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文档简介
1f
第一单元1cosx,则f(cosx) 2(42、 2 xx(1x 4、limxksin10成立的k 5、limexarctanx ex6、f(xx
xx
在x0处连续,则b 7、 8、设f(x)的定义域是[0,1],则f(lnx)的定义域 9、函数y1ln(x2)的反函数 10、设a是非零常数,则lim(xa)x xx111、已知当x0时,(1ax2)31与cosx1是等价无穷小,则常数a 12f(x)
x2x2
的定义域 x2x2
14、设lim(x2a)x8,则a
xnn
nnn
n 1、设f(x),g(x)是[l,l]上的偶函数,h(x)是[l,l]上的奇函数,则 (B)(C)(D)f 1 2、(x) ,(x)11
,则当x1时 3(A)是比高阶的无穷小 (B)是比低阶的无3(C)与是同阶无穷小 (D)~1x
x0(x3f(x31x
在x0处连续,则k
x2
3
(D)04、数列极限limn[ln(n1)lnn] (C) (D)不存在但非xsin
x 5、f(x)
x
,则x0是f(x) xcos
x (B)(C)(D)6f(xg(x相同的是(x2(A)f(x)lgx2,g(x)2lgx (B)f(x)x,g(x) x23x4(C)f(x) g(x)x3x1(D)f(x)1g(x)sec2x3x47、limsinx= x0|x(A) - (D)18、lim(1x)x (A) (B)- (C)e
e19f(xx0
f(x)存在的 (B)(C)(D)10
limx2x2
x) 1(A) (B)
(D)0211{an},{bn},{cn}liman0limbn1lim
则必
(A)anbnn成立;(B)bncn对任意n(C)极限limancn(D)极限limbncn
x21
12x1
x
ex1的极限 (B)等于0;(C)为;(D)不存在但不为。
cscxcot
1
x2x13x(3)limx(ex1) (4) 1xsinx cos8cos1xsinx cos
x2x1(5)
3
21
xcosx
xtan
;(8) n1
2
n(n1)ln(132ln(132xarctan34
3、试确定ablim
x
axb 1
1 (1)lim n1 1
ax(n1,2,,证明limx nxn5f(xn
nx的连续性,若有间断点 6
f(x在[abaf(xb(ab内至少有一点
f(12sin2x
第一单元f(sinx)1(12sin2x)22sin2x f(x)22x f(cosx)22cos2x2sin2x2、0
(42
9x224x3
0xx(1x
x3
tanxsinx
tanx(1cosx)
lim(1cosx)04、k
tanxsinxx。sin1为有界函数,所以要使limxksin10,只要limxk0,即k0x5、0
limex
(limex
0,arctanx(2
26、b2
limf(x)lim(xb)b,
f(x)lim(ex1)2f(0)
b2
7、
ln(3x
lim
1 x0 8、1x
根据题意要求0lnx1
1xe9、yex1 y1ln(x2),(y1)ln(x2),x2ey1xey12,y1lnx2yex12 xax10、
x
)
e2a11、a2
由(1ax231
ax2与cosx1~
x2,以
1(1ax2)3
3
a cosx3
x01 2可得a 212、4
x2
13x 1 1x
解不等式组可得
x
,
f(x)的定义域为 x 13、
x2x2x22x2x2x22 x2x
(x(x22 x22)(x22 x22)x22 x20
xa14、ln
x
)xlim
x
)
e3a3aln8a
nn
3
15、
nn
n
n)
(n(n n1)(n2 n2(111
n212n1(D)F(x)
f(x)g(x)h(x)
f(xg(x是[l,l上的偶函数,h(x)是上的奇函数,F(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)2、选
1
(1(1x)(13x
1
x11
x1(1x)1(1x) 1x1x31x3、选
f(x)
lim
x01 34、选
limn[ln(n1)lnn]limln(11)n
5、选
f(0)1
f(0)
,f(0)(A
f(xlnx2的定义域为x0
g(x)2lnxx0f(x)g(xx2在(B)f(x)x的值域为(,),g(x) 的值域为x0,故错在(C)中f(x)1的定义域为R,g(x)sec2xtanxx2{xR,xk2
,f(x)g(x7、选 limsinxlimsinx1,limsinxlimsinxlimsinx
|x
|x
x0|x8、选
1lim[1(x)]x
e19、选(C)
f(xx0f(xf(xx0
f(x
1,函数1sin
1x010、选x2x211111x2
x)lim2
(x2(x21x)(x21x1x21(A充分大时”的情况,不可能得出“对任意nx211 112、选(D)x2
x1
ex1lim(x1)ex1201
x
ex1lim(x1)ex1x1时函数没有极限,也不是。
lim2n
1
2x1 1limcscxcotxlimsin
sin
lim1cosx
1
1
xsin
x0 解:limx(ex1)limx 1
2x
x1
2x
2x
)3xlim[(1
x2
22]3
x2
x)2]3[lim1
x2
)2]3
8cos2x2cosx2
(2cosx1)(4cosx3
2cosxcosx41
3
(2cosx1)(cosxlim4cosx1
23
cosx
12
1xsinx 11xsinx
xtan
xtanxtanx(1xsinx limxsinx1cosxlimxsinxlim1cosx113
x1
2
n(nlim[(11)(11)(1
1
1n
x2
n3n3arctan3x3、解:lim
x
axb)
(1a)x2(ab)x(1b)x11a1
aab) b3 1111 4(1).1 n1111 1而 11 xn an1时,x2ankxka,则数列{xn}有下界,再证{xn}单调减
xk
xn1
axn
1
xnaxn1xn即{xn}单调减,limxn存在,设limxnAa n则有A A0(舍)或Aa,limxn
f(x)
n2x2
xxn
x而
f(x)
f(x)
f(0)f(x的连续区间为(,0x0为跳跃间断点.F(x)
f(xx
F(x
[abF(a)f(aaF(b)f(b)babF(即f(
f(1f(32,则
第二单元f(3h)f 2f(0)f(00,则3yxxarctan1
f x 4、f(x)二阶可导,yf(1sinx),则y= ;y 5、曲线yex在 6、yln[arctan(1x)],则dy 7、ysin2x4,则dy
dx2 8、若f(t)limt(11)2tx,则f(t) 9、曲线yx21于 10、设yxex,则y(0) 11、设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定,则dy x1t d212、设ycostdx
1、设曲线y1和yx2在它们交点处两切线的夹角为,则tan x(A) (C)2 (D)33f(x)etankx
f()
e,则k 1(A)1;
1;
(D)224f(x为可导的偶函数,且
f(1xf(1)2y
f(x在 (B)(C)(D)5f(x
f2(xx)f2 (A)0;
2f(x);
2f(x;(D)2f(xf(x6、函数f(x)有任意阶导数,且f(x)[f(x)]2,则f(n)(x) (B)(C)(D)7f(x)x2
f(x02x)f(x0) (A)2x0 (B)x0 (C)4x0 (D)4x8f(xx0f(x0f(x0f(x0)f(x0f(x0的 9、设f(x)x(x1)(x2)(x99)则f(0) (A)99 (B)99 (D)99!10、若f(u)可导,且yf(x2),则有dy (A)xf(x2dx(B)2xf(x2dx(C)2f(x2dx(D)2xf(x2dx11、设函数f(x)连续,且f'(0)0,则存在0,使得 (A)f(x)在(0,)内单调增加 (B)f(x)在(,0)内单调减少(C)x(0,f(x)
(D)
f(0
x12、设f(x)
在x0处可导,则 ax
x(A)a1,b(C)a0,b;;a0bsin2
xln(1)y
x,求dy (2) ,ytd2d2
t1xarctanyy,
;(4)ysinxcosx,求 (5)y(x)xy;1(6)f(x)x(x1)(x2)(x2005f(0)f(x)xa)(x(x)xaf(a)、f(af(xx1f(12,求lim
f
x12、试确定常数abf(x)b(1sinxa
x eax
x3x2y2axyb(ab为常数)5f(x)对任意实数x1x2f(xf(x)
f(x1x2f(x1f(x2,且f(016yx33x25上过点(1,3
第二单元1
f(3h)f(3)
f(3h)f(3)(1)1f(3)2f
f(x)
f(x)f(0)
f
x3、lnx
yxlnx
y|x1lnx4、f(1sinxcosxf(1sinxcos2xf(1sinxsiny
f(1sinx)cosx,y
f(1sinx)cos2xf(1sinx)sin5、(ln(e1),e
e1弦的斜率k e1106
y(ex)exe1xln(e
xln(e1ye1dy
d[arctan(1x)]
1(1
74x3sin2x42x2sin2x
dy2sinx4cosx44x34x3sin
2x2sin8、e2t
f(t)limt(11)2tx
f(t)e2t9、
y2x,由2x02
1,y0112yx21在点(1,2)10
yexxex,yexexy(0)e0e0exyysin(exyxsin(
x
ex
(1y')sin(xy)(yxy')sinttcos12
exyysin(yexyxsinxy)
yt'sint
xt d2
(y')
1tcostsin
(yx') xt2 xt 2
2t 4t y1、选
交点为
,k1
2
(x)|x
k2
) ytan|
1)
k21k
|13、选 f(x)etankxktank1xsec2f(e4
ek2ek2f(1x)f
f(1x)f4、选 由
limf
1f
f(1) 5、选 [切线方:y24(x1)即y4x5、选 [
f2
x)f2(x) 2ff 2ff6、选
()]2
3(xff(x)[2f3(x)]23f2(x)f(x)23f4f(nxnfn1(x,则f(n1xn1fn(xf(x)n1fn2f(n)(x)n!f7、选
f(x02x)f(x0)lim2
f(x02x)f(x0)2f(x
又f(xx22x,2f(x 8、选
f(xx0f(xx0f(x09、选f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(xx(x1)(x2)(xf(0)(01)(02)(099)(1)9999!f(0
f(x)f(0)lim(x1)(x2)(x
x
10、选
[f(x2)]
f(x2)(x2)2f(x2dy2xf(x2f'(0)limf(x)f
0
0x,
f(x)f0xx(,0)(x(0,f(xf(00(0CC12f(xx0x0
f(x)limx2sin10,
f(x)limaxb)b,所以b0
x2sin
f(0
f(x)f(0)
x0,
(0)
f(x)f(0)axa
x
x 所以a0Csin2 sin2 sin2 )dx12sin2 xxxx
)
x
dy
1t
d2,
1t
d2
x求导:1
1
yyyy2y2y3y2y3(y21)
2(
ysinxcosx
2
y3ycos2xsin(2x y2cos(2x)2sin(2x2
2n
sin(2xn2y(n
cos(2xn
)2n
sin(2x(n1)2y(50)249sin(2x50)249sin2lnyx[lnxln(1
1ylnxln(1x)1y
1y(x)x[lnxln(1x)1 x1f(0)
1f(x)f(0)lim(x1)(x2)(x3)(x2005)
f(x)(x)(xa)(x)f(a)f(alimf(xf(a)lim(xxa)(x
x
xlim[(x)(a)(x)](a)(a) x12x[注:因(xx12xlim
f
x1)lim[f
x1)
x1) x1
x
f
x1)x
f(1)(1) x2x2x0f(xf(xx0
f(x)
f(x)f而
f(x)baab2 limf(x) 又f(0
f(x)f(0)
(1sinx)a2ba2 x0
x
f(0)
eax1bax
eaxx
limaxx0 a由
aab2 b3、证明:设交点坐标为(xyx2y2axy 0x2y2a2x2yy0yyx2y2a在(xy处切线斜率
y
x0yxy
bybyx xxyb在(xy处切线斜率
y
x 0又kkx0b
1 x 0两切线相互垂直4、设tx
tan
x两边对tsec2
dx
140
7cos2x500m
4x500m
d
7125
5f(x)
f(xh)f(x)
f(x)f(h)f(x
f(x)f(h)f(x)f(0)
f(x)f(h)ff(x)f(0)
f
6y3x26x1k3x26x1
y33(x1)
3xy6
k12 2
y31(x1)
,即3yx8
第三单元1、limxlnx 2、函数fx2xcosx在区 单调增3、函数fx48x33x4的极大值 4、曲线yx46x23x在区 5、函数fxcosx在x0处的2m1 多项式 6、曲线yxe3x的拐点坐标 7、若fx在含x0的a,b(其中ab ,则fx0fx在a,b上的最大值8、yx32x1在,内 个零点9、limcot1
sin1
1) x10、lim
x2
xtan
) 11、曲线yex2的上凸区间 12、函数yexx1的单调增区间 1f(x
f
f
f(x) (A)(B)0(C)-1;(D)-22f(x)(x1)(2x1x,则在2
内曲线f(x) 3、f(x在(a,b内连续,x0a,b),f(x0)
f(x00
f(xx
(C)一定有拐点(x0,f(x0))
f(x在ab上连续,在(a,b内可导,则Ⅰ:在(a,bf(x0与Ⅱ:在f(x)
f(a)之间关系是 5f(xg(x在abf(x)g(x)0f(x)g(x当axb时,则有
f(x)g(x)(A)f(x)g(x)
f(a)g(a) (B)f(x)g(x)
f(b)g(b)(C)f(x)f(a (D)g(x)g(a)
f
f6、方程x33x10在区间(,)内 7f(xx0f(0)0
f
2x处f(x) (B)可导,且f'(0)0
x01cos f(xf0)0
f"(x)1,则 |x(A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值(C)(0,f(0)y
f(x)的拐点 (D)f(0)不是f(x)的极值点9、设abf(x)0f(x在[ab上连续,在(abfx(a,b)内 (A)只有一实根;(B)至少有一实根;(C)(D)2 1(A)f(x)x2 (B)f(x)|x|1(C)f(x)1x2 (D)f(x)x22x111、函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x)0是函数f(x)在(a,b)内单调 12
yf(xy"y'esinx0fx)0
f(x) 0(A)x0的某个邻域单调增加 0(C)x0处取得极小值; (D)x0处取得极大值。
xxarccosexesinarccos
(2)
;ln
2x0xln(12
xarctan(5)
(6limlntan(ax)
x0ln、设bae,证明abba、当0x
时,有不等式tanx2sinx3x23、已知yx3sinx,利用公式求y(6)(0)4、试确定常数anx0axn与ln(1x3x35f(x在ab上可导,试证存在(ab1b1b
2
f f
3f(
f(6、作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V最小,并求出该体7
f(x在[0,1f(0f(10
F(x)x3f(x内至少存在一个F"'()0第三单元11、
limxlnxlimlnx
lim(x)
x0x
x0
2、 f(x)2sinx0f(x)在(,)上单调3、
f(x)24x212x312x2(xx2f(x)0x2f(x)极大值为f(2)4、 y4x312x3,y12x21212(x1)(xx1y0x(1,1y0x1,y曲线在(1,1)上是凸5、11x21x4
6、23
2e23
ye3x3xe3xe3x(13x),y3e3x(13x)3e3xe3x(9x6)9e3x(x3y0x2x2y0x2y x2y2e2拐点为2
2e2 37、f(x0
f"(x)
f(x)f(x0)
f(x)0
f(x)
x
xx0x
xxx0f(x0)0,f(xxx0f(x0,f(x8、
y3x220,y在(,x
y
y.在(,19、 原式
cosx(xsin2
xsin3
1cos2
1
xsin
110
tanx2
tanx3
sec2x2
1
tan22
1 x0
tan
3 11
2 22
y2xex2,y"22x)2ex2
y"0x 2,当2x
2 2时,y"0y0
2 2 12、 函数yexx1的定义区间为(,),在定义区间内连续、可导yex1,因为在(0,y0yexx1在(0,1、选
x
f(x)x
f(x)1
f(x)
(2(B)当x 时,f(x)0(2
f(x)4x14(x1)4
x(2
f(x在2
3
f(x)x3
f0)f"(0)0,x0f(x)x3f(x)x4f0)f"(0)0x0f(x)x44、选(C)f(x在(a,bf(x)0的充分必要条件是在(a,bf(x)C(C常数f(x在[ab内连续,所以C
f(a,即在
f(x)
f(a5、选(C)由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[f(x)]0
f(x)xf f g(x) f 令f(x)x33x1,则f(x)3x233(x1)(x1);当x1时,f(x)0,f(x)单调增加,x(1,1f(x)0,f(x单调减少x1,f(x0f(x单调增加.f(1)3f(1)1
f(x),
f(x)7、选(D)f(x
f
20
f
0(x0的某空心邻域x01cos 1cos由1cosx0f(x)0f(0f(xx08、选(B)由极限的保号性:
f"(x)10|x
f"(x)0(x0的某空心邻域;由此f"(x)0(在|xx0的某空心邻域f'(xf0)0f'(xx0由负变正,x0是f(x)的极小点。9、选(B)尔定理保证至少存在一点(a,b)使f'()010、选(C,Af(xx0不连续,Bf(xx0处不可导,Df(1f(111、选(Byx3在(,f00 12、选(Cfx)0y"(xesinx0y'(xe 1
0f(xx0
xxarccos11arccos1111
1
1
2x1
(csc2
limlncotx
cot
lim
xsin
1
ln
x
exesin2
esinx(exsinx3
xsin3
1cos 2x0
1
lim11ln(1xlimxln(1x)
1
]x0
1
2
limxarctanx
1
1
1
x03x2(1x2 sec2(ax)
tan(bx)sec2(ax)2
sec2(bx)
tan(ax)sec(bx)
bxsec2(ax)1x0axsec2(bx)2、(1)abbablnaaln令f(x)xlnaalnxf(x在[a,bf(x)lnaax
xf(x在[a,b上单调增加,f(b)
f得blnaalnbalnaalna0,即ab(2)令f(x)tanx2sinx3x在x )2f(x)
x2cosx3
cos2
cosxcosx3 cosxcosx31cos21f(x)0,f(x
2x
2
f(x)
f
即tanx2sinx f
f
3、解:公
x
3而sinxxx3
55x(1)
(2m
o(x2my
sinxx4x66
x88对比x6
f(6)(0)1
f
(0)6!
anxn
ann 4
3
(1x)]x0ln(1x)
x01
n6,an1a5
b3f(h)a3f(a)b
F(x)x3f(x)F(x在[a,b(a,bF(bF(a)F(bb3f(h)a3f即b
f(
3
1b1b即f
f
[3f(
(6、解:设圆锥的高为hRh
rh2h2
hrh
VRh32
3h2
(h 1hr2(2h4rdV12hr
(h2r)hr3(h2r)2
(hdV0唯一驻点h
16r2r2 所以,当h4r时,体积最小,此时V 3
4r
37、解:F(xFxF"(xF"'(x在[0,1F(0F(1尔定理,
(0,1F'(0F'(03x2f(xx3f'(x
0,可知1F'1
在[0,1]上满 定理,于是2(0,1),使F"(2)0,F"(0)6xf(x6x2f'(xx3f"(x|x00Fx)在[0,2上再次利用定理,故有(0,2)(0,1)(0,1)F"'()0。
第四单 不定积1x
xdx 3、(x23x2)dx 4、 dx= cosxsin5、 = 6、 tdt t 8、arctanxdx 9、1sin2x 10、xf(x)dx x11、 dxx(x12、x22x5 1、对于不定积分fxdx,下列等式中 (A)dfxdx
fx;
fxdxfx;
dfx
f
d fxdxfx2、函数fx在,上连续,则dfxdx等于 (A)f
;(B)f
;(C)fx
;(D)fxdx3、若Fx和Gx都是f
(A)FxGx0 (B)FxGx05(C)FxGxC(常数);(D)Fx+GxC(常数)。4、若f(x3)dxx3c,则f(x)( 565
(B)5
(C)(D)5、设f(x)的一个原函数为xlnx,则xf(x)dx (A)x2(11lnx)c(B)x2(11lnx)c (C)x211lnxc(D)x211lnxc 6、设f(x)dxx2c,则xf(1x2)dx (A)2(1x2)2c(B)2(1x2)2c(D) ex1ex
dx 1(A)ln|ex1|c (B)ln|ex1|c(C)x2ln|ex1|c; (D)2ln|ex1|xc。8、若f(x)的导函数为sinx,则f(x)的一个原函数是( (A)1sinx (B)1sinx (C)1cosx (D)1cosxF'(x)f(x),f(x为可导函数,且f(0)1F(x)xf(xx2f(x) (A)2x (B)x2 (C)2x (D)x2110
32x23x
dx (A)3x2ln3(3)xC (B)3x2x
(
x1C(C)3
3)xC;(D)3x 3)xC 11、3xexdx
11
3xexC
3xexC
3x
;
1ln
3xex12
sec21dx x x
C
C
C;(D)x
Ca2a2
dx
x1 x24x13dx
xarccos11
dx (4)
dxex1ln1ex(5)x
(6)
dx2fsin2xcos2xtan2x,当0x1fx3、Fx为fx的原函数x0时有fxFxsin22xF01Fx0,求fx。4A、B
Asin
fx的导数fx的图像为过原点和点2,0的抛物线,开口向下,且fx的极值为2,极大值为6fx
第四单 不定积分测试题详细解512x255
3xxdxx2dx
x2C5552
2x23
2dx3
x2Cx3、1x33x22x (x23x2)dx1x33x22xCx 4、sinxcosx
dx cosxsin
cos2xsin2cosxsinx(cosxsinx)dxsinxcosxC51tanxtt2tt
1cos
12cos2x
sec2xdx1tanxC2t6、2 t
tdt2 td
2
Ct7xcosxsinxt
xsinxdxxdcosxxcosxcosxcosxsinxCarctanxdxxarctanxdarctanxarctanxarctanxC9、ln(1sin2x
sin2x1sin2x
dx
2sinxcosx1sin2 dsin21sin2
xC10xf(xf(x
xf(x)dxxdf(x)xf(x)fxxf(x)df(x)xf(x)f(x)x11
2
x1 2
txt2原式
d(t21) (t2)
t222 2 d(t)2
2arctan(t)C
2
x1)22(1)2 222 x12、
1arctanx1C x22x (x1)2 1(Ddfxdx
fxC,dfx
(A(B(B
f(x)dx(C4、选(B)两边对f(x3)dxx3C2f(x3)3x2,f(t)3tf(x)
f(x)dx
3x3dx
9x35555、选(B)原式xdF(xxd(xlnxx2lnxxlnx2x2lnxxdxx2(1lnx1) 6、选
xf(1x2)dx1f(1x2)d(1x2)1(1x2)7、选
exex1dx
ex1 ex
dx1 e x2(ex1)exdxx2ex(ex1)x
(1
)dexx2x2ln|ex1|
exx2ln|ex1|8、选(B)f'(x)sinx,f(x)cosxC1f(x)2的原函数为f(x)dxsinxC1xC,取C10,C21B。9、选(C)F(x)xf(xx2F'(x)
f(xxf'(x2xF'(x)
f(xf'(x)2f(x)2dx2xCf(0)1,所以C1,f(x2x132x2 dx3x2 11、选(B)3xexdx(3e)xdx 11
3xC2。
sec21dx xa2a2x
dx1 2
dx4x1ln(x24x13)1arctanx 11xarccosxdx11111111
arccosxxCexex
ex
t,则x
ln(t21)(t2得t
2tdtt212
1)dt2t
1)2t212tln(t21)4(tarctant)ex12ex1xex1
Cex1xsin2xdxx1cos2xdx1xdx1xex1 1x21xdsin2x1x21xsin2x1cos2xC
e 解:
dxln(1e)d(e)
)1exe
)
1ex1 exln(1exxln(1exC2
x)cos2x
x12sin
sin2x f(x)12x
1
2x
x
xsin2 f(x) f(x)dx(2x1)dxx2ln|x1| xx2ln(1x)3f(x)F(x)sin22x2f(x)F(x)dxsin22xdxF(x)dF(x)1cos2F2(x)x1sin4x x1sin4x4F(0)1知C1Fx1sin4x4f(x)F(x)
1(x2
1sin4x4
2(1cos4
(12cos
Asin 12cos
12cos
1B2Bcosxdx (12cos
Asin 12cos由不定积分的定义:有
Asin
)1B2Bcos12cosAcosx(12cosx)2Asin2x
(12cosAcosx2A1B2Bcos即(12cos
(12cos (12cosA 2A1BA3B3(也可直接两边求导求解5、解:设f(x)ax2bx (af(0)0c0f(204a2b0bf(x)ax2f(x0x10x2f(x)2axf(02a0,x0为极小值点,f(0)f(2)2a0,x2为极大值点,f(2)3f(x)f(x)dx(ax22ax)dxax3ax23由
ac c f(x)x33x2第五单元1、4(1sin2x)dx 442、 1xdx 43、4sin3xdx 014、1arcsinx105、 dx 0x26、21x2dx 0
f27、设fx在,上连续,则dxf2
3fx1ftx8、设在 上连续,且x2 3fx1ftx
,则 1ln。9、e31ln。1 10 xx22sinxx43x21
1
cosxdx a12、f'(x)dx ,bf(2x)dx a13
1sinxdx 1、lim
nn
n
nn(A)0;(B)e (C)ln2 (D)1 2、若fxdx0sintxdt,则fx等于
sin
1cos
sinx (D)03、定积分2xxexdx的值是 (A)0 (B)2 (C) (D) 114、设fu连续,已
n0
0(A)1/4 (B)1 (C)2 (D)45、若连续函数fx满足关系式fx2xftdtln2,则fx等于 2(A)exln2
e2xln2
exln2
e2xln2116M2
cos2xdx,N2
(sinxcos2x)dxP2
(x4sin5xcos2x)dx则有 (A)NPM(B)MpN(C)NMP(D)PMN7f(x)
2xx
)dt,g(x)
xx0f(xg(x(B)(C)(D)8f(xF(x)
ee
f(t)dt,则F(x)等于 (A)exf(ex)2xf(x2);(B)exf(ex)f(x2)(C)exf(ex)2xf(x2 (D)exf(exf(x29f(x在闭区间[abf(x0,则方程xf(t)dtx1dt bf在开区间(ab内的根有((A)0个 (B)1个;(C)2个;(D)无穷多个10、设f(x)连续,则dxtf(x2t2)dt( dx(A)xf(x2 (B)xf(x2 (C)2xf(x2 (D)2xf(x2111、设f(x)是连续函数,且f(x)x20f(t)dt,则f(x) 1(A)x1; (B)x (C)x1; (D)x1xcost12、lim
(C)1; 0(1)2x34x2dx (2)40
xdx
2xarcsinxdx 1112xsin2
22 2cosdx;xln(1x(5)lim
(6lim 2fxx12的邻域内可导,且
fx0,
fx997, x
3fxxlntdtx0fxf111
x4、证明方程lnxe
1cos2xdx在区间0,内有且仅有两个不同实根5、已知fx在0a上连续,且f00,证明0Mmaxfx
fxdx
2
6fx在0,1上连续,定义gxxftdthxxxtftdtx0,1 hxxgudu,并求hx0
第五单元
1cos
3
11、
)dx
4dx
4cos23
411sin2x|4
2 24 44 42 2
4242111
2、(5222
1xdx
(1x)2d(1x)
(1x)2|42
(52225 5 3
4sin3xdx0
4(1cos2x)dcosx0
cos3x|030
cosx|4 0 0 1arcsin
2
1 104、10
dxarcsinxd(arcsinx)2(arcsin
|022)8
dx1
dx21ln|x21
1ln210 0x2 20x2 1026、 21x2dx2x22x1dx1x3x2x23 3
7、 两边求导:2xf(x22)1,343
x2f(2141e ex1x1ln
ee
2d(1ln
e2 2
(1
)dxlnx
1 1ln(x2
x 2lim(lnx x21)01ln21ln2 2sinx(x43x2 10、
1
cosx]dx20cosxdx2sinx011f(x
,1[f(2b)f(2a)]f'(x)dx
f(x) bf(2x)dx令u f du f(u)| [f(2
2(sinxcosx)222(sinxcosx)222
|sinxcosx|02(cosxsinx)dx
cos 2[(sinx x2(cosx x
222
cos2)
sin2)|2
1n
101n01lim1(
)
1ln(1x)1ln1n
1n
1n
1n
12、选(A)f(x)
sin(tx)dt
dcos(t
sin3、选
dx2(|x|x)e|x|dx
xx00
022xexdx2xex|22ex|22e24、选(D)n1xf
令2x
0f(t)1dtn
00n
0 4
f(x)2f6、选(D)M0N022cos2xdx0P022cos2xdxf
x2xx2
22cos 7、选
lim lim
2x0g(x) x0
8、选
F'(x)
f(ex)(ex)'f(x2x2exf(ex2xf(x2x9、选(B)F(x)x
f(t)dt
xdtxfF(a)a1dt0,F(b)bf(t)dtbF(x)
ff(x)
1f
F(0xxtf(x2t2)dt1xx
x2t2f(x2t2)d(x2t2)
2011x2f(u)du 011x
f 2 2 21 由此,2dx0f(u)duxf(x 11、选(A)0f(t)dtaf(xx20f(t)dt。为求常数a10到1的积分得axdx2a,解得axdx1f(x)x111 xcost 12、选
limcosx1
(1)解:2x34x20
x2sint28sin3t2cost2costdt322(cos2x1)cos2tdcos05
cos5x
1cos3t)01301
4(2)x|x4(2)x|x|dx
4x|x|dxx2dx4x|x|dxx2dxx242
1xarcsin1122
dx
112
1 arcsin12
x21 36
2(xcos2x)2dx2
2(x22xcos2xcos4x)dx2
2(x2cos40
1cos
10 x32220
)2dx
2(12cos2xcos22
1x020
1sin2x020
1x040
1sin4x|203 03
8 limsinx1。
x解:lim0ln(1t)dtlimln(1x)lim 1。x
x02(1 2
x tfx
f
xf
12
xx123(12x
12f(u)duxf(x)limf(x)f(x)xfxxx
x 1299761 1ln
xln 3
f(x)11t t
1(u21xu1xx x
du
du
x1u2x
1u(u
1t(tf(x)f(1)xlntdtxlntdtx[lntlnt 11 1t(t 11 t(txlntdt1ln2t|x1ln2220 220
4、解:
1cos2xdx
2sin2xdx
0sinxdx
2令f(x)lnxx 则f(x)11e2e令f(x0
x
在(0ef(x)0f(x单调增加.在(e,f(x)0f(xx
f(x)lim(lnx
x)e
x
f(x)lim(lnx
e2 2f(x在(0e内有且仅有一个零点,在(e, 即方程lnx
1cos2xdx在(0, 5|f(x)dx||
f(0f()x]dx|其中0 a a
|
f()xdx2
f()|0||
f()2 6、解:h(xx0f(t)dt0tfh(x)xf(t)dtxf(x)xf(x)g(x)0xx0h(x)dx0xx0h(x)dx0即h(x)|x h(x)h(0)
x x而h(0) h(x)0x
h(x)g(x)f
第六单元定积分的应1、由曲线yex,ye及y轴所围成平面区域的面积 。2、由曲线y3x2及直线y2x所围成平面区域的面积 3
y
1x2,y1,x1,x1所围成平面区域的面积 。4、由曲线yex,yex与直线x1所围成平面区域的面积 。5、连续曲线yf(x),直线xa,xb及x轴所围图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积v ,绕y轴旋转一周而成的立体的体积v 6y24axxx(x0所围成的图形绕x 7、渐伸线xa(costtsint),ya(sinttcost)上相应于t从0变到的一段弧长 8、曲线yx3x22x与x轴所围成的图形的面积A 9、界于x0,x之间由曲线ysinx,ycosx所围图形的面积S 10、对数螺线rea自0到的弧长l 114(1cos和直线0,2 1、曲线ylnx,ylna,ylnb(0ab)及y轴所围图形的面积A( ln
eb
lnb (A)lnalnxdx;(B)eaedx;(C)lna2、曲线r2acos所围面积A(
dy;(D)ealnxdx(A)2
(2acos)2d;(B)
1(2acos)2d10 1(C)
2
(2acos)2d (D)22
1(2acos)2d10 03、曲线rae及,所围面积A( 12
2a2
2
a2(A)20a
d;(B)
2ed;(C)a
d;(D)2
d4、曲线yln(1x2)上0x1一段弧长s 21 11 12(A)01
00
dx (B)011
2dx(C)0
11
2dx (D)
1ln(1x22dx5、双纽线(x2y2)2x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为 (A)24cos2d (B)44cos2d0(C)
11cos2d;(D)4(cos2)2d 26、yx2,xy2绕y轴所产生的旋转体的体积为 3(A) (B)3
(C)2 (D)343y
x2上相应于x从a到b的一段弧的长度 3
(b3a3) 3
(b3a3)3
[(1b)2(1a)2]; 3
[(1b21a2]98、曲线ysinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2y22的周长的 (A)1倍; (B)2倍; (C)3倍; 1yx24x3及其在(0,3和(3,02、求双纽线r2a2sin23ycosxsinxy0(0x
x44xa(tsintya(1costy0x5、求心形线ra(1cos的全长,其中a06yx
x2y2x第六单元1、
yexyey轴交点为(1e0,1x 1S 10
)dxex|1
002、 y3x2与y2x交点为(3,6),(1,2),取x微积分变量003S1[(3x22x]dx3x1x3x2 32
x x13、 S(11
1x2)dx1dx
1x2dx21
1x2d(1x22
12
3(1x22|12
24、ee1
0
xex)dxexex]1ee1205b[f(x)]2dxb2xf(x)dx0 6、 Vx0y2dxx04axdx2ax2 7、a dxatcost,dyatsin S (atcost)2atsint)2dtatdt 2 8、 yx(x1)(x2),零点为
0,
2A0x3x22x)dx2(x3x22x)dx379
2A2
|sinxcosx|2 24(cosxsinx)dx4(sinxcosx)dx5(cosxsinx)dx0 011a10a
S
r2()r'2()d0
(ea)2(aea)2
1a2ead
(ea1111 由4(1cos)得x4(1cos)cos,y4(1cos)sin,0
Vy2dx0
016(1cos)2sin24(sin2sincos642(1cos)2sin2(12cos)d1600b1、选(CxSa(lnblnaa(lnblnx)dxySlnbeydyln(D20A 202
(D
dA1(ae21a2e2 A1a2e2d 112x12
11(B
S0
1[ln(1x2)]'2dx0
dx01
2dx(A其在第一象限部分的变化范围是:
]41 S
4
42d2
4cos2d01(B1 Vydy(y2)2dy(
y21y5)3
(C
yx2从而弧长元素ds
1(x2)2dx
1xdxb22 b22s1xdx(1s1xdx(1x)2]b[(1b21a28、选(ALysinxL为椭圆2x2y22 110
1y'2dx0
1cos2xdxxy
(02 则 (sin)2(2sin)2dx 1cos2xdx从而有L=L 1y4x3y2x6,其交点坐标是2
S2(4x3)dx3(2x6)dx(x24x3)dx 4 42 2S20
r2d2a2sin2da2 3、解:V4(cosxsinx)2dx4(12sinxcosx)dx 04、解:V
a2(1cost)2d[a(tsint)]a30
(1cost)3a30
(13cost3cos2tcos3t)dt52a3r()2r()2r'(ds
da
d2a|2
|drr(a(1cos)2为周期,因而的范围是[0,2。又由于r(r(s2ds(4acosd8a 6yxx
x1yx
1x1x2xA2(x12)dx(1x2lnx2x|2ln21 7xxx[RR]xx面面积为A(x) 3(R2x2RR 4 于是VA(x)dx 3(R2x2)dx23(Rx)RR 4
第九单 重积1、设,为常数,则fx,ygx,yd D2、区域D由闭区域D1,D2构成,则fx,yd D3zfxy在闭区域D上连续,DD上至少存在一点,使得fx,yd D4、计算xyd ,其中D是由直线y1,x2,yx所围D5、设 1xyd D
的直边梯形,计算 22 22 2
fdx xduufvdv xydxdy x2y2 fx2y2,arctanydxdy x xx2y22 D
x2y2dxdy (Dx,y1x2y24,y8、二重积分ex2y2dxdy ,其中D是由中心在原点Dafxyzdv ,zx2y2z1r2x2y2fx,y,zdv ,r2x2y210、区域为三坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域,则三重积分 1、DDDDx2y21
x2yd(A)x2yd;(B)x2yd;(C)x2yd 2、Dx,yx2y21,x1,则x2y2d
22112
x2
y2
D112
x2
1(C)1
1x222
;(D)
1221dx
y
1 112
yx2y2 ,x2y2z121则fx,y,zx2y22222
fx,y,zdxdyx2
fx,y,zdxdyx2
fx,y,zdxdy
fdxdy
202x2y22
21x2y2221
x24、x2y2z21,则
x2y2z2dxdydz
2dd13sind
2d2d13sindx2y20000005、由不等式确定:x2y2z21,z ,则zdxdydzx2y200000011
dxdyx2121x2x121x2
zdz
x2 1
(C)d2dr
zdr;(D)d4d
0 、设有空间闭区
x,y,zx2y2z2R2,z021x,y,zx2y2z2R2,x0,y0,z0,则有 21
xdv4xdv;(B)ydv4ydv
zdv4zdv;(D)xyzdv4xyzdv 7DxyaxaxyD1x,y0xa,xya。则xycosxsinydxdy D
1、设区域Dxyx
y1,计算exydxdyD2、计算xydxdyDy2xyx2所围成的闭区域D3x2y2xdxdyDyxy2y2xD闭区域4、计算ex2y2dxdyDx2y24所围成的闭区域D1y25、计算x2y2dxdyD1y2D
y1x1闭区域x2y26、求锥面z 被柱面z2x2y27x2y2R2x2z2R2所围立体的表面积8xdxdydzx2yz1域9、z2dxdydzx2y2z21x2y2z121所围成的闭区域10、计算三重积分zdxdydz,其中zx2y2z4所围成的闭区域2x2x11y0所围成的闭区域
x2y2dxdydzy
z0,z1,12、计算三重积分x2y2z2dxdydz,其中x2y2z21区域
y z2
z213、计算三重积分a2b2c2dxdydz,其中a2
1 的闭区域
第九单元1、设为常数,则fx,ygx,ydfxyd 2DD1D2构成,则fxydfxydgx 3zfxy在闭区域D上连续,DD上至少存在一点,使得fxyd=f,D4xyd9Dy1x2yxDD
2x 1xydD 2 1y2
fdy0dy2
fdx2
fdx0 2vxduufvdvxv
fvdu xydxdy2d x2y2x2y22
fx2
ydxdyxx
22
20
2,d
x2y2dxdy2d2ed D8、二重积分ex2y2dxdy1ea2,其中D是由中心在a的圆周所D分析:0a 02
2
12
1 a2
a2原式0
dd
d 1a a
d1
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