大学物理：第4章 刚体力学

§4.1刚体的基本运动§4.2刚体定轴转动的描述§4.3转动定律§4.4刚体的角动量§4.5刚体定轴转动动能定理§4.6刚体的平面平行运动(不讲)§4.7进动(不讲)第4章刚体力学作业:教学基本要求

一

理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.

三

理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.§4.1刚体的基本运动4.1.1平动4.1.2转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动:刚体上任一质元都在平行于一固定参考平面的平面内运动.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+一刚体转动的角速度和角加速度参考平面角位移角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴§4.2刚体定轴转动的描述角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.角量与线量的关系二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比飞轮30s

内转过的角度例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数

例2

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s时所以转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数P*O

:力臂刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩

4.3.1力矩§4.3力矩转动定律转动惯量O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O求环受到的摩擦力对转轴Oz的力矩。方向转动,环与平面间的摩擦系数为，例

质量为m，半径为R的细圆环在水平面上绕中心竖直轴Oz沿逆时针解：某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiritnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mrrmirmii∑2()得Mrrmirmii∑2()=4.3.2转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量4.3.3转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：质量元

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元质量连续分布刚体的转动惯量O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元例2一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒ORO

例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R34.3.4平行轴定理正交轴定理转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意例:圆盘对P轴的转动惯量PO1.平行轴定理2.正交轴定理应用正交轴定理很容易就可以得出一细圆环对其直径的转动惯量为薄圆盘对其直径的转动惯量为薄板状刚体,对板面内相互垂直的两个定轴的转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的定轴的转动惯量．即转动定律例题二例已知求T1T2aRm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aaT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Ia=RI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr

,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=I再联立求解。转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度细绳线加速度a求解法提要（A）αMIFR21mR22FmRaαR2Fm（B）αIRT21mR2αam1gTm1m1Rααm121mm1+()RgaαRm121mm1+()g静止落下距离

时，

例4

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从ABC其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为再求线加速度及绳的张力.ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程ABC竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？

例

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得§4.4

刚体的角动量角动量定理角动量守恒定律4.4.1

刚体定轴转动的角动量4.4.2刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理4.4.3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量例:如图所示，两圆柱体可绕各自的质心水平轴自由转动，它们的转动惯量分别为和，半径分别为和，初角速度分别为和;现使两者侧面接触，因摩擦两圆柱体最终以相同的线速度转动，试求：(1)稳定后最终两者的角速度；

(2)在该过程中A圆柱对B圆柱的冲量矩。解

在该过程中，受力分析如图所示，两转轴、A对B及B对A的摩擦力分别为和对圆柱A、B间的支持力和及两圆柱体间的正压力对各自转轴无力矩对A、B分别应用角动量定理

A：

B：

将(1)式两边乘上,(2)式两边乘上相加可得

由

即

且

由(3)、（５）两式，得将(7)式代人(2)式可得A圆柱对B圆柱的冲量矩为有许多现象都可以用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等花样滑冰跳水运动员跳水高台跳水动画高台跳水角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动转动与碰撞转动系统也有碰撞问题必须应用角动量概念去分析解决问题如，钢球碰悬锤木棒如果该碰撞为完全弹性碰撞，则碰撞过程机械能守恒。系统的角动量守恒。碰撞瞬间在悬锤位置发生，碰撞过程系统对悬挂点所受合外力矩为零，动画续上转动系统也有碰撞问题必须应用角动量概念去分析解决问题又如，子弹击入悬锤木棒击入瞬间在悬锤位置发生，击入过程系统对悬挂点所受合外力矩为零，系统的角动量守恒。但因击入过程属非弹性碰撞，故该过程机械能不守恒。动画例

质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒由角动量定理即考虑到例

一杂技演员M

由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N

弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为

,跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M

落在A点的速度碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解得演员N以u

起跳,达到的高度ll/2CABMNh４.５.１力矩的功力的空间累积效应

力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应力矩的功,转动动能,动能定理.§４.５刚体定轴转动动能定理OqdjPrrdtF力

的元功FdＷFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqd力矩的功dＷMqd力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下，刚体由转到q0

qMM作的总功为dＷＷq０

qMqd力矩的瞬时功率NＷddtwMqddtM如果刚体同时受到几个外力的作用，则各外力矩对刚体所做的总功为式中力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要总摩擦力矩是Mrr各微环带摩擦元力矩的积分Mrd环带面积dsdr环带质量dmpr2dmdsd环带受摩擦力gmmdmfdr环带受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圆盘受总摩擦力矩MrMrd转一周摩擦力矩的总功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘４.５.２转动动能４.５.３刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.

刚体的机械能刚体重力势能刚体的机械能质心的势能刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立••机械能守恒与转换定律守恒与转换条件功能原理（刚体+地球为系统）例

如图所示，一圆轮可绕过其中心的水平轴自由转动达到最低位时，轮轴所受的支撑力N是多少?，轮的边缘处镶有一与轮等质量的小球。在轮的质量为初始时刻轮处于静止，小球处的半径与竖直向上的方向成角。求释放后，圆轮角速度的大小如何变化?当小球达解

如图建立坐标系，X轴沿水平方向，Y轴沿竖直方向，Z轴沿转动轴垂直纸面向外。重力矩对轮球系统作的功为：根据定轴转动动能定理，重力矩所作的功等于轮球系统转动动能的增量，即

根据角加速度的定义，由③式可得轮球系统的角加速度：系统质心加速度的法向分量及切向分量分别为当小球运动到最低位时质心加速度为：因此，得出轮轴受力大小为而且表明轮轴所受支撑力的方向向上。由质心运动定理可知,在小球处于最低位时，轮轴所受支撑力N满足下面的条件：动能定理例题三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作负功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI转轴对质心轴的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求摆至垂直位置时杆的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置静止释放例

一长为l,质量为

的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为

的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少?解把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒.4.6.1刚体平面平行运动的描述

1.基面与基点基面:选择一个平行于参考平面的平面特征:刚体内垂直于参考平面的直线上的各质元的运动状态完全相同。基点：在基面上选择一个点2.研究方法刚体的平面平行运动可分解为平动和定轴转动

§4.6刚体的平面平行运动刚体由1运动到2的过程可看作是:

刚体自位置1随基点平动到位置，然后再令刚体绕过基点的轴转动达到位置2;或者，刚体自位置1随基点A平动至,然后再令刚体绕过基点位置的轴转动达到位置2．但是在同样的时间内刚体平动的距离并不相同在这两种过程中，刚体所转过的角度是相同的，即平动速度依赖于基点的选择，而转动角速度与基点的选择无关jD1jD2jD1jD24.6.2转动瞬心纯滚动

1.转动瞬心选定基点A点后，基面上任一质元B的运动速度可写为在任一时刻,基面上恒有一点的速度为零,这点叫做转动瞬心。即刚体上任意质元在该瞬时的运动仅仅是绕瞬心的转动是从A指向B的位矢,转动的速度是B点绕A点(2).判别式●●2.纯滚动

(1).基面上任一质元P的速度接触点B就是瞬心

(选定基点A点为圆柱体的质心C)1.随质心轴的平动遵从质心运动定理2.随质心轴的转动遵从转动定律圆柱体的滚动规律可由上述两个基本方程联立求解。4.6.4功能原理4.6.3刚体平面平行运动的动力学方程

例4.14设半径为R,质量为m的均匀圆柱体,沿着倾角为的斜面无滑动的滚下，方法1:用动力学方程讨论解:试求圆柱体质心的加速度。●●●方法2:用功能