高三数学一轮复习立体几何中垂直的证明讲义

立体几何中垂直证明一、“垂直关系”常见证明方法1直线与直线垂直的证明1.1利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。1.2看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。1.3利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。ααb1.4利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。bbβα1.5利用常用结论：c如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。cbbba如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。baαα2直线与平面垂直的证明2.1利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等2.2看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。2.3利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。2.4利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2.5利用常用结论：一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。3平面与平面垂直的证明3.1利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等3.2看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3.3利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。考点一：线面垂直典型例题1.如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且AD=2，SA=1。求证：PD平面SAP；2.如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，，求证：平面；3.如图，三棱柱中，侧棱，且棱长和底面边长均为2，是中点。求证：;过关检测1.如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，，求证：平面

2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°，AA1＝3，BC1⊥A1C，E为AC的中点．求证：A1C⊥平面C1EB．3.如图，在四边形中，，，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.证明：平面.考点二：面面垂直典型例题1.如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且．证明：平面平面．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点，求证：平面BMN⊥平面PAC.3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．求证：平面AEF⊥平面PCD；4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AD＝PD＝CD，PD⊥平面ABCD．证明：平面PBD⊥平面PBC；5.如图，在四棱锥中，底面为矩形，F为CE的中点.求证：过关检测1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．2.如图：四棱锥的底面是矩形，，侧面是等边三角形，且侧面⊥底面，证明：侧面⊥侧面3.已知四棱锥，底面是

、边长为的菱形，又

，且，点分别是棱的中点，证明：平面平面；考点三：线线垂直典型例题1.如图,在四棱锥中,底面,,,点为棱的中点.证明:;2.如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，，，点是的中点，点在上移动。求证：。3.如图，在五面体中，四边形是平行四边形，求证：过关检测1.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，2．如图，四边形为正方形，平面，，，，．（1）求证：；3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1,AB=,点E为PD的中点，点F在棱DC上移动。求证：无论点F在DC的何处，都有PF⊥AE,考点四：综合应用典型例题1．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD．（1）求证：BD⊥平面BCC1；（2）在线段C1D1上是否存在一点E，使AE∥面BC1D．若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．2.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（）A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α过关检测1.如图，平面四边形中，沿对角线将折起，使平面与平面互相垂直.（1）求证:；（2）在上是否存在一点,使，证明你的结论；2．在长方体中，，为棱的中点，则A． B． C． D．3.已知m,n,l是直线，、是平面，下列命题中:

①若l垂直于内两条直线，则

②若l平行于，则内可有无数条直线与l平行

③若，且，则

④若，，则//

⑤若，且//，则m//l其中正确的是______________二、课后自我检测1．如图，四边形为正方形，平面，，，，．（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；（3）求证：平面．2．直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.（1）当点是的中点时，求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在