概率论与统计课件：第一节（第一章）

第一章

随机事件及其概率

自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类可事前预知，如：“太阳从东方升起”、“在一个大气压下，水在100℃时沸腾”等一定会发生；“同性电荷相吸引”、“太阳从西方升起”等一定不会发生。这类现象是确定性现象，也叫必然现象。

另一类事前不可预知，如：“抛一枚硬币的结果”、“某地区年降雨量的多少”、“打靶时，弹着点与靶心的距离”等。这类现象是偶然性现象，也叫随机现象。随机现象的特点：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切的结果．人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性——统计规律性．例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。§1.1样本空间和随机事件

一、随机试验为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察．观察的过程称为试验．下面举一些试验的例子．E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况．E2：抛两枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况．E3：抛两枚硬币，观察“正面H朝上”的硬币个数.．E4：掷一颗骰子，观察出现的点数．E5：记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数．E6:

盒中有标号为1到10的相同小球，任取一个观察标号.E7:某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数.上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点：（1）可以在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现；（3）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示．我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律．二、样本空间随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的样本空间，通常记为Ω．样本空间的元素，即的每个结果，称为样本点．下面是前面试验的样本空间：Ω1：{H,T}．Ω2

：{HH,HT,TH,TT}．Ω3：{0,1,2}．Ω4

：{1,2,3,4,5,6}．

Ω5：{0,1,2,…}.Ω6:{1,2,3,4,5,…,10}Ω7：{0,1,2,3,4,5,…,10}注意：样本空间的元素由试验的目的确定．如试验E2和E3同是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样．三、随机事件在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件的一些样本点所组成的集合．例如，在E4中，令A表示“出现的点数为偶数”，则A是Ω4

＝{1,2,3,4,5,6}的子集，它由样本点{2,4,6}构成，记作A＝{2,4,6}．

一般地，称试验的样本空间Ω的子集为随机事件，简称事件，通常用大写字母A、B、C、…表示事件．在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，则称事件发生了．称试验中必定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件为不可能事件．在每次试验中，样本空间Ω中必定有一个样本点会出现，因此又把样本空间称为必然事件．空集是样本空间Ω的一个特殊的子集，也可作为一个事件．但由于空集不含样本空间Ω中的任何元素，在每次试验中都不会发生，因此又称之为不可能事件．把必然事件和不可能事件看作随机事件，是为了事件运算方便．由样本空间的单个元素构成的子集，即样本点，又称为基本事件．

四、事件间的关系和运算

样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际上是集合间的关系和运算．设样本空间为Ω，A、B、C和Ak（k＝1,2,3…）为Ω的子集．1、事件的包含和相等在一次试验中，若A发生必然导致B发生，则称B包含A。记为如在E4中，A表示“出现的点数为偶数”，B表示“出现的点数大于1”．即A={2,4,6}，B={2,3,4,5,6}，则实际上，A

是B

的子集。2、事件的和（相当于并集）在一次试验中，“事件A与B至少有一个发生”是一个事件，称为事件A与B的和，记作A∪B，或者A＋B．“n个事件A1、A2、…、An中至少有一个发生”称为这n个事件的和。记作“可列个事件A1、A2、…中至少有一个发生”称为这可列个事件的和。记作如，在E4中，令A表示掷一颗骰子“出现偶数点”，C表示“出现的点数不大于1”，

Ak表示“出现k点”（k＝1,2,…,6）那么A＝{2,4,6}，C＝{1}，A∪C＝{1,2,4,6}，又如，在E5中，令Ak表示“一分钟内收到k次呼唤”，k＝0、1、2、…，A表示“呼唤次数大于100次”，B表示“呼唤次数小于150次”．那么

3、事件的积（相当于交集）在一次试验中，“事件A与B同时发生”是一个事件，称为事件A与B的积，记作A∩B或者AB．表示“n个事件A1，A2，…An同时发生”．表示“可列个事件A1，A2，…An

,…同时发生”．

A∩B表示“一分钟内呼唤次数大于100次且小于150次”，即有A∩B

E4中，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,4,5,6}，C＝{1}，则A∩B表示“出现的点数为大于1的偶数”．由于A是B的子集，所以A∩B=A．而A∩C表示“出现的点数为不大于1的偶数”，这是不可能发生的，故A∩C＝。4、互不相容的事件若A∩B＝，则称事件A与B为互不相容．互不相容的事件在一次试验中不能同时发生．

例如，在E4中，A与C为互不相容的事件．5、事件的差（相当于差集）在一次试验中，“事件A发生而事件B不发生”这一事件称为事件A与B的差，记作A－B．6、对立事件（相当于余集）“A不发生”这一事件称为事件A的对立事件，记作事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图1－1）直观地表示．事件的关系和运算与集合论的内容对照如表1－1．

7、事件运算的主要性质（1）交换律A∪B＝B∪A，AB＝BA；（2）结合律(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；（3）分配律(A∪B)C＝AC∪BC,(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);(4）吸收律

(A∪B)A=A,(AB)∪A=A；

（5）对偶律此外还有：

A∪A＝A，AA＝A，A∪Ω

＝Ω

，AΩ

＝A

．

A∪＝A，A∩＝，利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便．例1一大批产品中有5件次品，若从中依次任取3件，令Ak表示“取到的第k件为正品”，k＝1，2，3．试用A1,A2

，A3，表示下列事件：（1）“取到的3件中