大学物理：第16章 电 势

第16章

电势本章主要内容§16-1

静电场的保守性§16-2

电势差和电势§16-3

电势叠加原理和电势的计算§16-4

电势梯度§16-5

静电势能第16章电势电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷做功，发现静电场力是保守力。

由于静电场力是保守力，可以引入电势和电势能。和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规律的，它本身也是空间分布函数。§16-1

静电场的保守性

做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为保守力（如引力、弹性力）。静电场力是不是保守力？静电场力对检验电荷做功为考虑对单位正检验电荷做功：场强对路径的线积分先考虑点电荷产生的场的情况：积分结果与路径无关！再考虑任意带电体（点电荷系）产生的场：由场强叠加原理，有求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的从

P1

到

P2

的线积分——与积分路径无关。因此总场的积分也与路径无关。结论：静电场力对电荷所做的功与路径无关。即静电场力是保守力，或称静电场为保守场。静电场环路定理：静电场的场强沿任意闭合路径积分等于零。或表示为换言之：电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做的功为零，。证明L1L2P2P1返回电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做的功为零因静电场力的功与路径无关讨论1）静电场的基本方程之一静电场是保守场2）表征静电场的性质有两个方程§16-2

电势差和电势

因为电势是通过它的改变量来引入的，所以它具有零点的相对性。通常需选定某参考点

P0为电势零点，则任意点

P

处的电势为由于

与积分路径无关（只决定于起点

P1

和终点

P2

的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数

j的改变量：定义

j为电势，即从

P1

到

P2

沿任意路径场强的线积分等于电势的负增量。j1

-j2

U12为

P1

与

P2

两点间的电势差。电势和电势差原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。

通常电荷在有限区域时，将无限远点选为电势零点，此时任一点

P(x,y,z)的电势为说明：电势是空间坐标的函数：，如已知静电场的场强分布，可以求出电势分布——势函数。与场强不同，电势是标量。矢量场和标量场电势差与电场对检验电荷做功的关系：

A12=q0U12=q0(j1

-

j2)点电荷的电势为[

j()=0

]教材32页例16.2点电荷场电势公式球对称标量正负返回[例题]

求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布已知场强为：方向垂直于带电直线。由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为的点为电势零点，则距带电直线为的点的电势：电荷线密度题14.9

如图所示，边长为0.3m的正三角形abc，在顶点a处有一个电量为10-8C的正点电荷，顶点b处有一个电量为

-10-8C的负点电荷，则顶点c

处的电场强度E

和电势U

各为多少？题14.9图（A）E=0，U=0（B）E=1000V/m，U=0（C）E=1000V/m，U=600V（D）E=2000V/m，U=600V§16-3电势叠加原理

每一

Ui

必须有共同的电势零点

方法2——

利用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，再把各点电荷的电势叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有利用场强叠加原理可以导出：电势叠加原理：在由电荷系产生的电场中，任一点的电势等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。电势的计算电势叠加原理

方法1——

利用电势的定义式：，已知场强分布，选方便的路径积分；和查看任意带电体电势1)由定义式出发2)电势叠加原理返回[例题]

求（1）均匀带电球面；（2）均匀带电球体，产生场的电势分布。设总电量均为

q，球的半径为

R

。解：（1）均匀带电球面，由Guass

定理求得：（2）均匀带电球体，由Guass

定理求得：查看

[例题]设电荷为均匀带电的（1）球面；（2）球体。总电荷为

Q，球的半径为

R，求球内外的场强分布。

解：球对称问题，场强沿径向，且

E=E(r)。

(1)做半径为r的同心球面为高斯面。

(2)设

r=Q/(4pR3/3)为体电荷密度，做半径为r的同心球面为高斯面。返回返回讨论：在

r=R处：对于带电球面，体电荷密度无限大，E不连续，Ｕ

连续但不光滑；对于带电球体，体电荷密度有限，

E连续，Ｕ连续且光滑。这一特性是普遍

的，因为Ｕ是

E的一次积分。

r>R处（球外区域）的场强

和电势，都相当于电荷集中于中心的点电荷所产生的场和势。这是球对称电荷的共性。（2）小题可以借助（1）小题的结果，利用电势叠加原理求解：带电球体视为一系列大小依次变化的薄带电球壳组成，设体电荷密度为

r=3q/4pR3，r’

r’+dr’

球壳的电荷为

dq=r4pr’2dr’

，对总的电势贡献为[例题]

求电偶极子周围的电势分布。解：正、负点电荷在

P点单独产生的电势为[例题]

求总电量为

q，半径为

R，均匀带电的细圆环，在其轴线上任一点的电势。解法一：已知轴线上场强为选取积分路径为从

P沿

x轴到无限远查看查看点电荷场电势公式球对称标量正负返回

[例题]一均匀带电细圆环，半径为

R，所带电量为

q。求轴线上任一点的场强。

解：考虑圆环上长度为

dl的一段电荷

dq=ldl

对

P点场强的贡献。由于

P

是轴线上的点，环上任何一段

dl的电荷对场强贡献大小相等，且都与

x轴有相同的夹角

a

，故有

返回解法二：电荷元dq在P点产生的电势为总电势为：讨论：在圆心处，即远离圆心处，即题14.10

如图所示，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的点P′的电势为多少？题14.10图题14.15

如图所示，CD是以点O为圆心，以R为半径的半圆弧，在点A有一个电量为+q的点电荷，点O有一个电量为-q的点电荷，线段BA=R。现将一个单位正电荷从点B沿半圆弧轨道BCD移到点D，则电场力所作的功为多少？

题14.15图[例题]

在半径为R

带电球体内，挖去以O1为中心，半径为R1的球中电荷。O1至球心O

的距离为a，a+R1<<

R,

带电部分电荷体密度为。求O1点的场强和电势。aOO1

RR1解：整个体系可以看成是一个以O为球心R为半径，电荷体密度为的均匀带电球和另一个以O1为球心R1为半径均匀带负电，电荷体密度为–的带电球所构成。根据场强和电势的叠加原理可求解。aOO1

RR1高斯面以O为心做一半径为a的高斯面，由高斯定理均匀带电大球在O1处的场强为：均匀带负电的小球在O1处的场强为零。方向沿O

O1的连线方向。用1，2角标分别表示大、小球。它们各自在球内外产生的场强：Or2

r1

O1均匀带电大球在O1点产生的电势是：叠加原理给出：均匀带电小球在O1点产生的电势是：所以在O1点产生的总电势是：等势面——电势相等的点所组成的曲面。等势面引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。等势面与电场线的关系：

等势面与电场线处处正交，电场线指向电势降低的方向；(a)孤立点电荷(b)一对等量异号点电荷实例：

虚线——等势面

实线——电场线证明等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。[例题]电力线处处垂直等势面在等势面上任取两点a、b，则等势=0a、b任取处处有返回

[题14.12]

面电荷密度分别为+s和-s的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x轴垂直相交于x1=a，x2=-a两点。设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式。

[题14.22]

两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1=0.03m

和R2=0.10m。已知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷。§16-4

电势梯度

电势梯度及其与场强的关系取极限得方向导数：微分保守力保守场势能势积分结论：电场强度等于相联系的电势的梯度的负值：[例题]

利用均匀带电圆环轴线上的电势公式

求这个圆环轴线上的场强。解：由对称性可以判断

P点的场强沿

x方向。注：用电势梯度求场强，必须已知势分布函数

Ｕ(x,y,z)，如果已知在某个方向上的分布函数Ｕ(x,y0,z0)，则可以求出该方向的场强分量。[例题]

利用电偶极子的电势分布公式

求电偶极子的场强分布。解：考虑

P点场强在

和

方向的分量

Er

和

Eq

。本章结束

理解静电场的保守性，电势能，静电场环路定理；掌握电势，电势叠加原理，电势的计算，并能熟