《用向量方法研究立体几何中的度量关系（2）》示范公开课教案【高中数学北师大】

《用向量方法研究立体几何中的度量关系（2）》教案教学目标教学目标1．能理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系．2．能理解二面角的向量法的形成过程．3．能用向量方法求二面角的大小．4．通过二面角求解问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．教学重难点教学重难点重点：能用向量语言表述二面角的平面角．难点：能用向量方法求二面角以及相关应用．教学过程教学过程一、新课导入问题导入：在学习新的一课之前，我们一起来思考这样的一个问题：两个平面有几种位置关系？学生思考、回答追问1：两个平面相交形成四个二面角，二面角的范围？答：0追问2：如何衡量这两个平面所形成二面角的大小？答：二面角的平面角师小结：引入本节课题，继续来研究两个平面所形成的角.出示课题：用向量方法研究立体几何中的度量关系（2）．设计意图：通过问题思考，让学生复习旧知，思考立体几何中两个平面的位置关系.教师展示实物，引导学生思考回答，通过教师小结继续研究两个平面所形成的角，顺利进入本节课内容．二、新知探究思考：如下图所示，过二面角α-l-β内一点P作⊥α于点A，作PB⊥β于点B，则PA（或AP）是平面的一个法向量，PB分析：设平面PAB交直线l于点O，连接AO,BO，不难证明：l⊥PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.因为在四边形结论：一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-βθ=<ncos设计意图：通过三个方面：（1）两个平面所成角的定义；（2）两个平面所成角的取值范围；（3）二面角的平面角与两个平面的法向量的关系对两个平面所成的角进行研究，在探究中引导学生一步步思考，在思考中获得知识，形成知识点以及对知识点在实践中的运用．三、应用举例例1如下图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B解：由AA'⊥平面ABCD，可知n因为A'0，0，1，C1，1，0，D（0，1，0），所以n即y所以取n2cos<由上图可知，二面角A'-DC-A例2．如下图已知二面角α-l-β的平面角为2π3，点B，C在棱l解：因为AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为2πAD所以AD=2小结：用空间向量求平面α与平面β的夹角θ的步骤与方法：化为向量问题化为向量问题进行向量运算回到图形问题①转化为求平面α与平面β的法向量n1，n②计算cos（n③平面α与平面β夹角θ的余弦值cosθ=cos设计意图：通过两个例子对用线线角、线面角进行实际应用，加强对线线角和线面角实际问题的思考，学生在实践中加强练习，懂得运用方法进行问题解决，尝试自主实践，进行迁移应用．四、课堂练习1.如图所示，在正方体ABCD-A2.四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=π3参考答案：1.12解析：如下图所示，建立直角坐标系，平面ABD1的一个法向量为DA1=（0，1，1），平面CBD1的一个法向量为DC1=（1，0，1），2.eq\f(\r(10),5)解析：建立如下图所示的空间直角坐标系O-xyz，则点A3，0，0，B0，1，0，P0，0，32，C（-3，0，0）.因为PA⊥PM，同时利用已知条件可知BC⊥PM，所以向量PA与向量BC所成的角就是二面角A-PM-C的大小，PA=3，0，-32，BC=（-3，-1，0）.解得cos<PA，BC>=-155，sin五、课堂小结1．两个平面夹角的定义：空间中，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，二面角可以用二面角的平面角来度量2．两个平面夹角的向量求法：.化为向量问题化为向量问题进行向