线性系统泰-linear system theory lec第一章数学准备

线性系统理论

第二讲数学基础柳向斌北京交通大学先进控制系统研究所地址:九教西401电话:51684105Email:内容线性空间和线性变换线性代数中的几个结果Jordan分解线性空间与线性变换

线性空间定义定义几种运算

设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V元素之间定义了一种代数运算，叫做加法.加法运算:对于V中任意两个元素x和y，V中都有惟一的元素z与之对应,z为x与y的和:

z=x+y。在数域P与集合V的元素之间定义了一种运算,叫做数量乘法。数量乘法:对于数域P中任一数k与V中的任意一个元素x，在V中都有惟一的元素h与它们对应，称h为k与x的数量乘积:h=kx加法规则:①；②；③

在V中有一个元素0，对于V中的任何一个元素都有0+x=x，具有这个性质的元素称为零元素；④对于V中的每一个元素，都有V中的元素y，使得x+y=0，此时称y为x的负元素。数量乘法规则:①；②。线性空间：如果加法与数量乘法满足下面的规则，那么V为数域P上的线性空间。数量乘法与加法混合运算规则:①；②。k,l等表示数域P中的任意数；x、y、z、h为集合V中的任意元素。子空间定义：如果V是实数域R上的线性空间，V1是V一个子集，在V1上的加法和数乘运算同于V上的运算，若V1也是实数域R

上的线性空间，则称V1是V的子空间。直和空间定义：若V是实数轴R上的线性空间，V1、V2是V的两个子空间，若对都有惟一的和，满足

则称V是V1和V2的直和空间，记为 反之，设V1、V2同为实数域R上的线性空间，，，将v1，v2按序排成(v1,v2)，并令

再在V中规定同于向量的加法和数乘的运算，这时V仍是实数域R上的线性空间，它被称为V1、V2的乘积空间。线性变换定义：设V1，V2均为实数域R上的线性空间，T是由V1到V2的一个映射，当T满足

时，称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T的定义域。若令

则TV1也是一个线性空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在V1=V2时，称T为V1上的线性变换。

例子：，核空间定义：设V为一线性空间，若T是V上的线性变换，构造集合

则N是V的一个子空间，称为线性变换T的核空间，记为N=KerT。定义1

矩阵中列向量的最大无关组的个数称为A的列秩；其行向量的最大无关组的个数称为矩阵A的行秩。定义2矩阵的行秩或列秩称为矩阵A的秩，记为rank(A)。命题2：对于矩阵而言，有命题1矩阵的行秩与列秩相等。矩阵论中的一些结果定理设，则：①矩阵A行降秩的充要条件是存在向量，满足；②矩阵A列降秩的充要条件是存在向量，满足。

Vendermonde矩阵与友矩阵

(1)Vendermonde矩阵及其性质设，为一组复数，定义P为Vendermonde矩阵。引理1：推论1Vendermonde矩阵可逆的充要条件是，，互异。友矩（伴随）阵及其性质设，其特征多项式为

定义矩阵为矩阵A的友矩阵(Companionmatrix)。引理2设矩阵具有互异特征值，则其友矩阵亦以为特征值，且与相对应的特征向量：证明由于为矩阵A的特征值，故从而推论2

设矩阵具有互异特征值，则有其中矩阵P

为,的Vendermonde

矩阵

Cayley-Hamilton定理设，矩阵A的特征多项式定义为它是关于上s的n阶多项式。Cayley-Hamilton定理设，D(s)为矩阵A的特征多项式，则D(A)=0。化零多项式命题3设，则对于一切，均可表为的线性组合。证明：则由Cayley-Hamilton定理可得，Jordan分解—线性变换

其中，P为矩阵A的特征向量矩阵；J为矩阵A的Jordan标准型。则必存在非奇异矩阵P,使得定理1：设其特征根为,…,互异，原因：A的特征根互异时，P定理2：设特征根,…,不互异，但矩阵A仍有n个相互独立的特征向量，此时上述定理仍成立。例：特征根为属于的特征向量为属于的特征向量为P矩阵为：较一般情况下的结果呢？则必存在非奇异矩阵P，使得定理3：设其特征根为q重，其它根互异Jordan矩阵J1J2其中，J为矩阵A的Jordan标准型。P矩阵如下n-q个互异单根q个重根特征向量广义特征向量例子：将A化为约当标准型。解：1、求A的特征根2、求特征向量对重根-1,…,(重)

,()，则存在最一般情况下的Jordan分解定理设矩阵，Q可逆，满足

其中，Q

为矩阵A

的特征向量矩阵；J

为矩阵A的Jordan标准型。Jordan标准型矩阵的一般形式为：其特征根为(重),(重)，其中，为矩阵A的特征值；为矩阵A的与相关联的Jordan块。特征值在矩阵A的Jordan标准型中，与第i个特征值相关的Jordan块共有个，即它们的阶数分别为。定义：为矩阵A的第i个特征值的代数重数。直观地讲，一个矩阵的某特征值的代数重数即是该矩阵的Jordan标准型中与该特征值相关的所有Jordan

小块的阶数之和。也即：称矩阵A的特征值的几何重数。直观地讲，一个矩阵的某特征值的几何重数即是该矩阵的Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数。它说明为的零空间的维数。而的零空间定义为使成立的非零向量h的集合，这就是几何重数的由来。解空间显然，只有当所有特征值的几何重数等于代数重数，即时，约当标准型才具有对角规范性的形式。广义特征向量：称一个非零向量是矩阵A的属于特征根的k级广义特征向量，当且仅当当k=1时，广义等于通常