol序列需要演算较为复杂，但是很好解决了高维下数列的相关性问题。Sobol序列绘制的不同维数分布图五、生成正态分布随机数27Moro方法使用Beasley&Springer算法得出正态分布的中心部分，用其它的算法给出正态分布的尾部伪随机数生成的正态分布非常不规则，而三种低偏差序列生成的正态分布随机序列非常完美，这样可以大大提高蒙特卡罗模拟的精度，高维情况下，Halton