大学物理：ws静电场习题课

静电场习题课一、内容提要1．电荷守恒定律电荷守恒定律

电荷既不能被创造，也不能被消灭，

电荷只能从一个物体转移到另一个物体，

或者从物体的一部分转移到另一部分。事实表明，在一个孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电量的代数和总保持不变。它是物理学中基本定律之一。2．库仑定律真空中，两个点电荷（和）之间的相互作用力的大小正比于两者电量的乘积，反比于两者距离的平方真空的介电常数

作用力方向沿两点电荷连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸。3．电场和电场强度电场也是一种客观存在的物质形态，它具有质量、能量、动量和角动量。静电场是相对观察者静止的电荷周围空间产生的电场，它是电磁场的一种特殊形态。电场对外表现的性质有：(1)对引入电场中的电荷有作用；(2)电荷在电场中移动时电场力做功，这也表明电场具有能量。电场强度是

定量描述电场对电荷有作用力性质的物理量。电场强度的定义为

场强叠加原理

在由若干个点电荷形成的电场中，任一点的总场强等于各点电荷在该点单独产生的场强的矢量和

电场强度的计算

由场强定义并应用库仑定律场强叠加原理，得到三种类型场源电荷产生电场的场强计算公式：(1)点电荷的电场

(2)点电荷系的电场

(3)电荷连续分布的带电体的场强对于连续带电体，先把带电体微分，将看作点电荷，求出点电荷在场点产生的电场强度再矢量叠加4．高斯定理及应用电场线(又称电力线)

电场线是形象描述电场分布的一簇空间曲线。电场线上任一点的切线方向表示该点场强的方向，电场线分布的疏密程度表示该处场强的大小。电通量

设想在电场中有一个曲面，定义一个物理量

称为通过该曲面的电场强度通量。

也可以形象地说为穿过该曲面的电场线“数目”

是曲面上的面积元的矢量表示

通过任意封闭曲面的电通量为规定的方向为面积元的外法线方向。

因此，电场线从封闭曲面内向外穿出时电通量为正值，电场线从封闭曲面外穿进时电通量为负值。高斯定理

在真空中的任何静电场中，穿出任一闭合曲面的电通量

等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以，数学表示式为

高斯定理是描述静电场规律的基本方程之一。它反映了电场和形成电场的场源电荷之间的关系。说明静电场是有源场。5．电势静电场力做功的特点：

电荷在静电场中从点经某一路径移到点，电场力做的功

只与起点和终点的位置有关，而与电荷移动的路径无关

反映该特性的数学表达式即为静电场的场强环路定理

电势能

静电场是保守力场，可以引入电势能的概念。电荷在电场中一定的位置处，具有一定的势能。电场力所做的功就是电势能改变的量度，设和分别表示试验电荷在点和点的电势能，我们定义从点移到点时，电场力所做的功等于其电势能的减少量，即电势能与重力势能相似，是一个相对的量。

为了表明电荷在电场中某一点势能的大小，必须有一个作为参考的标度。通常在电荷分布于有限区域内时，我们规定无限远处的电势能为零，这时点的电势能为与重力势能相似，电势能属于电荷和静电场整个系统。电势

电荷在电场中某点的电势能与成正比，为了直接描述某给定点处的电场的性质，把与的比值，定义为该点的电势电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷置于该点时具有的电势能，或单位正电荷从该点经任意路径移动到无限远处电场力所做的功。可见，电势是描述电场力做功性质的物理量。该式表明了电势与电场强度之间的积分关系。电势的值只具有相对意义，其绝对数值是没有物理意义的。理论研究中，对有限的电荷分布，通常取无穷远处为电势零点；对无限大的电荷分布，电势零点的选择是任意的；实际问题中常以大地或电器的金属外壳为电势零点。电势是描述静电场性质的又一个物理量。在国际单位制中，电势的单位是焦耳每库仑()，称做伏特()。电势差

静电场中，任意两点的电势之差

对电势差来说，不管取什么参考点做电势零点，其值总是确定的。在量值上等于将单位正电荷从点移到点电场力所做的功。所以，如果知道了、两点间的电势差，则将电荷从点移到点(无论沿任何路径)

电场力做的功为电势的计算点电荷电场中任意点处的电势(设无穷远处为电势零点)式中为该点电荷的电量，为该点电荷到点的距离。点电荷系电场中任意点处的电势，由点电荷公式及电势的标量叠加可得

式中为第个点电荷的电量，为点相对于第个点电荷的距离。即点电荷系的电场中某点电势，等于各点电荷单独在该点产生的电势的代数和。上式亦称为电势叠加原理。电荷连续分布的电场中某点处的电势分割电荷为许多电荷元，为其中的任意一个，为点相对于的距离，积分对整个电荷分布进行电势计算方法有两种类型：(1)已知场强分布，根据电势定义，用积分法求电势。(2)已知电荷分布，利用电势叠加原理求电势。等势面

电场中由电势相等的点所联成的曲面，叫做等势面。

等势面与电场线处处正交。在等势面上移动电荷时电场力不做功。电场线方向指向电势降落方向。电势梯度矢量

电场中各点的场强大小等于该点电势梯度的大小，场强方向与电势梯度方向相反。其方向与等势面垂直，指向增加的方向。电势梯度与场强的关系6．静电场中的导体导体的静电平衡

导体内部及表面上的电荷都无宏观上的定向运动的状态，叫做导体的静电平衡状态。在静电平衡状态下：(1)导体内部任一点场强为零；(2)导体外表面附近任一点场强方向与表面垂直。这就是导体的静电平衡条件。静电平衡下导体特性①导体内部的电势处处等于导体表面的电势，整个导体是个等势体，导体表面是个等势面。②导体内部没有净电荷，电荷只分布在导体的表面上。③导体外，导体表面附近某点的场强大小

(为该处附近导体的电荷荷面密度)，方向垂直导体表面。7．电介质中的电场电介质

是折射率很大、导电能力很差的绝缘体。均匀极化的电介质放入电场后，介质表面上出现极化电荷（束缚电荷），从而影响电场的分布。电极化强度矢量

是描述介质中某处极化强度的物理量

为介质内部某一点附近的体积元；为内分子电偶极矩的矢量和

实验证明，在各向同性介质内，式中是介质的电极化率，是一个无单位的纯数。为介质中总的电场强度。理论证明，电介质表面出现极化面电荷，面电荷密度

为介质表面外法向单位矢量，为极化电荷面密度

电介质中的电场

电介质中的场强是由自由电荷的场强与极化电荷的场强两者叠加的结果电位移矢量

静止的极化电荷和自由电荷产生的电场都是静电场，因此静电场的两条基本定理仍成立对于各向同性介质，，式中，称为电介质的介电常数引入电位移矢量

式中为自由电荷，为极化电荷。

电介质中的高斯定理

电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和电介质中的高斯定理是很重要的定理，当已知自由电荷分布具有一定的对称性时，常可利用高斯定理求得电位移矢量，再由求得电介质中的电场强度，它的优点是摆脱了求解极化电荷。电容

电容是表征导体或导体组储电能力的物理量。只与导体本身形状大小及周围介质有关，与带电多少及是否带电无关。

孤立导体的电容为孤立导体所带的电量；为孤立导体相对于无穷远处的电势电容器的电容

把电量从极板移到极板后，间有电势差，它与成正比，比值，为电容器的电容电容器串联起来可提高耐压能力，每个电容器的两极板上都带有相同的等量异号电荷，并等于等效电容器两极板上的电荷。电容器并联起来在满足耐压情况下，增大电容量，且每个电容器两端电压相等，并等于等效电容器两端的电压在国际单位制中，电容的单位是法拉()

8．静电场的能量在电荷移动过程中，外力必须做功。外力做的功转化为电能而储存在电场中。孤立导体或电容器储存的电能为

是孤立导体的电势或电容器两极板之间的电势差

带电系统周围伴随有静电场。实际上，带电系统的能量储存在整个电场空间中，是电场的能量。单位体积内的电场能量，即能量体密度为整个电场空间的总能量

积分对整个电场所在的空间进行

二、问题讨论1．怎样理解高斯定理?答：对于真空中的静电场，高斯定理的数学表示为左边是通过闭合面的的总通量，等于闭合面之内所包围的电荷的代数和除以。要注意，闭合面上各点的电场强度是闭合面内、外所有电荷共同产生的合场强，不仅仅是高斯面内的电荷产生的场强。

☆如果闭合面内电荷代数和为零，只能说明通过闭合面的电通量为零，而闭合面上各点却不一定为零。高斯定理是反映静电场性质的基本定理之一，对任意的静电场和任意形状的闭合曲面都适用。

但在应用高斯定理求场强时却要求：

第一，电荷分布有高度对称性。第二，要选取合适的高斯面。使得由高斯定理能求出场强来。

☆2．电势零点的选择是完全任意的吗?答：由定义来看，电势只具有相对值，从这个意义上说，电势零点选择是完全可以任意的。但是在理论研究中，往往要采用一些抽象模型，如无限大带电体、点电荷等，在这种情形下，电势零点应该这样选定，使得电场中各点的电势具有确定的值。例如，无限大均匀带电平面，由于电荷分布在无限范围，就不能选无限远处的电势为零，通常选带电平面本身的电势为零。又如点电荷，因为电荷集中在一个点上，通常选无限远处为电势零点。无限长带电直线的电势零点既不能选在其本身上，也不能选在无限远处，只能选空间中的其他任意点。☆三、解题指导1.关于应用点电荷的场强公式及场强叠加原理求场强的解题步骤：①首先将带电体分成许多个点电荷

②再求任一个点电荷在空间某点处产生的场强写出场强在各坐标轴上的分量，再求各分量的积分

☆③最后求合场强④带电体的电荷分布可以是线分布、面分布，体分布为电荷线密度

为电荷面密度

为电荷体密度

☆2.关于高斯定理的应用当电荷分布具有对称性，从而电场强度对称分布（包括大小和方向）具有相应的特殊对称性时，可用高斯定理求场强。典型实例有：均匀带电球体及球面，均匀带电的无限长直线、无限长圆柱、无限大平板等。它们所激发的电场除带电平板是面对称外，其他都具有辐射对称的特性，均可方便地应用高斯定理求解。☆应用高斯定理求场强除对对称分布有以上要求外，关键是选取合适的闭合曲面（通常称高斯面），选取原则如下：④高斯面应选取规则形状，以便计算，通常选取球面、柱面、长方体面形状等。①高斯面必须经过所求场强的点。②在求的部分高斯面上，要求该面上各点的大小处处相同，方向和矢量平行，以便可作为常量从积分号中提出。③在不求的部分高斯面上，的方向和垂直，使得。☆①首先将带电体分成许多个点电荷

②再求任一个点电荷在空间某点处产生的电势3.关于应用点电荷的电势公式及叠加原理求电势的解题步骤：

③应用电势叠加原理，求总电势☆4.有关电容的计算方法③再由定义式，计算电容。计算两极板、间的电势差。①首先假设电容器两极板分别带电和。5.关于导体上的电荷分布如果导体的曲率半径相同，则电荷在导体表面的分布就是均匀的。例如，无限大带电导体平板，带电球体，带电球面。②用高斯定理或其他方法求两极板间的电场，并由☆例1

带电量相同，半径相同的均匀带电球面和非均匀带电球面,其球心处的电势是否相同

(以无限