6一维随机变量及分布

已知圆轴截面直径d

的分布，求截面面积A=

的分布.§4随机变量函数的分布再如,求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.已知t=t

0

时刻噪声电压V的分布,0V在实际中，人们常常对随机变量

X

的函数Y=g(X)所表示的随机变量

Y

更感兴趣

设随机变量X

的分布已知,又Y=g(X)

(设g是连续函数)无论在实践中还是在理论上都是重要的如何由X

的分布求出

Y

的分布？通过实例找方法例1(P.76例15)

(X取某值与Y取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同)一、离散型随机变量函数的分布解

Y=2X-1-3-1135pk1/101/52/51/51/10则Y=g(

X

)的分布律为

X取值分别为-2,-1,

0,

1,

2时,Y=2X+1对应值为-3,-1,

1,

3,

5.求Y=2X+1,Y=X

2

的分布列.

XY=X

2-2

4-1

10

01

1

2

4X

-2-1

012pk1/10

1/52/51/51/10-2,2

4-1,1

10

0

Y=X

2

014pk2/5

2/51/5一般地，离散型随机变量X的分布律为Xx1

x2

…

xn…pkp1

p2

…

pn…Y=g(X)g(x1)

g(x2)

…

g(xn)

…pkp1

p2

…

pn

…将它们对应的概率相加后和并成一项即可若g(xk)中有相等值,则FY(y)=P(Y

y)=P(-2X+8

y),解

设Y的分布函数为FY(y)，例2(P.76

例16)设X

具有概率密度求Y=-2X+8的概率密度.于是Y的概率密度为二、连续型随机变量函数的分布注意到0

<

x<4时，

即0

<

y

<

8时，此时②①设

X具有概率密度求导可得当y

>

0时,注意到Y

=

X

2

0，故当y

0时，FY

(

y)=0;

解

设Y和X的分布函数分别为FY(y)和

FX(x)，例3则Y=X

2的概率密度为②①Y服从自由度为1的分布求Y=X

2

的概率密度.(P70

例26)从上述两例中可看到，在求P{Yy}的过程中,关键是第一步中:设法从{

g(X)

y

}中解出X,

从而得到与

{

g(X)y

}等价的关于

X的不等式.用代替{X

2

y}即利用已知的

X

的分布,求出

X

的函数的分布用代替{

-2

X

+

8

y

}求连续型随机变量的函数的分布的常用方法如例2中,如例3中,定理

则

Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为

又

y=g(x)处处可导,且有g

(x)>0

(或恒有g

(x)<0),类似可证g

(x)<0时,定理的证明与前面的解题思路完全类似.设连续型随机变量

X具有概率密度fX(x),定理(P.78

例18)下面求Y的分布函数FY(y):

证由于g

保号

h(

y)是g(x)

的反函数综合以上即有结论成立.abab试证X的线性函数

Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.证

X的概率密度为例4(P.79例19)

设随机变量X～(,2),显然

y

=

g(x)

=

a

x+b可导且g

=a

保号Y=aX+b的概率密度为由定理知∴Y=aX+b～(a

+b,(|a|)2

)即注取,①验证函数可导且单调②求反函数及其导数④

代入定理公式即得函数的密度注意取绝对值有～③确定y的取值范围求Y=1-

e

X

的概率密度.解

例5(P.76例16)

设

X

的概率密度为

显然

y

=

g(x)

=

1-

e

x可导,且g

=-

e

x

保号,Y

=

1-

e

X的概率密度为由定理知即①②④注意取绝对值③先转化为分布函数,再求导已知

X

的概率密度为

求Y=sinX

的概率密度.例6(P.80例21)利用分布函数求概率密度：

∵函数y

=g(x)

=

sinx在[0,]上为非单调函数，解故不能用定理求.

x[0,]

时,

y

0时,0<y<1时,

=P((0

<

X

<

arcsin

y)∪(

-arcsin

y

<

X

<

))

y

1时,

=P(0

<

X

<

arcsin

y)

+P(

-arcsin

y

X

)=1.分布函数法不必计算积分

Example:

设F(x)是随机变量X的分布函数,连续且严格单调上升的分布函数，其反函数存在，且记为F-1(x)（即F[F-1(x)]=x）。①若随机变量X

的分布函数为F(x)，则F(X)~U(0,1)；②若随机变量R~U(0,1)，则F-1(R)的分布函数为F(x)；（证明）证明：①设随机变量F(X)的分布函数为F1(u)，当u[0,1]时，当u<0时，F1(u)=0；当u>1时，F1(u)=1；所以F(X

)~U(0,1)②设随机变量F-1(R)的分布函数为F2(x)，因为R~U(0,1)，对任意F(x)[0,1]，有FR(F(x))=F(x)

所以F-1(R)的分布函数为F

(x)均匀分布

逆变换法设𝐹(𝑥)是某特定的一维概率分布函数，则生成服从该分布的随机数的逆变换法是：[1]写出该分布函数的反函数𝐹−1(𝑥)；[2]

生成随机数𝑢∼𝑈(0,1)；[3]计算𝑥=𝐹−1(𝑢)，则𝑥就是服从该特定分布的随机数。小结

对于连续型