【高考数学专题】多项选择题的解题策略-高考数学（高考数学题型解题策略与方法）复习

绿色备课经济复习高考新题型解题策略【高考题型解题策略与方法】一、多项选择题的求解策略多项选择题是选择题的一种，它具有备选答案不唯一，存在多个正确选项的特点．它由一个题干和四个备选项组成，备选项中至少2个正确最符合题意选项和1个干扰项，所选正确答案一般是2个或3个。如果应考者所选答案中有错误选项，该题得零分，不倒扣分；如果答案中没有错误选项，但正确选项未全数选出，则得2分；如果答案中没有错误选项，并全数选出正确选项，则该题得5分。多项选择题各选择支干扰因素的设计大致分为六种类型，即(1)条件疏漏(将容易疏漏的条件所产生的结果设计为干扰项)；(2)实际背景忽视(细心模拟学生的演算过失和差错，得到迷惑性较强的干扰项，对提高试题的针对性和鉴别力十分有效)；(3)概念混淆(针对学生容易混淆的概念、性质设计干扰项)；(4)题意误解(读题不慎，审题不细，误解题意，由此引发的错误结论设计为干扰项)；(5)推理错乱(由不合逻辑的推理而造成的错误结果设计为干扰项)；(6)思维定式(熟悉的内容，相似的形式，常会令人产生类比与联想，可能产生负迁移，由此导致的错误设计为干扰项)．一、依据概念辨析设计考题[典例1](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线[解析]对于A，当m>n>0时，有eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0，方程化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq\f(1,n)，表示半径为eq\r(\f(1,n))的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为eq\f(x2,\f(1,m))－eq\f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝eq\r(\f(1,m))，b＝eq\r(－\f(1,n))，渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))x；当m<0，n>0时，方程化为eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝eq\r(\f(1,n))，b＝eq\r(－\f(1,m))，渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±eq\r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．综上可知，正确的选项为ACD.[答案]ACD[点评]正确理解和掌握数学概念、性质的条件、结论、内涵和外延，可采用直接法判断某选项的正确性，也可采用反例法、特值法等排除某些不符合题目要求的选项，理解同一问题在不同条件、不同背景下的多样性这一辩证思维方法．二、通过运算推理设计考题[典例2](2021·新高考全国卷Ⅰ)已知为坐标原点，点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【解析】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC[点评]利用数学运算法则、性质、定理及常用方法对题干中的数学问题进行变形、转化、推理、计算，结合各选择支给出的结论进行判断，从而达到得出正确选择结果之目的．此类题目难度较大，数学知识、方法考查量大，一般作为压轴题呈现．借用变量分类设计考题[典例3](2020·新高考全国卷Ⅰ)正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．四、依托几何位置设计考题[典例4](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.[点评]位置关系的多选题往往由不合逻辑的推理而造成错误，解决此类问题可以通过构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地做出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误，如对于线面、面面位置关系(平行、垂直)的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，也可用特殊值法．五、借助思维情境设计考题【典例5】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A若n=1，则H(X)=0B.若n=2，则H(X)随着的增大而增大C.若，则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选AC。【小结】多项选择题的解题方法也可采用直接选择法、排除法、比较法和逻辑推理法，但一定要慎用感觉猜测法。应考者做多项选择题时，要十分慎重，对正确选项有把握的，可以先选；对没有把握的选项最好不选，宁“缺”勿“滥”。在做题时，应注意多选题至少有2个正确答案，如果已经确定了2个（或以上）正确选项，则对略有把握的选项，最好不选；如果已经确定的正确选项只有1个，则对略有把握的选项，可以选择。如果对每个选项的正误均无把握，可以使用感觉猜测法，至少可以随机猜选一个。总之，要根据自已对各选项把握的程度合理安排应答策略[跟踪训练]1．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（）．A．的焦点在轴上 B．C．的实轴长为6 D．的离心率为【答案】AD解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；根据题意得，所以，故B错误；双曲线的实轴长为，故C错误；双曲线的离心率，故D正确．故选AD．2.函数，下列结论正确的是（）A．在区间上单调递增B．的图象关于点成中心对称C．将的图象向左平移个单位后与的图象重合D．若则【答案】ACD，时，，此时递增，A正确；，B错误；将的图象向左平移个单位后得解析式，C正确；易知函数周期为，因此当则，D正确．故选：ACD．3．已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（）1.已知logeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(a))x＋logeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(a))y＝loga(ax2)＋loga(ay2)(a>1)，当x≥1，y≥1时，下列结论中正确的是()A.动点(logax，logay)在圆心坐标为(1，1)，半径为2的圆上B．logaxy的最小值为1＋eq\r(3)C．logaxy的最小值点为x＝a1＋eq\r(3)或x＝1D．logaxy的最大值为2＋2eq\r(2)[解析]令X＝logax，Y＝logay，因为x≥1，y≥1，a>1，所以X≥0，Y≥0，这时原式可化为(X－1)2＋(Y－1)2＝4(X≥0，Y≥0)，故问题转化为在约束条件下，求X＋Y的最大值与最小值．再令X＝1＋2cosθ，Y＝1＋2sinθ，由X≥0，Y≥0得－eq\f(π,6)≤θ≤eq\f(2π,3)，于是logaxy＝X＋Y＝2＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).因为eq\f(π,12)≤θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(11π,12)，当θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)时，(logaxy)max＝2＋2eq\r(2)，此时x＝a1＋eq\r(2)，当θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,12)或eq\f(11,12)π时，(logaxy)min＝1＋eq\r(3)，此时x＝a1＋eq\r(3)或x＝1，综上A、B、C、D均正确．[答案]ABCD4．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则()A．f(x)在(0，＋∞)单调递增B．f(x)有两个零点C．曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))处切线的斜率为－1－ln2D．f(x)是偶函数解析：选ACf(x)＝xln(1＋x)定义域为(－1，＋∞)，其导函数f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1).选项A，当x＞0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；选项B，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，0)上单调递减，又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，所以f(x)≥0且只有一个零点，故B错误；选项C，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1))＋eq\f(－\f(1,2),－\f(1,2)＋1)＝－1－ln2，故C正确；选项D，因为f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，故D错误．5.(多选)在底面边长为6米，高为3米的正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1教室内，宽为1米的黑板MNOP处在教室正前方中间，如图，则下列说法中正确的是()A.平面MNOP⊥平面B1F1FBB．AF上某学生Q看黑板的纵向视角(即∠PQM)最大时，QF＝eq\r(2)C．当∠PQM最大时，PQ与黑板平面所成角为30°D．当∠PQM最大时，PQ与黑板平面所成角为45°解析：选ABC因为在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，EF⊥BF，又FF1⊥平面AD，EF⊆平面AD，所以EF⊥FF1，于是EF⊥平面B1F1FB，而EF⊆平面MNOP，所以平面MNOP⊥平面B1F1FB，所以A正确．设AF上某学生Q与点F的距离为x，tan∠MQF＝eq\f(1,x)，tan∠PQF＝eq\f(2,x)，所以tan∠PQM＝eq\f(\f(2,x)－\f(1,x),1＋\f(2,x)·\f(1,x))＝eq\f(1,x＋\f(2,x))≤eq\f(1,2\r(2))，当且仅当QF＝x＝eq\r(2)时，取得最大，所以B正确．过Q点向EF引垂线QS，垂足为S(图略)，则eq\f(QS,QF)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，QS＝eq\f(\r(6),2)，又PQ＝eq\r(6)，所以PQ与黑板平面所成角为30°，C正确，D不正确.6.正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题