高中数学高考2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理数试题精编版（解析版）

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：z=i·(1+i)=i–1,所以对应点(-1,1).选B 【考点定位】复数的代数运算【名师点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解决问题的关键是理解复数与复平面上对应的点之间的对应关系,即实部、虚部对应平面上象限的位置情况，属于基础题目.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D3.在锐角中，角所对的边长分别为.若()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：；【考点定位】正弦定理的运用【名师点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解决问题的关键是根据所给条件化边为角，然后利用三角函数公式进行化简计算，结合三角形的性质进行分析计算即可，难度不大.4.若变量满足约束条件，()A．B．C．D．【答案】C5.函数的图像与函数的图像的交点个数为()A．3B．2C．1D．【答案】B【解析】试题分析：二次函数的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln4>1.所以g(2)<f(2),从图像上可知交点个数为2.【考点定位】函数的零点【名师点睛】本题主要考查了根的存在性及个数判定，解决问题的关键是根据求两个函数图象的交点个数，运用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．6.已知是单位向量，.若向量满足()A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解决问题的关键是根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．B．C．D．【答案】C【考点定位】三视图【名师点睛】本题主要考查了简单空间图形的三视图，解决问题的关键是正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：使用解析法,。.【考点定位】直线与方程【名师点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，解决问题的关键是根据光的反射原理正确计算对称点坐标，利用对称性得到直线斜率之间的关系解决问题即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数.【答案】3【考点定位】参数方程【名师点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值，属于基础题．10.已知.【答案】12【解析】试题分析：由题.【考点定位】不等式【名师点睛】本题主要考查了柯西不等式及其几何意义，解决问题的关键是根据等式a+2b+3c=6运用柯西不等式求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11.如图2，在半径为的中,弦.【答案】（二）必做题（12-16题）12.若.【答案】3【解析】试题分析：.【考点定位】定积分【名师点睛】本题主要考查了定积分的知识，解决问题的关键是根据定积分、微积分基本定理结合所给函数，运用所学公式进行化简，得到关于T的方程，求解即可，难度不大，属于基础题目.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.【答案】914.设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___。【答案】【解析】试题分析：设P点在右支上，.【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】本题主要双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线的定义结合所给条件得到方程，联立求解，利用余弦定理得到关于离心率的方程，解方程即可，属于平时练习和考试的常考题目，平时一定要熟练掌握有关圆锥曲线的常用性质，进行总结.15.设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________。【答案】（1）（2）；.【考点定位】数列【名师点睛】本题主要考查了数列求和、数列的函数特性，解决问题的关键是通过赋值得到所求数列对应的项，通过递推数列关系得到数列的通项公式，通过分析得到，然后根据前n项和观察发现，然后运用等比数列公式计算即可.16.设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____.【答案】【解析】试题分析：.所以f(x)的零点集合为（2）若.（写出所有正确结论的序号）①②③若【答案】①②③【考点定位】1、命题的真假判断与应用；2、函数的零点；3、进行简单的合情推理【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用、函数的零点、进行简单的合情推理，（1）解决问题的关键是根据函数零点的定义进行计算，然后求解函数零点的范围；（2）解决问题的关键是根据所给条件结合三角形有关性质及所给条件满足的有关性质进行分析、验证即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数.（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合.【答案】（I） （II）【考点定位】1、两角和与差的正弦函数；2、两角和与差的余弦函数；3、二倍角的余弦；4、正弦函数的单调性．【名师点睛】本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．18.（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）如下表所示：X1234Y51484542频数2463概率P.【考点定位】【名师点睛】本题考查古典概率的计算、分布列与数学期望，解决问题的关键是根据所给“相近”定义集合古典概率定义进行计算，根据所给图标求出对应情况的聘书及对应的概率即可，考查学生的计算能力，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．19.（本小题满分12分）如图5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见下 （Ⅱ）.【考点定位】直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质【名师点睛】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．解题时一定要注意线面角的平面角是否为所求角的余角，否则很容易出现错误．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.【答案】（Ⅰ）d=|x–3|+|y–20|，（Ⅱ）当点P(x,y)满足P(3,1)时,其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d=水平距离之和的最小值h+垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时，v=20+1=21；，水平距离之和h=x–(-10)+14–x+|x-3|,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.【考点定位】函数模型的应用、绝对值不等式的解法【名师点睛】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.21.（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.（I）若，证明；；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.【答案】（Ⅰ）见下 （Ⅱ）【考点定位】1、直线与圆锥曲线的关系；2、平面向量数量积的运算；3、抛物线的标准方程．【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22.（本小题满分13分）已知，函数.（I）；记求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在