《组合数》示范公开课教案【高中数学北师大】

《组合数》教案（一）教学内容组合数的定义和表示，组合数公式；组合数的两个性质.（二）教学目标1，理解组合数的概念，能利用计数原理推导组合数公式；能运用组合数公式进行简单计算.2，通过对实际问题的分析，掌握组合数的两个性质，体会其中蕴含的数学思想.（三）教学重点与难点重点：掌握组合数的概念和两个性质.难点：对组合数性质的推导.（四）教学过程设计1引入新课问题1：什么叫组合？组合与排列有哪些异同点？答：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）排列与组合都是从不同元素中取；排列与元素有顺序有关，元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，组合与元素顺序无关，两个组合只要元素相同不论元素的顺序如何都是相同的.设计意图：回忆组合的概念和前面借助排列出所有组合及计算组合数的方法.2课堂探究问题2：对于一般的组合问题，如何计算所有组合的个数呢？追问1：你能类比排列数的概念给出组合数的概念吗？组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn追问2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数如何表示？答：可以表示为C4追问3：前面我们是如何求一个组合问题的所有组合个数的？答：元素个数较少时，可以使用枚举的方法求出所有组合的个数，但这种方法会随着元素个数的增加，越来越繁琐；另外，也可以用分步乘法计数原理借助排列数进行计算.追问4：能否用分布计数法的角度来分解排列数A43的计算步骤来得到组合数答：第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C4第2步，将取出的3个元素作全排列，共有A3根据分步乘法计数原理，有A43追问5：依据求组合数C43的方法，如何求组合数答：可以看做由以下两个步骤得到：第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有Cn第2步，将取出的m个元素作全排列，共有Am根据分步乘法计数原理，有An即组合数公式：Cnm追问5：结合排列数公式An答：将Anm=C规定：C设计意图：结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念作对比，引入组合数公式.利用排列数从具体到一般，用同样的方法得组合数公式.3知识应用问题3：例1计算：（1）；（2）；（3）；（4）．解：根据组合数公式，可得（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.同时为性质1做准备.追问1：观察例1的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么样的发现？你能联想到组合数有怎样的性质吗？答：C103=猜想C追问2：你能证明这个性质吗？答：Cn性质1：C追问3：根据这个性质，在计算组合数时你对公式的选择有什么想法？答：在计算Cnm的过程中，当m大于n例2分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数？解：“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛"，因此，从10人中选出6人参加比赛的方法数和从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的，即C追问4：结例2你能给出这个性质所包含的意义吗？答:：“从n个元素中选出m个元素”相当于“从n个元素中不选剩余的n-设计意图：通过两个例子从具体到一般发现规律并总结证明，结合实例赋予公式具体含义.问题4：例3从高二（4）班第一数学小组6人中选出3人去参加爱心义卖活动.（1）共有多少种选择方案？（2）组长李丽被选中的选择方案有几种？（3）组长李丽没被选中的选择方案有几种？解：（1）选择的方案共有C6（2）组长李丽被选中的选择方案有C5（3）组长李丽没被选中的选择方案有C5追问1：在整个选派过程中，组长李丽要么被选中，要么不被选中，对比问题3，你发现了什么？答：C追问2：把上述问题改为n人中选出m人，你能根据例3结论猜想得出一般性的结论吗？答:猜想

追问3：你能根据情景“从n个红球和1个黑球这（n+1）个不同的小球中取出m个小球.”来解释上述猜想吗？答：所有取法下2类第1类，不取黑球，从n个红球中，取出m个球，方法数为C第2类，取出1个黑球和（m-1）个红球，因此，取出的方法数相当于从n个红球中，出（m-因此，根据分类加法计数原理，共有（Cn由此，我们得到：性质2：C设计意图：通过例子从具体到一般发现性质2，并结合实例赋予公式具体含义.问题5：例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？追问1：问题（1）是一个排列问题还是组合问题？答：从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为追问2：如何理解问题（2）中的“恰好”？答：，按照抽出产品次品数量可能是恰有0件、1件、2件次品，恰好即有且仅有1件是次品可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；解：（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为追问3：如何理解问题（3）中的“至少”？答：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．解：（3）方法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为＝9506＋98＝9604．追问4：在使用分类计数原理时，如果正面所分种类较多时，可以从反面进行考虑，使用间接计算法，问题（3）可以这样解决吗？解：方法2抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.4归纳总结1.本节课我们都学到了哪些知识？答：组合数公式：Cnm及其性质1：Cnm=C2.本节课我们都学到了哪些