avf.中级证券学4－5（学生）bjq

浙江大学经济学院

中级证券学硕士学位课程课件C4-5授课·汪炜浙江大学经济学院金融学副教授浙江大学证券期货研究所副所长1Chapter4

不确定性资产的业绩评估：均值方差分析investmentC64.1风险资产的绩效评估4.2均值方差分析4.3有效界面24.1

风险资产的绩效评估我国股市价格的趋势及其波动（上证指数1992－）3风险资产的双重性

收益性和风险性共生，双重决策风险资产选择的公理－随机占优（StochasticDominance)

参见Rothschild&Stiglitz(1970)

人们追求预期收益最大和风险最小的资产。

也就是说遵循以下随机占优原则：

风险相同，选择收益最大的资产；收益相同，选择风险最小的资产。4Model4.1:风险资产评估1：预期收益

均值预期模型：E(x)=ixiPT0T0T1X1X2X3512453123我国股市的收益性（上证指数2000.1--2002.1）6Case4.1:

一个关于股票投资选择的例子A注：股票A、B、C的初始股价均为10元7股票回报的概率分布概率股票回报率•10.78我国股市的波动性（风险）9Model4.2:风险资产评估2：风险

Markowitz定义的风险:

方差：Var(x)=i[xi－E(x)]2

标准差：

测度风险的其它统计量:平均绝对离差MAD：i|xi－E(x)|

半方差：10Case4.2:

一个关于股票投资选择的例子B114.2

均值方差分析

mean-varianceanalysisapproach风险资产的业绩表述:用概率定义的风险资产

均值：

E(x)=ixi

方差：Var(x)=i[xi—E(x)]2

于是，根据随机占优法则，有：

Var()相同，选择Max.E()E()相同，选择Min.Var()

PortfolioSelection.JournalofFinance1952.Vol.712资产回报的分布股票收益是一个连续概率分布，其最广泛的应用即正态分布概率股票回报率131926－1996年间美国资本市场不同资产市盈率分布的实际情况14参见：investment附录6A随机变量概率分布的性质中值的确定均值（预期值）、中位数、众数风险特性描述

a.正负偏离抵消问题—平均绝对偏差（MAD）

方差（Variance）、标准差（StandardDeviation）b.偏度(skewness)问题—分布的长尾巴影响投资者选择不对称性的测度和量化：三阶矩差及以上奇数矩差15概率分布的基本描述

一阶矩差（均值）代表酬报，二阶矩差表示酬报的不确定性偶数矩差表明有极端值的存在，奇数矩差代表不对称性的测度萨缪尔森证明Samuelson,ReviewofEconomicStudies37/1970

假设：收益分布的紧凑性、价格的持续性结论：

a.超过方差的所有矩差的重要性远小于预期值和方差，即忽

略大于方差的矩差不会影响资产组合的选择；

b.方差与均值对投资者的福利同等重要。164.3

有效界面

PortfolioFrontierE(r)0我国A股市场的均值方差分布17

ABDC0风险程度预期收益风险资产的选择域（均值/方差分析）18

BA0风险程度预期收益绩优股成长股重组股有效界面（有效资产集）的性质

19Case4.3:

一个关于股票投资选择的例子C20Chapter5

期望效用与风险偏好理论

investmentC65.1期望效用理论5.2风险倾向与财富效用曲线5.3风险条件下的最优投资选择5.4金融投资顾问的作用5.5投资者如何处理风险215.1期望效用理论财富的边际效用递减

1738年，DanielBernoulli“圣彼得堡悖论”

反面概率Pr(n)报酬R(n)=2n概率×报酬01/211/211/421/221/841/231/1681/2::::n(½)n+12n1/222所以，预期报酬为：

E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+....=财富的边际效用递减:投资者赋予所有报酬的每一单位的价值是不同的。随着财富的增加我们的效用函数值也增大，但是财富每增加一个单位所增加的效用的数量应该逐渐减少。DanielBernoulli对于“圣彼得堡悖论”的研究，揭示了财富的边际效用递减的规律，使风险厌恶成为投资决策的前提条件和核心内容。23推导参见：

FoundationforFinancialEconomics，Huang&Litzenberger，

宋逢明译，清华大学出版社2003版期望效用(ExpectedUtility)函数

经济学家们总是希望用完备的数学规制来定义经济社会中个体的理性行为，从中得出这些行为的最一般的特征。从而在此基础上用某种理论来刻画个体选择的目标和方法。1953年，VonNeumann-Morgenstern以完全公理的体系提出了期望效用函数NMU。1964年，他们又将其运用到投资理论中。期望效用理论证明：当个体的行为服从下述行为公理时，个体偏好可以用期望效用函数来表示。当然，这些行为公理是从经济学角度出发的，并不一定服从人类学、心理学、政治学以及社会学的标准。这就为行为金融学的发展提供了广阔的空间。24

推导和证明期望效用函数的存在性约简性公理ReductionAxiom保序性公理OrderPreservingAxiom中值性公理IntermediateValueAxiom独立性或替代公理IndependentorSubstituteAxiom阿基米德公理ArchimedeanAxiom25Model5.1:NMU效用函数

我们以概率空间（，F，P）来定义时间t的不确定性,中的每个元素表示一个状态。定义一个消费计划X（·），X：Z（ZR)，为一可测函数，x（）表示状态发生时的消费量。当状态的数目很多时，消费计划X为高维向量，如果存在一个函数u使得消费计划之间的比较是确定的，且存在上的概率测度P，此时偏好关系就可以用期望效用表示：

26参见：

V-M.1953.TheoryofGamesandEconomicBehavior

Savage.1972.FoundationsofStatistics记概率分布P下的期望算子为E（·），于是有在有限状态的情况下，我们可以把期望效用函数描述为：E[U(x)]=iU(xi)

描述一个偏好关系的期望效用形式主要有两种，取决于概率取值是客观的还是主观的：前者由VonNeumann、Morgenstern引入；后者来自于Savage（1972），他把概率估计看作是投资者偏好的一个组成部分，因此是主观的。27效用和期望效用UWE[U(x)]E(x)X1X2U(x)U(x1)U(x2)28“圣彼得堡悖论”中，如果参加游戏者（投资者）的财富效用值可用对数效用函数加以描述，那么我们可以有期望效用值的上限：

V(R)=Pr(n)

logR(n

)=(½)n+1log(2n

)=0.693

因为:log(2

)=0.693，

所以:该游戏的最高价格为2元。295.2风险倾向与财富效用曲线风险倾向的类型关于Attitudetorisk

的理论定义

对于E(A)=B，即对等投资

如果E[U(A)]U(B)，风险厌恶Riskaverse

如果E[U(A)]=U(B)，风险中性Riskneutral

如果E[U(A)]U(B)，风险喜好Riskloving30令：A＝f（W0+h1，W0+h2，p，1-p）；E(A)=B＝W0；u（·）是个体的效用函数，则从（严格）风险厌恶的定义，有：

u（W0）＝u[p(W0+h1)+(1-p)(W0+h2)]>pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)=E[u（·）]pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)UWW0W0+h2W0+h1U(·)u(W0+h1)u(W0+h2)u(W0)031E(A)=BE(A)=BE(A)=BE(U)E(U)U(B)U(B)E(U)=U(B)风险厌恶者U’>0,U’’<0风险中性者U’>0,U’’=0风险喜好者U’>0,U’’>0UW投资者的财富效用曲线32Model5.2:等效用曲线

根据Tobin（1958），资产的回报率服从以R为均值、以为标准差的正态分布时，我们可以把效用函数表示为：

U＝U（r；R，）

期望效用可以表示为均值与标准差的函数：所以，我们也可以把无差异曲线表示成均值与方差的函数。此时，风险厌恶者的回报和风险之间的边际替代率是正的，无差异曲线是凸的。33E(r)0风险厌恶者等效用曲线的凸性34E(r)风险厌恶者风险中性者风险喜好者不同风险偏好投资者的等效用曲线

35Model5.3:风险倾向的经验描述

总效用（U）=收益的效用U(收益)+风险的效用U(风险)如果：U(风险)0，风险厌恶如果：U(风险)=0，风险中性如果：U(风险)0，风险喜好最常用的如：U=E(r)-0.005A2A为投资者风险厌恶指数，一般介于2.0-4.0之间36Case5.1:

投资者效用的计算

有一期望收益率为20%、标准差为20%的风险资产，和一可以提供7%的确定收益率的无风险资产，投资者的风险厌恶程度A＝4，他会作出什么样的投资选择？如果A＝8呢？对于A＝4的投资者，风险资产的效用是：

U＝20－(0.005×4×202)＝12

而无风险资产的效用为：U＝7-(0.005×4×0)＝7

投资者会偏好持有风险资产(当然，无风险资产与这一风险资产的组合可能会更好，但这并非此题的选项)。对A＝8的投资者而言，风险资产的效用是：

U＝20－(0.005×8×202)＝4

而国库券的效用为7，因此，越厌恶风险的投资者越倾向于持有无风险资产。37不同风险厌恶程度投资者的等效用曲线E(r)保守型温和型激进型038E(r)保守型温和型激进型0395.3风险条件下的最优投资选择E(r)0有效界面效用无差异曲线投资者的风险资产决策40B0AD风险厌恶风险喜好保守型/投资者温和型/投资者激进型/投机者E(r)风险厌恶程度与投资者行为415.4金融投资顾问的作用风险倾向评估

—了解投资者的和让投资者了解自己的风险承担能力建立投资者效用函数如：U=E(r)-0.005A2测度投资者的风险容忍度

设计“风险测试”来帮助人们确定自己是保守、温和还是激进的投资者。一般来说，风险问卷包括7-10个问题，涉及一个人的投资经历、金融证券以及保守或冒险的倾向。许多公司提供这种测试，包括：美林、苏黎世集团、前卫集团等。42Case5.2:

风险测试问卷在你认为合适的答案前的字母上划圈1、你投资60天之后，价格下跌20%，假设所有基本情况不变，你会怎样做？A为避免更大的担忧，把它抛掉再试试其它的；B什么也不做，静等收回投资；C再买入。这正是投资的好机会，同时也是便宜的投资。2、现在换个角度看上面的问题。你的投资下跌了20%，但它是资产组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达到投资目标。2a、如果目标是3月以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入2b、如果目标是1年以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入2c、如果目标是5年以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入3、在你买入年金基金一个月之后，其价格上涨25%，同样，基本条件没有变化。沾沾自喜之后，你怎么做？A抛出并锁定收入B保持卖方期权并期待更多的收益C更多买入，因为可能还会上涨4、你的投资期限长达15年以上，目的是养老保障。你更愿意怎么做？A投资于货币市场基金或有保证的投资合约，重点保证本金安全43B一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望在增长的同时还有固定收入的保障C投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能会有巨幅波动，但5-10年后有巨额收益的潜力。5、你刚刚获得一个大奖！但具体哪一个，由你自己定。A2000美元现金B50%的机会获得5000美元C20%的机会获得15000美元6、有一个很好的投资机会，但是你得借钱。你会接受贷款吗？A绝对不会B也许C是的7、你所在的公司要把股票卖给职工，公司管理层计划在三年后使公司上市，在上市之前，你不能出售手中的股票，也没有任何分红，但公司上市时，你的投资可能会翻10倍，你会投资多少钱买股票？A一点儿也不买B两个月的工资C四个月的工资风险容忍度打分：按以下方法将你的答案乘以不同的系数相加，就得出了测试的结果。A答案数1=

分B答案数

2=

分C答案数

3=

分你得分数为

分

资料来源：TheWallStreetJournal如果你的分数为：你可能是一个：

9-14分保守的投资者

15-21分温和的投资者

22-27分激进的投资者44B0A保守型/绩优蓝筹股温和型/成长股激进型/重组股根据风险倾向提供证券选择45根据风险类型提供资产配置建议

美林公司对其720万个零售帐户的个人投资者进行调查，把个人投资者的风险类型归入四种：收入保守型、增长保守型、适度风险型、高风险型。每种类型都会得到资产配置或混合投资方面的建议。根据美林公司的划分原则，一个选择了“高风险型”的投资者，就可以被允许“大胆地在资产种类中进行选择”与经营“投机性与高风险的业务”。

46

MerrillLynch的资产配置建议

股票债券现金收入保守型30%60%10%增长保守型60%30%10%适度风险型50%40%10%高风险型60%40%0%

基准（大型平衡基金）50%45%5%475.5投资者如何处理风险回避风险的成本何为回避风险风险厌恶者把一个风险状态下的不确定性效用转化为与之同一水平的确定性效用的过程，被称为回避风险。风险金根据下图分析，我们发现：投资者愿意接受E(A)-

或支付

以获得与原先的期望效用水平相同的确定性效用。就是其为规避风险而愿意支付的代价（货币数额），即风险金。其定义为：风险资产的期望收益和与此收益具有等额效用的无风险收益之间的差额。

=E(A)－X,X满足U(X)=E[U(A)]48

风险金的图示

UWE(A)U(A)E[U(A)]=U[E(A)-r]

X49Case5.3:

风险金的计算令：A=f（1/2，400；1/2，1600）;U(x)=X1/2

于是有：U(400)=20U(1600)=40；E(A)=1000

U(1000)=10·101/2

E[U(A)]=1/2·20＋1/2·40=30<U(1000)所以：风险厌恶根据风险金的定义：E[U(A)]=U(1000-);X1/2=30所以：=E(A)－X=1000–900=100

50确定等价收益率与风险溢价

风险金又被称为用以补偿投资风险的风险溢价水平（RP值），而X也被称为风险资产的确定等价收益率（Certaintyequivalentrate，CER），就是为使无风险投资与风险投资具有相同的吸引力而确定的无风险投资的报酬率。E(r)XRPCER51不同投资者的CER和RPE(r)X1RPCERX2P52Model5.4:推导和证明风险厌恶的度量风险溢价由风险金定义，要求满足：U[E(A)-]=E[U(A)]

Markowitzriskpremium:=E(A)－X

特别地，考虑一类风险很小的投资（2），假设效用函数u是二次连续可微的，对上式两边Taylor级数展开，得：

u(E(A))－

u’(E(A))+0()=u(E(A))+1/22u’’(E(A))+0(2)

Pratt-Arrowriskpremium:2/2[－u’’(E(A))/u’(E(A))]

马科维茨风险溢价度量比普拉特－阿罗风险溢价度量更具一般性。53Case5.4:

风险溢价指标的比较考虑对数效用函数u(z)=lnz,z>0,W0=20000元。i:20000f(0.5,19990;0.5,20010)ii:20000f(0.8,19000;0.2,210000)i:E[u(）]=0.5u(19990)+0.5u(20010)=9.903487428CER=e9.903487428=19999.9974998M=20000-CER=0.0025002pA=2/2[－u’’(W0)/u’(W0)]=2/2(－1/W0)=100/2(-1/20000)=0.0025ii:M=489;pA=32454Model5.5:绝对风险厌恶(absoluteriskaversion)

根据Pratt-Arrowriskpremium，风险厌恶程度取决于：－u’’(W)/u’(W)项。可见，仅观察u’’(W)只能判定投资者对风险的态度，而上式却可以同时度量个人对风险的态度和厌恶风险的程度。从几何学角度来看，－u’’（w）/u’（w）是u（w）曲线（或曲面）的曲率（弯曲程度），值越大弯曲越厉害，符号表明弯曲方向。因此，它可以作为风险厌恶的一个有效的度量指标，因为它由Pratt（1964）和Arrow（1970）首先定义，所以被称为阿罗－普拉特绝对风险厌恶度（敏感度）：

A（w）＝－u’’（w）/u’（w）55

显然，A（w）>0，意味着pA（w）>0，风险厌恶型A（w）＝0，意味着pA（w）＝0，风险中性型A（w）<0，意味着pA（w）<0，风险喜好型财富水平对风险厌恶的影响问题的提出：假设当投资者拥有10000元财富时，他将其中的5000元投资于风险资产，那么当他财富增加到20000元时，投资者将把多少资金投入风险资产呢？56阿罗－普拉特定理

Arrow（1970）在绝对风险厌恶度的基础上，考察了随着个人财富的增加投资者对风险资产的投资变化，从而定义了三类绝对风险厌恶的类型：A’（w）<0，投资者是递减绝对风险厌恶型的，即随着个人财富增加，其风险资产投资也增大（视风险资产为正常品）；A’（w）＝0，投资者是常绝对风险厌恶型的，即风险资产投资决策与个人财富无关；A’（w）>0，投资者是递增绝对风险厌恶型的，即随着个人财富增加，其风险资产投资反而越少（视风险资产为劣质品）。

说明：A’（w）<0，意味着u’’’（w）>0，如果三阶导数存在。57

绝对风险厌恶度类型

定义条件性质例子递减绝对风险厌恶型财富增加，持有风险资产数量增加A’（w）<0U(w)=lnW递增绝对风险厌恶型财富增加，持有风险资产数量减少A’（w）>0U(w)=W-cw2常数绝对风险厌恶型财富增加，持有风险资产数量不变A’（w）＝0U(w)=－e-cw58Model5.6:推导和证明阿罗－普拉特相对风险厌恶度

Arrow

和

Pratt在考察个人财富的增加对投资者风险资产投资比例的影响的基础上，定义了相对风险厌恶度量：

R（w）＝－wu’’（w）/u’（w）

从而，有了三类相对风险厌恶的类型：R’（w）<0，投资者是递减相对风险厌恶型的，即随着个人财富增加，其风险资产投资比例也增大（风险资产需求的财富弹性大于1）；R’（w）＝0，投资者是常（不变）相对风险厌恶型的，即随着个人财富增加，其风险资产投资比例不变（财富弹性等于1）；R’（w）>0，投资者是递增相对风险厌恶型的，即随着个人财富增加，其风险资产投资比例反而越少（财富弹性小于1）。59定义条件性质例子递减相对风险厌恶型财富增加，持有风险资产比例增加R’（w）<0U(w)=e-2w-1/2递增相对风险厌恶型财富增加，持有风险资产比例减少R’（w）>0U(w)=w－bw2不变相对风险厌恶型财富增加，持有风险资产比例不变R’（w）＝0U(w)=lnW

相对风险厌恶度类型

60Case5.5:

风险厌恶类型推导和证明假设投资者的效用函数：u(w)=lnW有：u’(w)=W－1

u’’(w)=－W－2根据A（w）