专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系-2023届高考数学二轮复习重点练（含解析）

专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系1.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与所成角的余弦值等于()A. B. C. D.2.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为()A. B. C. D.3.如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为()A. B.C. D.4.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（）A. B. C. D.5.已知平面内有一点，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是()A. B. C. D.6.已知分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（）A． B． C． D．7.如图，在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.8.（多选）如图,已知正方体的棱长为4,M为的中点,N为平面上一动点,为平面上一动点,且平面,则下列说法正确的是()A.若与平面所成的角为,则点N的轨迹为圆B.若三棱柱的表面积为定值,则点N的轨迹为椭圆C.若点N到直线与到直线的距离相等,则点N的轨迹为抛物线D.若与所成的角为,则点N的轨迹为双曲线9.（多选）如图，在直三棱柱中，，,D,E分别是线段BC,上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的是()A.平面B.该三棱柱的外接球的表面积为C.异面直线与所成角的正切值为D.二面角的余弦值为10.（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心，B为PD的中点，F在棱PA上，若，，则下列说法正确的有()A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则11.如图，在长方体中，，点为的中点，则点到平面的距离为___________．12.正方体的棱长为2，点M和N分别是和的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为__________.13.在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.14.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.15.在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

答案以及解析1.答案：B解析：设异面直线与所成的角为.，，，.2.答案：B解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，，，由余弦定理，得故选：B.3.答案：B解析：解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，如图，E是MA的中点，，是异面直线BE与AF所成的角或其补角，平面ABC，，，，，又，，，异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，则，则，异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.4.答案：B解析：设，则；由题意知，，则，，化简得.验证得，在A中，，不满足条件；在B中，，满足条件；在C中，，不满足条件；在D中，，不满足条件.故选：B.5.答案：B解析：对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则；对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选：B.6.答案：A解析：设，，直线EF与平面BOD所成的角为，，以为一组基底，利用空间向量法求解.7.答案：D解析：由题意可得，，以C为坐标原点，问量方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，，因此异面线与所成角的余弦值等于，故选：D.8.答案：ACD解析：本题考查空间中点线面的位置关系.对于A,因为与平面所成的角为,所以,所以点N的轨迹为以D为圆心,2为半径的圆,所以A正确.对于B,如图①所示,因为平面,平面,平面,所以,所以三棱柱的侧面积.当为定值时,为定值,所以点N为以点为焦点的椭圆,而三棱柱的表面积,且(h为的边上的高)是变化的,所以B错误.对于C,因为点N到直线的距离与相等,所以点N的轨迹为点N到点B与到直线的距离相等的轨迹,即点N的轨迹是以B为焦点的抛物线,所以C正确.对于D,以D为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图②所示的空间直角坐标系,则,设,则.由题意可知,化简得,即,所以点N的轨迹为双曲线,所以D正确.故选ACD.9.答案：AD解析：在直三棱柱中，四边形是矩形，所以，因为，所以，又平面,平面，所以平面，故A项正确；因为，所以，因为，所以，易知为直角三角形，所以，易知是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积，故B项错误；因为，所以异面直线与所成角为.在中，，所以，故C项错误；连接，则二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则即令，可得，设平面的一个法向量为，则即令，可得，所以，故二面角的余弦值为，故D项正确.故选AD.10.答案：BC解析：，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，，AD，AP两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，异面直线PO与AD所成角的余弦值为，故A错，B对.由题易得，平面PAD，取平面PAD的一个法向量.，，，，，设平面OEF的法向量为，易知，，则即令，得，平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，，而，，解得，故C对，D错.故选BC.11.答案：解析：∵在长方体中，，点为的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，如图∴，，，，设平面的法向量，则，取，得，∴点到平面的距离：．故答案为：．12.答案：解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线AM和CN所成角为，则.异面直线AM和CN所成角的余弦值为.13.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.14.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，

因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，

又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.

因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，

因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.

又平面ODE，，

所以平面平面PAC.

又平面ODE，所以平面PAC.

（2）连接OA，

因为平面ABC，平面ABC，

所以，，

所以.易得在中，，

所以，，

又，

所以在中，.

以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，

则，即，

令，则.

设平面AEB的法向量为，

则，即，令，则.

所以.

设二面角的大小为，

则.15.答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.

又，

所以四边形DCBO为菱形，所以.

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，

所以.

因为底面ABCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因