第28课时直角三角形和勾股定理

第28课时直角三角形和勾股定理一、知识链接1．直角三角形的概念定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形，其中夹直角的两边叫做，另一条边叫做。2．直角三角形的性质〔1〕直角三角形的两个锐角；〔2〕直角三角形中，30°的锐角所对直角边等于；〔3〕在直角三角形中，如果有一条直角边等于，那么这条直角边所对的锐角等于30°；〔4〕直角三角形中，斜边上的中线等于。3．直角三角形的判定〔1〕两个内角互余的三角形是直角三角形；〔2〕一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。4．勾股定理及逆定理定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么。逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。二、基训热身1．如图1，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.2.如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，那么AP长不可能是〔〕A．B．C．D．7〔〔图1〕〔图2〕3．〔2022•衢州〕将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，那么三角板的最大边的长为〔〕A．3cmB．6cmC．cmD．cm4．如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，假设以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，那么点M的坐标为〔〕A．〔2，0〕B．〔〕C．〔〕D．〔〕AABCDM-1012三、中考教练类型一：直角三角形的性质的运用【例1】〔2022•张家界〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．假设BD=2，那么AC的长是〔〕A．4B．C．8D．【点析】解决此题的关键是由线段垂直平分线的性质得到AD=CD，进一步得到∠BCD＝30°，利用含30度角的直角三角形进行计算。【反应1】在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，施工前为了测量隧道BC的长度，施工单位设计了如下图的测量方案：测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=400m。那么根据测量数据可计算出隧道BC的长为m．【例2】〔2022•漳州〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC,垂足为E，假设DE=2，CD=,那么BE的长为_。【点析】解决此题的关键是抓住D、E这两个中点，利用三角形的中位线的性质和直角三角形斜边上的中线的性质进行计算。【反应2】如图，△ABC中，CD为中线，且AC＝CD＝1㎝，那么三角形ABC的面积为。类型二勾股定理的计算【例3】〔2022广州〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，那么点C到AB的距离是〔〕A．B．C．D．【反应3】如图，△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=4，那么BC等于〔〕A．6 B．C．8 D．类型三折叠问题【例4】〔2022·荷泽〕如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.【点析】根据折叠问题及矩形的性质，可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标.【反应4】〔2022•宜宾〕如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，那么EB′=．类型四最短路径问题【例5】〔2022•凉山〕如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为20cm．【点析】最短路径问题要通过几何体的平面展开图来看，利用两点之间线段最短并结合勾股定理进行计算。【反应5】如图，圆锥的母线长为４，底面半径为１，假设一小虫Ｐ从点Ａ开始绕着圆锥外表爬行一圈到SA的中点Ｃ，求小虫爬行的最短距离。四、总分值训练一、选择题1.〔2022·来宾〕三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有〔〕A．②B．①②C．①③D．②③2.〔2022·河池〕∠B=300〔〕A．1B．8C．5D．3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，那么tan∠CBE的值是〔〕A．B．C．D．4.如图，A、B、C分别表示三个村庄，AB=100米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文明活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心P的位置应在〔〕A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点5．〔2022•眉山〕如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，那么以下结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有〔〕个．A．1B．2C．3D．4二、填空题6．〔2022•凉山州〕一个直角三角形的两边的长分别是3和4，那么第三边长为．7．〔2022•甘肃〕，等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，那么BC边上的高是cm．8．〔2022•威海〕如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，那么四边形DBCE的周长为．9．〔2022·陕西〕如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，那么这束光从点到点所经过路径的长为．AABC(A)DEAOBC·xy〔第8题〕〔第9题〕AABC(A)DE10．〔2022新疆〕如下图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2π，那么S3是．11．〔2022·菏泽〕如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，假设点B的落点记为B′，那么DB′的长为．三、解答题12．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求证：AD=AE；〔2〕假设AD=8，DC=4，求AB的长．13．小汽车在某段道路上行驶速度不得超过km/h。如图，一辆小汽车在该道路上直线匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？BBA小汽车小汽车C观测点14．：如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．求证：〔1〕；ADBCE〔ADBCE15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE于点F，连接DE。〔1〕求证：△ABE≌△DFA；〔2〕如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值。一、知识链接1．直角，直角边，斜边2．〔1〕互余；〔2〕斜边的一半；〔3〕斜边的一半；〔4〕斜边的一半4．，二、基训热身1．82．D3．D4．C三、中考教练例1．B；反应1．例2．反应2．例2．A反应3．D例4．解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴，∵在中，∴,∴，∴在中，，又由折叠可知,设那么解得∴，∴反应4．例5解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，那么A′B即为最短距离，㎝反应5．解：圆锥侧面展开图如下图∵，∴AA〔P〕SC四、总分值训练1－5：DACAC6．5或7．88．189．10．11．12．解：〔1〕连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴AD=AE；〔2〕∵△ADC≌△AEC∴AD=AE，DC=EC，设AB=x，那么BE=，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：解得：x=10，∴AB