2022年初升高暑期数学精品讲义专题12 函数的奇偶性（重难点突破）【含答案】

专题12函数的奇偶性一、考情分析二、经验分享【知识点一、函数的奇偶性】一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．名师解读：函数具有奇偶性的条件（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．（3）若奇函数的定义域包括，则．【知识点二、函数的奇偶性的图像特征】如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．名师解读：奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．名师解读：性质法判断函数的奇偶性，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

三、题型分析(一)证明或判断函数的奇偶性例1．（1）、（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数是偶函数（）A．对 B．错【答案】A【分析】根据偶函数的定义直接判断即可.【详解】由，得且，所以函数的定义域为且，又，所以函数是偶函数.故选：A【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量．（2）、（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.【详解】由题意可得，对于A，，定义域为，不关于原点对称，故A错误；对于B，，定义域为，不关于原点对称，故B错误；对于C，，定义域为，关于原点对称，令，，所以不是奇函数，故C错误；对于D，，定义域为，关于原点对称，令，，所以是奇函数，故D正确.故选：D.【变式训练1-1】、（2022·天津河东·高二学业考试）下列函数中，是偶函数的为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判断.【详解】A.定义域为R，，是奇函数，故错误；B.定义域为，，是奇函数，故错误；

C.定义域为R，，是偶函数，故正确；D.定义域为R，，是奇函数，故错误；故选：C【变式训练1-2】、（2021·浙江高二期末）若函数为奇函数，则（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【分析】首先根据奇函数的定义域必须关于原点对称求得，再验证时是否满足题意，最后求解.【详解】因为函数为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得：即，所以，又当时，满足，函数是奇函数.所以成立故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性求函数的解析式，在判断奇偶性时一定要贯彻定义域优先原例2、（2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)【答案】(1)偶函数；(2)既不是奇函数也不是偶函数.【解析】【分析】（1）（2）根据给定条件，利用奇偶函数的定义直接判断作答.(1)因为函数定义域为，且，所以为偶函数.(2)因为函数的定义域关于原点不对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.【变式训练2-1】、（2021·湖南·邵阳市第二中学高一期中）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)非奇非偶函数【解析】【分析】根据题意，先分析函数的定义域，在分析与的关系，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．(1)解：，定义域为，有，则函数为奇函数，(2)解：，定义域为，有，则函数为偶函数，(3)解：因为，所以，则有，解得，则函数定义域为，且，所以和同时成立，故既是奇函数又是偶函数，(4)解：，其定义域为，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数．

(二)函数奇偶性的应用例3．（1）、（2022·四川达州·高一期末（理））定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由偶函数的性质可得，函数在在上单调递减，结合函数性质解不等式即可.【详解】因为为的偶函数，又，在上单调递增，所以，函数在在上单调递减，所以当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，又当或或时，，所以的解集为，故选：A.（2）、（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数为偶函数，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】利用偶函数的定义化简变形即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，则有=，得，则有.故答案为：.（3）、（2022·江西赣州·高二期末（文））函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先判断函数是奇函数，排除，再排除选项B，即得解.【详解】解：因为，所以.所以函数是奇函数，排除选项.因为，，所以排除选项B.故选:D【变式训练3-1】、（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）若定义域为R的奇函数在内单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据奇函数在内单调递减，得在上也单调递减，且，根据，得，再分类讨论，利用函数的单调性可求出结果.【详解】因为奇函数在内单调递减，所以在上也单调递减，且，因为，所以，当，即时，，所以；当，即时，不等式显然成立；当，即时，，即，此时不等式无解；当，即时，不等式显然成立；当，即时，，即，所以，综上所述：满足的的取值范围是.故选：D【变式训练3-2】、（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先判断的奇偶性，可排除A，再由单调性、特值点排除选项C、D，即可得出答案.【详解】函数的定义域为，因为，所以是偶函数，排除选项A；当时，考虑到和的变化速度，知时，，故排除选项C，D．故选：B．【变式训练3-3】、（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求解；【详解】因为函数是奇函数，所以，即，化简整理，得，即，所以，解得.所以实数a的值为.故答案为：.例4．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知函数.(1)写出的定义域并判断的奇偶性；(2)证明：在是单调递减；(3)讨论的实数根的情况.【答案】(1)，偶函数(2)证明见解析(3)有2个实数根【解析】【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即，求解函数的定义域即可，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）利用定义法证明函数在是单调递减即可.（3）构造函数，求解函数与函数在区间上的单调性，利用极限的思想可得函数与函数在区间上有一个交点，利用偶函数的性质可得函数与函数共有2个交点，即为方程的根.(1)解：由题可知，所以函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数.(2)解：当时，，设为区间上的任意的两个值，且，则，因为，所以，故，即，所以函数在区间上单调递减.(3)解：由（2）得，当时，函数在区间上单调递减，且，当时，，当时，，设为区间上的任意的两个值，且，则，因为，所以，故，即，所以函数在区间上单调递减.且当时，，当时，，设，则为偶函数，且恒成立，当时，函数在区间单调递增，且，当时，.所以函数与函数在区间必有一个交点，又因为函数与函数均为偶函数，所以函数与函数在区间必有一个交点，所以函数与函数有2个交点，即方程有2个实数根.例5．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）已知为上的奇函数，当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．【答案】(1)0(2)(3)作图见解析，增区间为和，减区间为【解析】【分析】（1）利用奇函数，直接代入求得；（2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式；（3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间.(1)因为为上的奇函数，当时，，所以.(2)因为为上的奇函数，所以.令x=0得：，所以.任取，则.所以.由，所以.综上所述：(3)作出的图象如图所示：从图象可以看出：的增区间为和，减区间为.例6．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（文））函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式(2)证明在上的单调性；(3)解关于的不等式．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)不等式解集为.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义与性质列方程求解（2）由函数的单调性的定义证明（3）由函数奇偶性和单调性，化简不等式后再求解(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解可得；又由，则有，解可得；则(2)由（1）的结论，，设，则又由，则，，，，则，即则函数在上为增函数.(3)由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.，解可得：，即不等式的解集为.例7．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2){m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}【解析】【分析】（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，再根据题意分析f(x1)－f(x2)的正负即可；（2）由（1）有f(x)≤1，再将题意转化为m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立，进而构造函数g(a)＝－2ma＋m2，分类讨论分析即可(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.由已知条件得.又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－