整套教学课件《现代心理与教育统计学》研究生

心理统计背景认知心理学研究兴趣知觉、注意、概念、决策人机交互主要参考书目张厚粲、徐建平．现代心理与教育统计学．北京：北京师范大学出版社．2004同等学力人员申请硕士学位心理学学科综合水平全国统一考试大纲及指南（第3版）．高等教育出版社．2009Freedman等著．统计学．中国统计出版社JessicaM.Utts,RobertF.Heckard.MindonStatistics(3rdEdition).ThomsonLearning,Inc.,2007教学计划1.绪论、统计图表、统计量数2.相关分析、概率与分布3.抽样与参数估计4.假设检验5.方差分析、回归分析6.卡方检验、非参数检验、复习和测验注意事项统计是一门不易理解的“数学”人为的规定抽象的术语繁多的公式如何学习听课、看书、做题、多思考上课带纸、笔、计算器（机）尽可能地在工作中应用学到的知识绪论什么是统计学为什么需要统计学统计学的分类描述统计和推论统计 现代统计理论的发展预备知识变量、连续变量和离散变量、符号1.什么是统计统计是任何方面的专家们用以支持其论点的一大堆数据统计是计算用以代表和解释一堆数据的量数（如平均数与标准差）的方法统计是依少量数据（样本）所提供的资料以估计预测某研究对象（总体）的方法统计为面对不确定状况制定决策提供方法的科学2.为什么需要统计学？数据不能说明一切，但是是某种事实InGodwetrust.Othersbringdata.绩效评定、升级留级我们需要概率来理解抽奖，保险，医学试验，工业质量控制，天气预报，运动创伤，基因和现代物理在面对不确定情况下，统计是一种能够帮助我们做出聪明决策的科学方法2.1趣味统计问题父亲高儿子一定高赌徒的谬论仓促的结论出租车问题估计野生动物的存量赌徒的谬论甲：我准备可以买车了！乙：哦，你升职了吗？甲：没有，但你知道这些年我一直在买彩票。乙：是的，每次你都买。甲：但我每次都没有中奖。乙：那你为什么觉得你这次会中奖呢？甲：以前都没中过，这次该轮到我了！仓促的结论英格兰的Smith到美国的俄亥俄州某大学读研究生。他从来没有到过美洲，很多东西对他来说都很新奇。有一天，他从学校礼堂回宿舍时看到了两只松鼠，令人惊奇的是两只松鼠都是白色的。晚上email的时候，他把这个发现告诉了他的父母，他兴奋地写道：“…美国的松鼠都是白色的…”出租车问题国外某地的出租车较少，一位统计学者在该地的某街角等候出租车，眼看来了几部出租车都载客而过，这位统计学者开始怀疑这个城市到底有几部出租车，以致于不够用。于是他开始记下载客而过的出租车车号，依次如下：

405,280,73,440,179

接着来了一部空车，载走了统计学者。

假如该城市出租车的编号是从1号开始连续编排下来，而且空的出租车走在城里做随机性的环绕，那么，你若是这位统计学者，你将如何从上述记录的资料来推测该城市共有几部出租车?估计野生动物的存量在报纸杂志上，我们经常看到某种动物已濒临灭绝边缘的报导。科学家如何知道那些野生动物的数量呢？例如：鲸漫游在占全球表面积约2/3强的海洋内，而且大部分的时间又都潜伏在水底，我们如何来估计各类鲸的存量呢?2.2常见统计问题本批产品是否是合格品？吸烟与得癌症有关吗？张三会于下届选举中获胜吗？3.统计的分类

描述统计和推论统计描述统计我们的兴趣只限于手头现有的数据，而不准备把结果用来推论总体则称为描述统计。例：每年来京旅游的人数，平均每人在京停留的日数，平均每人每天在京的花费，十年内那一年创最高记录推论统计任何对数据（即样本）的处理导致预测或推论总体的统计称为推论统计例：根据历年数据预测来年可能来京旅游的人数4.现代统计理论发展的四个阶段

4.1高尔顿和皮尔逊1899年高尔顿（SirFrancisGalton,1822～1911）的《NatureInheritance》一书的出版所有知识都基于统计基础引入中数、创立相关概念、把成绩评分和正态分布联系起来卡尔．皮尔逊（KarlPearson,1857～1936）众数、标准差、相关系数我不记得那时是几岁，但是我记得是坐在高椅子上吮吸着大拇指，有人告诉我最好停止吮它，不然被吮的大拇指会变小。我把两手的大拇指并排看了很久，它们似乎是一样的，我对自己说：我看不出被吸吮的大拇指比另一个小，我怀疑她是否在骗我4.2费雪1915年，费雪（RonaldAylmerFisher,1890～1962）发表关于样本相关系数统计量的精确分布的论文小样本统计、估计量的判定准则、最大似然估计抽样技巧和随机程序《StatisticalMethodsforResearchWorkers》和《DesignofExperiments》分别于1925年和1935年出版，对于统计有重大的影响费氏提到有一位女士声称她能分辨出她的茶中牛奶是在泡茶之前或之后加入的，而后他描述一种实验计划来证明或否定该女士的声称据说费雪是个早熟的孩子，在很小的时候就已精通如球面三角之类艰深的学问。他曾对物理科学深感兴趣，1912年自剑桥大学得到天文学的学士学位。4.3聂曼和伊根·皮尔逊第三个时期以1928年聂曼（JerzyNeyman）和伊根·皮尔逊（EgonPearson,卡尔·皮尔逊之子）的共同论文多篇的发表为开端介绍和强调诸如假设检验中的第二种错误，检验的power和置信区间之类的观念4.4华德1939年，华德（AbrahamWald,1902～1950）论文关于顺序抽样(sequentialsampling)的论文的发表最大的贡献之一是他介绍一种对统计问题的新看法(1945)，那就是以对局的观点去处理统计方面的问题，这就是今日所称的统计决策理论(statisticaldecisiontheory)统计被视为以自然为对手的对局的艺术5.预备知识

5.1几个概念和术语（1）随机变量(P18)在一定的条件下观测结果不确定（2）随机变量的分类称名变量、顺序变量、等距变量、比率变量因变量和自变量Y=f(X)连续变量和离散变量连续变量在任何两个取值之间都还可以细分离散变量在任何两个取值之间只有有限个可能的取值（3）总体、个体和样本(P19)总体（population）：指具有某种特征的一类事物的全体，又称母体个体（unit）：构成总体的每个基本单元样本（sample）：从总体中抽取的一部分个体，即总体的一个子集（4）参数和统计量(P20)总体参数样本统计量5.2符号变量：大写英文字母变量的取值（观测到的结果，数据）：小写英文字母如18周岁中国人的身高：X170，180，172，168，…x1,x2,x3,x4数据和图表任课教师：禤宇明内容基础知识变量、尺度、数据数据类型与分析方法类别数据、顺序数据、等距数据、比例数据数据的来源数据的整理和统计图表次数分布表、条形图、饼图、线图、直方图1.基础知识

1.1变量、尺度、数据身高高、矮、中等个头180cm变量variable：事物的某种特征，这种特征在不同个体之间有差异

尺度(量表)

scale：测量的标准

数据data：测量的结果对同一个研究对象，用不同的尺度进行测量，也可以得到不同的结果变异variation研究对象中各观察个体之间的差异1.2四种测量尺度(P17)类别尺度（NominalScale）顺序尺度（OrdinalScale）等距尺度（IntervalScale）比例尺度（RatioScale）类别尺度（NominalScale）例子性别（男、女）、企业性质、职业、地区检验（阴性、阳性）、血型特性也叫称名尺度或列名尺度只能按照事物的某种属性对其进行平行的分类或分组只能区分事物是同类或不同类（=和）通常计算每一类别中各元素或个体出现的“次数”或“频率”来进行分析顺序尺度（OrdinalScale）例子绩效评定：优、良、中、及格、不及格病情：轻、中、重特性对事物之间等级差别或顺序差别的一种测度可以将事物分成不同的类别，还可以确定这些类别的优劣或顺序该尺度具有“>和<”、“=和≠”的数学特性，但不能进行加、减、乘、除运算等距尺度（IntervalScale）例子温度华氏℉（Fahrenheit）=℃×9/5

+32特性测量结果表现为数值，有相等的单位，但没有绝对零点等距尺度具有类别尺度、顺序尺度的数学特性外，其结果还可以进行加、减运算比例尺度（RatioScale）例子长度、重量、收入、心率特性测量结果表现为数值，有相等的单位，且有绝对的零点比例尺度具有类别尺度、顺序尺度和等距尺度的数学特性外，其结果还可以进行乘、除运算2.数据类型和分析方法

2.1数据的类型四分法类别数据、顺序数据、等距数据、比例数据二分法定性数据（QualitativeData）类别数据、顺序数据定量数据（QuantitativeData）等距数据、比例数据四类数据的比较有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下四个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上面写着：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次。”不同类型数据之间的变换一般的变化方向数值型等级（顺序）类别偶尔顺序数值2.2数据类型与统计方法统计量数统计检验类别数据频数、频率，众数、异众比率列联分析2检验顺序数据中数、四分位差、等级相关系数非参数分析等距、比例数据平均数、方差、标准差、积差相关系数参数估计、参数检验3.统计数据的来源直接来源调查普查、抽样调查观察与实验间接来源（二手数据）不是自己亲自调查的，是别人的数据、公开出版或报道的数据统计年鉴；报刊、杂志、图书、广播、电视传媒中的各种数据资料4.数据的整理和统计图表

4.1数据的整理数据整理通过各种渠道搜集到统计数据之后，首先应对其进行加工整理，使之系统化、条理化，以符合分析的需要。整理可以大大简化数据，更容易理解和分析。数据整理的步骤数据的预处理数据的审核与筛选——检查每个样本点是否完整、准确；将不符合要求的数据删除，符合条件的选出来。数据的排序——便于发现数据特征或趋势，也有助于检查错误分类或分组汇总数据整理的原则对定性数据主要做分类整理对定量数据主要做分组整理4.2类别数据的整理与图表展示整理列出事物的类别，计算出每一类别的次数、频率或比例、比率图表展示次数分布表列出不同类别所对应的次数或比例条形图、饼图次数分布frequencydistribution（P30）条形图bargraph(P46)饼图piegraph(p47)Source:Hollonetal.,2005WHOWorldMentalHealthSurveyConsortium,2004UniversityofPennsylvaniaMedicalCenter.1999,Nature

出生人口性别比：是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。4.3顺序数据的整理与显示类别数据的整理和显示的内容都适用于顺序数据。除此之外顺序数据还可以计算累积次数，图形显示用到累积次数分布图累积次数（cumulativefrequencies）

将各类别的次数逐级累加起来向上累积：从类别顺序开始一方向最后一方累加频数向下累积：从类别顺序最后一方向开始一方累加频数累积百分比（cumulativepercentages）4.4定量数据的整理和图表显示数据的分组定量数据包括等距数据和比例数据，在整理时通常要进行分组，然后再计算出各组中出现的次数。分组方法一般用组距分组法图表显示次数分布表直方图、次数多边形图、累加直方图4.4.1组距分组的步骤(P32)1.求全距R＝Max－Min2.定组数组数过多过少都不合适经验公式

组数k=1.87(N－1)0.4，

N为数据个数3.定组距组距是一个组的上限与下限之差

组距=（最大值-最小值）/组数

4.写出组限建议用精确组限5.求组中值组中值＝（精确上限＋精确下限）÷26.归类划记7.登记次数4.4.2定量数据的图表展示直方图histogram次数多边形frequencypolygon累加直方图cumulativehistogram(P42)频数分布图的形态

“正态”分布正偏态分布右偏分布（右尾巴比较长）负偏态分布（左尾巴比较长）左偏分布J型分布U型分布

反J型分布思考题在某小镇对下面变量进行调查父母双方均小于25岁的家庭中所有成员的身高已婚夫妇的身高全体居民的身高所有小汽车car的高度把变量与其直方图相匹配，并解释理由205080（英寸）ABCD思考题1960和1980年，对美国妇女进行调查：“你有几个孩子？”结果如下所示。变量是离散的还是连续的？画直方图(“9或更多可以”可以取为9)从图中能得出什么结论？思考题：不等距分组的直方图绘制1973年美国家庭收入分布如下，请绘制直方图。不等距分组时不能以绝对频次/百分比绘制直方图不等距分组时应该采用密度尺度常用统计量数授课教师：禤宇明本章内容描述统计统计量数：定义、性质、用法集中量数众数、中数、算术平均数、加权平均数、几何平均数差异量数全距、平均差、方差、标准差、差异系数地位量数百分位数、十分位数、四分位数、中(位)数1.描述统计descriptivestatistics描述统计对数据特征的描述数据的两个主要特征中心位置分散性2.集中量数

measuresofcentraltendency集中量数对数据的集中趋势的度量确定一组数据的代表值2.1常用集中量数众数mode中数median算术平均数mean加权平均数weightedmean几何平均数geometricmean调和平均数harmonicmean问题某部门有5名一般职员和1名经理。一般职员的薪水是3000元，而经理的薪水是10000元，请问该部门收入的平均水平是多少？2.1.1众数（Mode，Mo）P.66众数：一组数据中出现次数最多的数如2、3、5、3、4、3、6的众数为3卡尔．皮尔逊1894如果次数分布最多的有两个数，而且两个数是相邻的，那么一般取两者的平均值作为众数；如果这两个数不相邻，那么一般需要报告两个众数，而且认为该组数据是bimodal双峰分布的计算众数的皮尔逊经验法

Mo＝3Mdn－2M众数的用途快速粗略寻求一组数据的代表值做不同质数据的代表值，如工资次数分布中有两极端的数目（一般用中数，有时用众数）用平均数和众数之差作为次数分布是否偏态的指标众数与从众买东西2.1.2中数（Median，Md或Mdn）P62中数：一组数据中按从小到大排序后，处于中间位置上的变量值中数的位置：(n+1)/21883高尔顿将全部数据排序后，如果项数是奇数，则正中央的那一项即为中位数

例：4、7、8、9、10、11、12、13、14

Mdn＝10如果项数是偶数，则正中央的那两项的平均值即为中位数

例：2、3、5、7、8、10、15、19

Mdn＝(7＋8)/2＝7.5思考题某病患者的潜伏期如下，求中数

2，3，3，3，4，5，6，9，16上述数据中的16改为30天，求中数求15，35，25，5的中数中数的应用不易受极端值的影响当数据呈明显偏态时，中数较均数或几何均数合理2.1.3平均数（Mean）p.55

平均数的定义又叫均数、算术平均数，缩写M，设一组数据为x1，x2，•••，xn练习

平均数的特点p58一组数据的每一个数与平均数的差（离均差）的总和等于零一组数据的每一个数加上常数C，其平均数为原来的平均数加常数C一组数据的每一个数乘以常数C，其平均数为原来的平均数乘常数C一组数据的每一个数与常数C的差的平方和不小于该组数据的每一个数与平均数的差的平方和

算术平均数的优点和缺点p60优点反应灵敏确定严密简明易解计算简单符合代数方法进一步演算较少受抽样变动的影响缺点易受极端值的影响若出现模糊不清的数据时无法计算

算术平均数的适用条件p61数据必须是同质的如：如果身高均数在性别上有差异，那么不分性别地求某一年龄组的身高均数时没有实际意义的数据取值必须明确适用于呈正态分布的数据数据离散不能太大

思考题「你们念统计的常以算术平均数来代表总体(population)，那么你们一手泡在沸水中，另一手浸在冰水中，一定会感到很舒服，因为你们的平均感受是正常体温。」请举例说明什么情况下我们会对估计总体的平均数感兴趣。2.1.4加权平均数(Weightedmean)p69用于分组数据学校均数人数ABC72.680.275324036GradePointAverage2.1.5几何平均数（Geometricmean）

p71数据分布近似正态分布，但呈偏态传染病的潜伏期心理物理学的等距与等比量表实验呈(近似)等比数列变化的数据，即变量值呈倍数关系或近似倍数关系的数据用于计算平均发展速度、平均增长率、学习记忆的平均进步率、学校经费平均增加率、平均人口出生率等等血清中抗体滴度、血清凝集效价年度人数变化率19871988198919901991200022002430260028801.10001.10451.07001.1077例：某学生背单词

周次 1 2 3 4 5

记住单词 20 23 26 30 34

求该生记忆单词的平均进步率2.1.6调和平均数(harmonicmean)p75即倒数平均数的倒数，用于求平均速度例被试号 1 2 3 4 5 6完成题数 10 10 10 10 10 10时间（小时） 0.8 1.0 1.2 1.5 2.5 5.02.2平均数、中数和众数的关系p68在一个正态分布中，三者相等在正偏态分布中，M>Md>Mo在负偏态分布中，M<Md<Mo一般偏态情况下，Md离M较近，而离Mo较远平均数：支点两端的力矩相等中数：两侧数据个数相同众数：出现次数最多2.3集中量数的适用数据类别数据 顺序数据 等距数据 比例数据*众数 *中数 *均数 *均数 四分位 众数 调和平均数 众数 中数 几何平均数 四分位数 中数 四分位数 众数*表示该数据类型最适合用的量数思考题不做运算比较下面两个数列的平均数10,7,8,3,5,910,7,8,3,5,9,113.差异量数又叫离中量数，是表示数据分散程度的统计量，反映的是各变量值远离其中心值的程度表示数据离中趋势的量数有全距平均差方差标准差差异系数3.1全距（range）p81也称极差，是一组数据的最大值与最小值之差。

R=max（Xi）-min（Xi）3.2平均差（Averagedeviation）p87Meanabsolutedeviation各变量值与均值之差的绝对值的平均数不利于代数运算离均差(离差)deviationfromthemean3.3方差和标准差Variance&StandardDeviation

3.3.1定义p883.3.2方差和标准差的变式

Xi

xXXi=-

()22XXxi-=

2iX

6

0

0

36

5

-1

1

25

7

1

1

49

4

-2

4

16

6

0

0

36

8

2

4

64

N=6

å=36iX

å=0x

å=102x

å=2262iX

3.3.3样本方差与总体方差的区别在计算上，总体方差是用数据个数或总次数去除离差平方和，而样本方差则用样本数据个数或总次数减一去除离差平方和样本方差是统计量，用S2表示；总体方差是总体参数，用2表示当n很大时，S2与2相差很小，前者是后者的无偏估计3.3.4标准差的性质p94一组数据的每一个数据都加常数C后标准差不变一组数据的每一个数据都乘常数C后标准差变为原来的C倍3.3.5方差与标准差的优点p94方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大，说明离散程度大，其值小说明数据比较集中。具有以下优点：（1）反应灵敏。（2）由计算公式严格确定；（3）容易计算；（4）适合代数运算；（5）受抽样变动的影响小，既不同样本的标准差或方差比较稳定；（6）简单明了；（7）具有可加性。可以把总变异分解为不同来源的变异。（8）各变量值对均值的方差小于对任意数的方差。标准差的应用表示数据的离散程度标准差越大越离散结合均数描述正态分布特征根据正态分布原理求正常值范围3.4差异系数(Coefficientofvariation)p95变异系数指出了标准差对于平均值的大小，用于比较不同总体或样本数据的离散程度。同一样本不同测量的变异的比较，如相同班级不同科目的变异的比较；不同样本同一测量的变异的比较，如不同年级同一科目变异大小的比较。例：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大?解：CV体重=3.7/25×100%=14.8%CV身高=6.2/110×100%=5.64%，所以，体重的离散程度比身高的离散程度大。例：通过同一个测验，一年级学生的平均分数为60分，标准差为4.02分，五年级学生的平均分数为80分，标准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个离散程度大。解：CV一年级=4.02/60×100%=6.7%，

CV五年级=6.04/80×100%=7.55%，所以，五年级的测验分数的分散程度大。3.5数据类型和差异量数四分位差Quartiledeviation

QD=(QU-QL)/2思考题以下每组数的平均数均为50，哪组数在平均数附近的散布程度最大？哪组最小？A0，20，40，50，60，80，1000，48，49，50，51，52，1000，1，2，50，98，99，100B47，49，50，51，5346，48，50，52，5446，49，50，51，544.地位量数百分位数（Percentile）：第p百分位是这样一个值，它使得至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据项大于或等于这个值四分位数（Quartile）：将数据划分为4部分，每部分各占25%的数据项，这种划分的临界点即为四分位数。三个四分位数分别为：Q1，Q2

，Q3

十分位数（Decile）：将数据划分为10个部分,每部分占十分之一的数据项。其划分的临界点为十分位数Q1Q2Q50.25计算第p百分位步骤第一步：从小到大排列原始数据第二步：计算指数ii=(p/100)×n，n为项数，p为所求的百分位的位置第三步：若i不是整数，将i向上取整；若i是整数，则第p百分位数是第i项与第i+1项数据的平均值例：有12个职员薪金的数据，求第85和第50百分位数。解：(1)将12个数据从小到大排序如下：

221022252350238023802390242024402450255026302825(2)i=(p/100)×n=(85/100)×12=10.2(3)由于i=10.2不是整数,向上取整,所以第85百分位数对应的是第11项,其值为2630。同理，计算第50百分位（中位数）。i=(50/100)×12=6，是整数，第50百分位数是第6项和第7项的平均值，即(2390+2420)/2=2405。百分位差：P90－P10p82四分位差：(Q3-Q1)/2p85百分位数的应用常用于确定正常值范围，如医学参考值范围referenceranges习惯上确定95%（也可用80%,90%,99%）的人的界线双侧参考值，计算P2.5和P97.5白细胞总数过高过低均属异常单侧参考值，计算P5或P95肺活量：过低为异常尿铅：过高为异常WeightsofGirlsbyAgeandPercentileRankingsSource:DistributedbyMeadJohnsonNutritionalDivision.儿童生长发育评估/tools/child-growth-assessment思考题如图为对某口服药物进行的两项研究。一项研究中服用该药会增加血压10mm左右；在另一项研究中，服用该药约会增加血压10%。哪一幅图对应哪一项研究？5010015020050100150200相关分析任课老师：禤宇明本节要点1.相关和相关系数的概念2.各种相关系数的计算（适用条件、计算方法）2.1积差相关2.2等级相关2.2.1斯皮尔曼相关2.2.2肯德尔和谐系数2.3质量相关2.3.1点二列相关2.3.2二列相关1.什么是相关事物之间的关系因果关系、共变关系和相关关系因果：A→B下雨地上会湿共变：C→A，C→B小孩身高和树苗高度的关系相关：指两类现象在发展变化的方向和大小方面存在一定的关系，不能确定是否为因果关系，但不存在共变关系广告费支出与商品销售额的关系相关系数

CorrelationCoefficient相关系数：两列变量间相关程度的数量化指标总体 样本r|r|≤1几个概念完全相关：－1.00或1.00不完全相关：0<|r|<1不(零)相关：r≈0正相关：两个变量的变化方向一致，0<r≤1负相关：两个变量的变化方向相反，－1≤

r<0散点图scatterdiagram计算相关系数时应注意的问题相关系数受样本容量n的影响如果n很小，可能完全没有相关的两事物，却计算出较大的相关系数。一般以N大于30为宜相关系数不是等距数据也不是比例数据计算相关系数要求成对数据没有线性相关，不一定没有关系，可能是非线性的相关系数的计算不受以下因素影响互换两个变量某一变量的所有值都增加同一数值某一变量的所有值都乘以同一正数相关系数大小与相关程度描述P151取值范围的影响极端值的影响R=0.82.1积差相关p113也称积矩相关、皮尔逊相关适用条件两列变量为正态等距或等比，且具有线性关系。积差相关系数(P113)2.2等级相关斯皮尔曼等级相关肯德尔和谐系数2.2.1斯皮尔曼等级相关p124适用条件两列变量是等距或比例变量，但不是正态分布两列顺序变量斯皮尔曼等级相关系数例一家广告代理商想了解一家公司产品质量等级是否与其商场份额等级有关。斯皮尔曼等级相关系数的修正例2.2.2肯德尔和谐系数（肯德尔W系数）

p129多列等级变量P65例2-16肯德尔W系数的校正当出现相同等级时2.3质量相关P135一列变量为正态的等距或比例数据，另一列变量为类别变量，求两列变量的直线相关，称为质量相关。点二列相关二列相关多系列相关2.3.1点二列相关

point-biserialcorrelation适用条件两列变量中一列为等距或等比的测量数据而且总体分布为正态，另一列变量为二分的类别变量。应用点二列相关多用于编制是非测验题评价测验内部一致性等问题。注：每个题目（二分类别变量）与总分（数值）变量的相关，称为每个题目的区分度。相关高说明该题答对答错与总分的一致性高，即区分度高。点二列相关系数例2.3.2二列相关

biserialcorrelation适用条件两列变量都为正态等距（比例）变量，但其中一列变量被人为地划分成两类。应用教育和心理测量中问答题的区分度指标二列相关与点二列相关的主要区别在于二分变量是否正态。二列相关系数例0.73vs-0.96BcausesA(reversecausation)Themorefiremenfightingafire,thebiggerthefireisobservedtobe.Thereforefiremencausefire.ThirdfactorC(thecommon-causalvariable)causesbothAandBSleepingwithone'sshoesonisstronglycorrelatedwithwakingupwithaheadache.Therefore,sleepingwithone'sshoesoncausesheadache.Youngchildrenwhosleepwiththelightonaremuchmorelikelytodevelopmyopiainlaterlife.Therefore,sleepingwiththelightoncausesmyopia.Asicecreamsalesincrease,therateofdrowningdeathsincreasessharply.Therefore,icecreamconsumptioncausesdrowning.Sincethe1950s,boththeatmosphericCO2levelandobesitylevelshaveincreasedsharply.Hence,atmosphericCO2causesobesity.CoincidenceWithadecreaseinthenumberofpirates,therehasbeenanincreaseinglobalwarmingoverthesameperiod.Therefore,globalwarmingiscausedbyalackofpirates概率与分布授课老师：禤宇明本章主要内容概率古典和统计定义、概率的性质、加法和乘法定理二项分布适用条件正态分布性质、查表、应用标准正态分布、标准分数1.概率probability

1.1几个概念

确定性现象：一定条件下必然发生某种结果必然现象 沸腾乙肝，乙肝表面抗原一定为阳性不可能现象 随机现象randomevent：一定条件下结果不定如：掷硬币后哪面朝上？某患者服用某降压新药后：降？不变？升偶然性和必然性随机试验和随机事件随机试验：对随机现象的一次观察可以在相同条件下重复进行每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果进行一次试验之前不能明确哪一个结果会出现随机事件简称事件，指随机现象中出现的各种可能的结果必然事件：包含所有可能结果不可能事件：不包含任何结果试验

试验结果（事件）抛掷一枚硬币 正面，反面对某一零件进行检验 合格，不合格投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6进行一场足球比赛 获胜，失利，平局频率和概率频率frequencyN次重复试验中A事件发生的次数为n，那么事件A发生的频率概率probability当N趋向于无穷大时，事件A发生的频率趋向于一个固定值，这就是事件发生的概率P(A)实验者 N nH nH/N德·摩根 2048 1061 0.5181蒲丰 4040 2048 0.5069K·皮尔逊 12000 6019 0.5016K·皮尔逊 24000 12012 0.5005N为投掷硬币的次数，nH为正面朝上的次数1.2概率的定义

1.2.1概率的统计定义(P157)当试验次数N无限增大时，事件A发生的频率n/N稳定在一个确定的常数附近，这就是事件A发生的概率注：试验满足条件每次试验中某一事件发生的可能性不变试验能大量重复，且每次试验相互独立1.2.2概率的古典定义p157如果某一随机试验的结果有限（注：任何一个可能的结果就是一个基本事件），且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为基本事件又称为样本点；所有样本点的集合称为样本空间注：概率的统计定义是后验概率，而古典定义为先验概率思考题：判断以下哪些试验符合概率的古典定义的要求？试验

试验结果（事件）抛掷一枚硬币 正面，反面对某一零件进行检验 合格，不合格投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6进行一场足球比赛 获胜，失利，平局求掷一颗骰子其点数小于5的概率是多少解：投掷骰子试验中,可能的点数{1,2,3,4,5,6}，试验结果有限，6个试验结果以均等的可能发生

事件A={1,2,3,4}，P(A)=4/6=2/31.3概率的性质对任意事件A，0≤P(A)≤1必然事件的概率为1，即P(W)＝1

不可能事件的概率为0，P()＝0逆事件的概率P(Ā)=1－P(A)什么是逆事件？1.4概率的加法定理和乘法定理加法定理若A、B是两个相互独立的事件，则A和B至少有一个发生的概率是

P(A+B)=P(A)+P(B)推广到n个独立事件P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例求掷一颗骰子其点数小于5的概率某一考生完全凭猜测答两道是非题，求其答对一题的概率乘法定理若A、B是两个相互独立的事件，则A和B同时发生的概率是

P(A·B)=P(A)·P(B)推广到n个独立事件

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例求掷两颗骰子其点数和为12(11,或7)的概率求掷两颗骰子其点数不等的概率凭猜测完全答对10题4选1选择题的概率二战中飞行员在每次轰炸任务中被击中的机会是2%，那么执行50次任务“在数学上”就一定被击中吗？因为50×2%=100%N个人当中至少有两个人的生日是同一天的概率是多少？假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门，假设是3号门。他然后问你：“你想选择2号门吗？”那么，你是否应该改变原来的选择呢？2.二项分布

2.1排列permutation从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按一定顺序排成一列例用四个数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的二位数？多少个没有重复数字的四位数？思考题：如果数字可以重复，上题的答案又是多少？2.2组合combination从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不管顺序并成一组组合的性质从100个元素中每次取97个不同元素的组合数是多少？2.3随机变量的期望和方差随机变量的方差方差的性质2.4二项分布p177

离散型分布的一种每次随机试验只有两种可能的结果：A及Ā，P(A)=p，P(Ā)＝1－p＝q(0<p<1)。n次独立试验下，事件A发生的次数为x的概率分布例全凭猜测答10道是非题，问分别答对5、6、7、8、9、10题的概率各为多少？至少答对5题的概率又是多少？例全凭猜测答10道4选1选择题，问分别答对8、9、10题的概率各为多少？至少答对1题的概率又是多少？至少答对9题的概率是多少？马丁服装店问题商店经理估计进入该服装店的任一顾客购买服装的概率是0.30,那么三个顾客中有两个购买的概率是多少?分析：试验包含了三个相同的试验，进入商店的三个顾客中的任一个即为一次试验每次试验都有两个结果：顾客购买或不购买顾客购买的概率(0.30)或不购买的概率(0.70)被假设为对所有顾客都相等某个顾客的购买决定独立于其他顾客的购买决定某保险公司有2500个同一年龄同一阶层的人参加了寿命保险。已知1年内这批人的死亡水平为0.002，每个参加保险的人需在年初支付保险费12元，如果发生死亡，保险公司赔付2000元。保险公司亏本的概率是多少？保险公司获利不少于10000元的概率是多少？解：设X为死亡人数，如果12×2500<2000X，即X>15时，保险公司要赔本。p=0.002

获利10000元，即12×2500－2000X≥10000,即X≤101.当n趋向于无穷大时，二项分布趋向于正态分布

2.二项分布的均值、方差和标准差2.5其他离散型概率分布

2.5.1负二项分布某随机试验结果只有两种可能，出现某结果的概率为p，则不出现该结果的概率为q=1－p。现在一直进行试验，直至这一结果出现r次为止，以X表示试验共需要进行的次数，则有一个市场调查员需要完成500份调查表的访问任务，随机碰到的行人大约3/10的人乐意回答他的问题，每找到一个人需花6分钟的时间。问该调查员完成500份问卷约需多长时间？2.5.2多项分布现有一批产品，已知合格品占11/18，次品占2/9，废品占1/6，从中随机抽取6件，问抽到3件合格品、2件次品和1件废品的概率有多大？2.5.3几何分布在一个伯努利试验中，某个时间出现的概率为p，现在一个一个地进行试验，直至出现该事件为止，如果X表示试验所需进行的次数，则X服从几何分布，其概率分布函数

f(x)=qk-1p,k=1,2,…E(X)=1/p,Var(X)=q/p22.5.4超几何分布在50个零件中，已知有5个不合格，如果随机从中抽4个，问4个样品中恰好有1个不合格的概率是多少？不超过2个不合格零件的概率是多少？超几何分布的推广一家商业零售集团开设了100家分支商店，其经营业绩如下：

经营业绩 优 良 中 差

分店数 24 38 28 10

从100家分店中随机抽取20个，问其中有8个优、7个良、3个中、2个差的概率是多少？2.5.5泊松分布泊松分布的医学应用举例单位时间内某事件发生次数的分布，如细菌、血细胞等单位面积（容积）内计数结果的分布人群中某些发病率很低的传染病，如某恶性肿瘤的患病数或死亡数的分析放射医学中同位素计数的数据处理某些疾病的地区或家族集积性，某种基因突变而引起的遗传性疾病的分布世界杯中的统计学

作者：陈峰2002年韩日世界杯64场比赛中，各队进球数有多有少。大部分是0，1，2个进球，个别队是5个以上进球，最多的是8个进球。宏观上来说，各队进球数服从Poisson分布！下面是各队进球数(不包括点球)，平均进球数1.2578，拟合Poisson分布结果如下：每场各队进球数 场数 理论数

0 37 36.391 47 45.772 27 28.783 13 12.074 2 3.795 1 0.95≥6 1 0.25合计 128 128.00

如果包括点球数，同样服从Poisson分布。平均分布（补充）

uniformdistribution3.正态分布

3.1连续型随机变量不可能一一列举可能的取值取任一指定实数值的概率为0我们对落入某个区间内的概率更感兴趣3.2正态分布p162

3.2.1正态分布的概率密度函数设连续型随机变量x具有概率密度

称x服从参数为,

的正态分布normaldistribution或高斯分布Gaussiandistribution，记为x～N(,2)

其中，为随机变量x的均值

为随机变量x的标准差

为圆周率3.14159…

e为自然对数的底2.71828…3.2.2正态（概率密度）曲线的特点概率密度曲线和x轴之间的面积等于1概率P{x1＜x≤x2}关于x＝对称对任意h>0，有P{-h<x<}=P{<x<+h}当x＝时有最大值

x离越远，f(x)的值越小并逐渐趋向0这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落入区间上的概率越小如果固定改变的值，则图形沿x轴平移，而不改变形状如果固定改变，由于最大值

可知当越小时图形就变得越尖，因而x落在附件的概率就越大如何理解概率密度曲线假设有一根无限长的棍子，总的质量为1。棍子的中心部分密度比较大，而两端较轻如果把棍子切成同样长度的一段一段，那么中间部分的一段比边上的重3.2.3标准正态分布＝0，＝1时，有

标准分数（P96）又称为Z分数，以标准差为单位，反映了一个原始分数在团体中所处的位置Z分数的性质Z分数的平均数为0Z分数的标准差为1标准分数的应用比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低.如：某人Z身高1.70=0.5,Z体重65=1.2,则该人在某团体中身高稍偏高，而体重更偏重些当已知各不同质的观测值的次数分布为正态时,可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值，以表明在总体中的位置.P100例4-10正态分布的标准化

标准正态分布表(P.449)仅给出Z为正值时的P和对应的Y当Z为负值时利用对称性求相应的P和Y对于X～N(,2)先化为标准正态分布再查表p(0<z<Z)=P例：X~N(0,1)，求以下概率1)P(0<x<1)

2)P(x<1) 3)P(x<-1)4)P(1<x<2) 5)P(|x|1) 6)P(x>-1)写出以下区间如果X～N(,2)X～N(0,1)平均数左右1个标准差平均数左右z个标准差需要记住的一些Z值某市参加数学奥林匹克业余学校入学考试的人数为2800人，只录取学生150人，该次考试的平均分为75分，标准差为8，问录取分数应定为多少？解：考试成绩服从正态分布，即

X～N(75,82)，转换成标准正态分布Z~N(0,1)。

根据题意招生人数的概率为

P(Z≥Z0)=150/2800=0.05357

P(0<Z<Z0)=0.5－0.05357=0.44643

查正态分布表，得Z0=1.6112

X0=75+1.6112×8=87.8894≈88例在某年高考的平均分数为500，标准差为100的正态总体中，某考生得到650分。设当年高考录取率为10％，问该生成绩能否入围？解：该生的标准分数为

Z＝(650-500)/100=1.5

查正态分布表,

当Z=1.5时，p=0.433

从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置

从高分到低分的顺序中他处于6.7%的位置假设成人智商服从均数为100，标准差为15的正态分布。如果智商大于160的都是天才，那么请问100万人里有几个天才？3准则当X~N(,2)时,有P(|x－|)＝0.6826P(|x－|2)＝0.9545P(|x－|

3)＝0.9973当X~N(0,1)时有P(|x|

1)＝0.6826P(|x|

2)＝0.9545P(|x|

3)＝0.9973X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%

如果某个值在|x-|3之外,可以判定为异常值资料：例如根据我国国家体委、原教育部、卫生部1978年至1980年对全国16个省市20余万名青少年儿童进行的“中国青少年儿童身体形态、机能、素质调查研究”的资料，其中18～25岁男青年的平均身高是170.5厘米，标准差5.75厘米,这可以作为确定我国城市成年男性平均身高的重要依据。姚明的身高为226cm，求所对应的Z，以及身高在226cm以上的成年男性所占的比例。姚明：如果上天再给我一次机会我不要2米26身高但除了打篮球，长得高还有什么好处呢？“上面的空气新鲜一些。”这是姚明的回答。3.2.4散点图和分布大部分点散布在均值左右2个标准差内2Sx2Sx

2SY2SY抽样理论和参数估计任课老师：禤宇明本章基本内容基本概念总体、个体、总体容量、样本、样本容量、抽样、参数、统计量抽样方法随机、等距、分层抽样分布样本平均数：Z分布、t分布样本方差：卡方分布、F分布参数估计点估计：充分性、无偏性、有效性、一致性区间估计：显著性水平、置信度、置信区间1.抽样的基本概念总体(population)：要研究的事物或现象的全体个体(unit)：组成总体的每个元素(成员)总体容量(populationsize)：一个总体中所含个体的数量样本(sample)：从总体中抽取的部分个体样本容量(samplesize)：样本中所含个体的数量抽样(sampling)：为推断总体的某些重要特征，需要从总体中按一定抽样技术抽取若干个体的过程参数(parameter)：反映总体数据特征的量数统计量(statistic)：反映样本数据特征的量数统计量是样本的函数，只依赖于样本；样本均值、样本方差等都是统计量放回抽样和不放回抽样放回抽样(重置抽样)从总体N个单位中抽取n个单位作为样本时，每次只从总体中抽取一个单位，进行登记后再把它放回原来的总体中去某次被抽取的单位在下一次还有可能被抽到总体单位数每次抽样都不变不放回抽样(不重置抽样)从总体N个单位中抽取n个单位作为样本时，每次从总体中抽取一个单位后，被抽取单位不放回总体中，仅从余下部分进行下一次抽取。相当于一次从N个总体单位中抽取n个单位抽样的实例血常规：用一滴外周血的化验结果，代表一个人的全血成分2.抽样方法

2.1简单随机抽样

simplerandomsamplingp422完全随机地选取样本，要求有总体中每一个个体的详尽名单，给总体N个元素编号抽签随机数字表P48610~1415~1920~2425~2930~340506143427413833897694693000665402100568166848744084000774625081098809227071031842在农村推行联产承包责任制时，如何把地力、水利等各方面条件存有差异的田地分到各家各户，确实难上加难。最终还是采用“抽签”来确定挑选田地先后顺序的办法解决的。签号排在后面的自然挑不到理想的田地。但人们都认为“碰运气”的办法是最“公平”的。没有抽到好签，只能怨自己“倒霉”。有意见也不好说。2.2等距抽样p424又称系统抽样(systematicsampling)给总体N个元素编号抽样间距k＝N/n随机确定起点a(1≤a≤k)a,a+k,a+2k,…,a+(n-1)k缺点：受总体数据的周期性的影响电话号码交通高峰期例：从N＝800的总体中抽取n=50的样本a=3,k=112.3分层抽样stratifiedsampling

425先将总体分成不同的“层”，然后在每一“层”内进行简单随机抽样分层原则：层内变异要小，层间的变异要大可防止简单随机抽样造成的样本构成与总体构成不成比例的现象。比例分层抽样例：总体20人，其中男5，女15，抽样4人

解：“男”在总体的比例为5/20=1/4

因此应抽取“男”4×0.25＝1人，抽取“女”3人2.4其他抽样方法尽量避免方便抽样(Conveniencesampling)由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样判断抽样(Judgementsampling)通过某些条件过滤选择某些被调查者参与调查的判断抽样法如：focusgroup多级抽样MultistageSampling：用于大型的抽样调查按地域分层（比如按省、市、自治区）按城市、郊区、乡村分层在每层中随机抽取若干社区communities社区按街区或区域划分为类（clusters）抽取其中的若干clusters作为调查对象随机数字拨号Random-digitdialingABSTRACTBackground

ThescopeoftheterroristattacksofSeptember11,2001,wasunprecedentedintheUnitedStates.Weassessedtheprevalenceandcorrelatesofacutepost-traumaticstressdisorder(PTSD)anddepressionamongresidentsofManhattanfivetoeightweeksaftertheattacks.Methods

Weusedrandom-digitdialingtocontactarepresentativesampleofadultslivingsouthof110thStreetinManhattan.Participantswereaskedaboutdemographiccharacteristics,exposuretotheeventsofSeptember11,andpsychologicalsymptomsaftertheattacks.ResultsAmong1008adultsinterviewed,7.5percentreportedsymptomsconsistentwithadiagnosisofcurrentPTSDrelatedtotheattacks,and9.7percentreportedsymptomsconsistentwithcurrentdepression(with“current“definedasoccurringwithintheprevious30days).AmongrespondentswholivedsouthofCanalStreet(i.e.,neartheWorldTradeCenter),theprevalenceofPTSDwas20.0percent.PredictorsofPTSDinamultivariatemodelwereHispanicethnicity,twoormorepriorstressors,apanicattackduringorshortlyaftertheevents,residencesouthofCanalStreet,andlossofpossessionsduetotheevents.PredictorsofdepressionwereHispanicethnicity,twoormorepriorstressors,apanicattack,alowlevelofsocialsupport,thedeathofafriendorrelativeduringtheattacks,andlossofajobduetotheattacks.ConclusionsTherewasasubstantialburdenofacutePTSDanddepressioninManhattanaftertheSeptember11attacks.ExperiencesinvolvingexposuretotheattackswerepredictorsofcurrentPTSD,andlossesasaresultoftheeventswerepredictorsofcurrentdepression.Intheaftermathofterroristattacks,theremaybesubstantialpsychologicalmorbidityinthepopulation.13亿vs0.82亿5万vs250万3.抽样分布 p183总体

总体方差3.1.1总体方差已知的样本平均数分布

总体分布正态p183

总体分布未知中心极限定理CentralLimitTheorem设从均值为，方差为2（有限）的任意一个总体中抽取大小为ｎ的样本，当ｎ充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为，方差为2/ｎ的正态分布。注：什么叫ｎ充分大呢？总体偏离正态越远，则要求ｎ就越大。在实际应用中常要求ｎ30或者ｎ50

标准误standarderror样本平均数的标准差称为标准误例：某电梯承受的最大拉力为1000千克,可乘坐13人。已知人群的平均体重为60千克，标准差为14千克，且服从正态分布。问电梯发生事故的概率是多少？例：某厂声称生产的电池=54个月，=6个月的寿命分布。某消费团体为检验该厂的说法是否准确，购买了50个该厂生产的电池进行试验。

⑴若厂商声称是正确的，描述50个电池平均寿命的抽样分布；

⑵若厂商声称是正确的，则50个样品组成的样本的平均寿命不超过52个月的概率是多少？3.1.2总体方差未知的样本平均数分布

p187当总体方差2未知时，用S2作为2的估计值3.2t分布3.2.1自由度degreeoffreedomp186可以自由取值的变量的个数任意说出三个整数任意说出三个和为100的整数3.2.2t分布的特点p186

student’stdistribution对称：左侧为负，右侧为正，均值为0-

<t<+n→时,t分布为正态分布，方差为1n>30时,t分布为接近正态分布，方差>1,n<30时,t分布与正态分布相差较大，随n-1减小方差越大n>45时,t分布与正态分布没有多大差异在小样本n<30时,t分布具有重要作用3.2.3t分布的一些推论3.3样本方差的分布样本方差的分布较复杂，它与总体分布有关。在这里只研究当总体为正态分布时，样本方差的分布。设x1,x2,…,xn为来自正态分布N(，2)的样本，则从数学上可以推导出正态总体下样本方差S2的分布为:3.42分布Chi-squaredistribution

p1883.4.12分布的特点p189正偏态分布当df→∞时，2分布为正态分布2值都是正值可加性k个2分布的和也是2分布2=df;22=2df(df>2)连续型分布3.4.22分布表P475例

df=5，求

=0.05和

=0.01时的单侧临界值解：

3.5F分布Fdistributionp1903.5.1F分布的特点p191F(n1，n2)分布形态是正偏态分布，形式随n1，n2不同而不同，当n1，n2的增加而渐趋正态分布F为两个方差比率，所以为正值n1=1，n2任意时，F值与自由度为n2的t值的平方相等，即F(1,n2)=t2(n2)F(n1,n2)=1/F1-(n2,n1)（114）3.5.2F分布的应用F分布是统计学家费歇尔(R.A.Fisher)于1924年首先发现的假设检验区间估计方差分析回归分析4样本容量的计算根据最大允许误差确定样本容量样本容量n，总体方差2，允许误差d，可靠性系数Z/2的关系总体方差越大，需要的样本容量越大；允许误差越大，需要的样本容量越小；可靠性系数越大，需要的样本容量越大；例：要使95%置信区间的允许误差为5，应选取多大的样本容量？假定总体的标准差为25。例：一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。检验表明，总体方差约为1800000。如置信度取95％，并要使估计值处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？例：一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对p的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应取多大容量的样本?例：一项调查中，总体比率的计划值为0.35，则当允许的最大绝对误差为0.05时，在求其95%置信区间时应采用多大的样本容量？5参数估计p198设总体有待估参数，自总体中抽取样本x1,x2,…,xn点估计pointestimate用样本的某一统计量估计

如用样本均值估计总体均值区间估计intervalestimate求出一定概率下的取值范围5.1点估计p199统计量作为估计量estimator充分性