2022年初升高暑期数学精品讲义专题14 指数与指数幂的运算（重难点突破）【含答案】

专题14指数与指数幂的运算一、考情分析二、基础知识【知识点一、根式】1．次方根的概念一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．2．次方根的性质（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．负数没有偶次方根．（3）0的任何次方根都为0，记作．3．根式的概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．4．根式的性质根据次方根的意义，可以得到：（1）；（2）当为奇数时，；（3）当为偶数时，．【知识点二、实数指数幂】1．分数指数幂（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且．（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：（1）____________；（2）____________；（3）____________．3．无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘．三、题型分析重难点突破1．分数指数幂与根式的转化在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．例1．（1）、（2022·广西·高二学业考试）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接由分数指数幂的运算求解即可.【详解】.故选：B.（2）．（2021·全国·高一期中）化成分数指数幂为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接化根式为分数指数幂，即可得出答案．【详解】解：．故选：B.（3）．（2021·江苏省滨海中学高一期中）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】CD【解析】【分析】根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项.【详解】对于A选项，，所以A选项错误.对于B选项，，所以B选项错误.对于C选项，，，所以C选项正确.对于D选项，，，所以D选项正确.故选：CD【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）已知，则化为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根式的运算性质即可得出．【详解】解：原式．故选：B．【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式训练1-2】．（2022·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．B．C．)D．【答案】BD【解析】【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.【详解】A选项，由于，所以，A选项错误.B选项，正确，B选项正确.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：BD【变式训练1-3】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】【分析】计算得选项AB错误；计算得选项CD错误.【详解】解：对于选项A，因为，而，所以A错误；对于选项B，因为，所以B错误；对于选项C，因为成立，所以C正确；对于选项D，当时，，所以D正确.故选：CD.重难点突破2．指数幂的运算进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．例2．（1）、（2016·天津市红桥区教师发展中心高一期中）计算：=____________.【答案】##【解析】【分析】根据指数幂的运算法则求解即可.【详解】解：故答案为：（2）．（2021·全国高一课时练习）化简·的结果为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.【详解】由题意，可知，∴·.故选：A.【变式训练2-1】、（2021·上海交大附中高一期中）已知，为正数，化简_______．【答案】【解析】【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.【详解】原式．故答案为：．【变式训练2-2】、（2021·上海徐汇·高一期末）已知，化简=__________【答案】##【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可计算.【详解】.故答案为：【变式训练2-3】、（2022·江苏·高一）[多选题]下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】CD【解析】【分析】利用指数幂的性质逐一判断即可.【详解】对于选项A，因为（），而（），故A错误；对于选项B，因为（），故B错误；对于选项C，（），故C正确；对于选项D，（），故D正确．故选:CD例3、（2021·北京师大附中高一期中）求值：________．【答案】【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】，故答案为：.【变式训练3-1】、（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）化简___________.【答案】##1.6【解析】【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得.【详解】故答案为：重难点突破3．知值求值问题带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．例4．（1）、（2022·新疆昌吉·高一期末）已知，则等于（）A．2 B． C． D．±【答案】D【解析】【分析】由，即可求出的值．【详解】解：∵，∴，∴.故选：D．（2）．（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断【详解】易知x>0，A正确；，B正确；，C错误；,D错误故选：AB【变式训练4-1】、（2021·全国·高一期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】已知等式平方后可得结论．【详解】因为，所以，所以，故选：B．【变式训练4-2】、（2022·浙江台州·高一期末）若实数a满足，则___________.【答案】6【解析】【分析】对等式两边同时平方即可得解.【详解】由题，两边同时平方可得：，所以故答案为：6.重难点突破4．综合应用例5、（2021·江苏·高一单元测试）（1）求值：.（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）由指数的基本运算化简即可；（2）由可求；由可求，可求，结合即可求解.【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得；（2）∵，∴，∴；，∴＝7，∴，∴，∴．【变式训练5-1】．（2021·全国·高一专题练习）求解下列问题：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）通过平方再开方的运算，化简求得所求表达式的值.（2）通过平方的方法求得所求表达式的值.(1)，，，.(2)，.，，.

课堂训练1．（2022·全国·高一）下列各式正确的是（

）（填序号）A． B． C． D．a0＝1【答案】C【解析】【分析】由根式性质和指数性质依次判断各选项即可.【详解】根据根式的性质可知,,,,由指数性质可知当a0＝1成立时，需a≠0，则C正确，A、B、D错．故选：C2．（2021·江苏·高一专题练习）下列等式中，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根据指数的运算法则逐一判断【详解】对于A，，

故A不正确；对于B，

，故B不正确；对于C，

中，故C不正确；对于D