微积分课件：习题课

习题课本章要点一、原函数与不定积分二、不定积分的积分方法三、定积分的定义与性质四、积分上限函数与导数五、定积分的积分方法六、定积分的应用七、反常积分一、原函数与不定积分设函数若存在函数使得则称为的原函数.而函数的原函数的全体,称为函数的不定积分,记为二、不定积分的积分方法

1.第一类换元积分法:如果则

2.第二类换元积分法：3.分部积分法:三、定积分的定义与性质设是区间上的有界函数,若极限存在,且与分法、取法无关,则称此极限为函数在区间上的定积分,记为主要积分性质:⑴⑵若则⑶积分中值定理若使得四、积分上限函数及其导数设则函数称为函数的积分上限函数.定理⑴若则⑵若且更一般地有五、定积分的积分方法

1.换元积分法:设函数函数连续、单调、导函数连续,且则

2.分部积分法：常用的几个积分公式1.若则2.若并注意到右边的积分与无关.3.若且是周期为的周期函数,则六、定积分的应用

1.定积分的几何应用⑴平面图形的面积极坐标情形⑵体积旋转体的体积已知平行截面面积的体积⑶弧长计算

①直角坐标情形

②参数方程情形

③极坐标情形

2.定积分在物理上的各种应用⑴变力沿直线的做功问题;⑵水压力问题;⑶引力问题.⑴功微功:功:⑵水压力微压力:压力:例题选讲例1求不定积分解例2求不定积分解例3求解例4求解例5求解例6求解⑴解⑵令原式则例7求解例8求解令则例9求解例10求解由部分分式法即有令两边求导,令解之,得因此解例11求解2解令例12求极限再设则解令例13求极限从而例14求极限解原式为型的极限,由洛必达法则,得例15设为连续函数,令讨论函数在处的连续性和可导性.解因故即:在处连续.又即:在处可微,且例16设且在内有且只有一个根.证令则且证明方程因连续,且在区间上不变号,所以故不变号,从而单调,即解是唯一的.从而方程可解.又例17设证明:证令则:为此证明函数是单调的.因又因则所以所以是单调上升的,从而即有再令例18求函数解求驻点,因令在由由因此是极大值点,是极小值点.的极值点.由例19设函数在上可导,且满足证明:必存在点使得证为证明结论,即证为此构造辅助函数因:又因:故,在区间上使用罗尔定理,即得所需要的结论.例20设证因两式相减,得证明:所以从而有例21设函数在上连续,单调不减,且证明函数在是单调不减的（其中）.证显然当时,为连续函数,又故,是上的连续函数,有从而有是单调不减的.例22设且证明:⑴有唯一的驻点;⑵驻点是的极小值点.证由条件知函数又所以当故:驻点是极小值点.例23设证明⑴柯西—施瓦茨不等式⑵闵可夫斯基不等式证⑴因定积分是数,故即故判别式非正,即有⑵由柯西—施瓦茨不等式:不等式两边同时开方,即得到所需的不等式例24求下列定积分⑴⑵⑶⑷解⑴⑵⑶⑷由于积分为对称区间，故考虑积分又因所以例25求下列定积分⑴⑵⑶解⑴⑵即⑶例26求积分解例27设解求例28求下列反常积分1.;2.;3.;4.解1.2.3.4.所以,积分发散.例29求两条抛物线所围平面图解求两曲线的交点.联立方程：取为积分变量,则形的面积.例30求曲线的一条切线,使得该直线与及围成的面积为最小.解设切点为则切线方程为即:故,所求面积为:且当所以为目标函数的极小值点,也是函数的最小值点.所以,相应的切线方程为:例31求心形线与圆盘围成的解图形对称于轴,故只需求它在第一象限中的面积,故相应的面积为:面积.为此先求交点:由方程厚度为相应的体积元为证在区间中取点该曲边梯形绕旋其边长为高为例32证明由平面图形xyOxx+dx绕轴旋转所得的旋转体的体积转所得到的体积,将其展开后近似等于一个长方体的体积.故:旋转体的体积为例33设曲线围成平面图形为D,试求平面图形绕旋转而成的解由微元素法,取为积分变量,则旋转体体积.解2用“剥皮法”.以为积分变量,小体积的高度为半径为体积为:厚度为故体积元为作变换:则有例34求由曲线所围成的图形的解⑴平面图形的面积:面积、周长、绕轴旋转所得的体积和表面积.⑵平面图形的周长等于长度的两倍,而所以周长为⑶绕轴旋转所得到的体积为⑶绕轴旋转体的表面积是由和绕所得的面故:积之和的两倍.由旋转体的表面积公式:从而得到表面积为例35一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧段解这是利用定积分求解相关变化率的问题.由题设,当时,当水深为H时,水的体积和直线段绕轴旋转而成,坐标轴长度单位为,现以的速度向容器内注水,试求当水面高度达到容器深度的一半时,水面上升的速度.为则:当时,于是:故,三角形的高为因而直例36周长为8的等腰三角形绕其底边旋转成旋转体,问解设底边的宽度为两腰的长度为倾角为则腰和底边各为多长时,旋转体的体积为最大？线方程为即当时,所得到的旋转体体积为最大.例37有一锥形储水池,深15,口径20,尖头在下,盛满解建立坐标系统如图.斜线方程为功元素为水,今将水抽干,需做功多少？因而,功为例38在轴上,从原点到点有一线密度为常数为的细棒,在点处有一质量为的质点,求xyOxx+dx解建立坐标系如图.的一段细棒,其质量为对质点⑴细棒对质点的引力的大小和方向;⑵当时,细棒对质点的引力的大小和方向.的引力为大小为对应所以:⑴故力的大小为⑵当时,因此设与轴的夹角为,则练习1.计算下列不定积分⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃.⒄⒅.⒆设求2.求极限⑴;⑵.3.设求的表达式.4.求极限⑴⑵.其中为连续函数.5.设其中6.设证明方程在只有一根.求7.计算下列定积分⑴;⑵;⑶;⑷；⑸；⑹8.求由曲线在内所围成的面积.9.求心形线与圆盘的公共10.一立体,其底为平面上由围成