自动控制原理第二章

2023/1/91《自动控制原理》第二章数学描述有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；

苦心人天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。

——清·蒲松龄自勉励志联

2023/1/92《自动控制原理》第二章数学描述第二章线性系统的数学描述引言2.1线性系统的时域数学模型2.2传递函数2.3结构图2.4信号流图2023/1/93《自动控制原理》第二章数学描述引言数学模型的含义数学模型：用数学的方法和形式表示和描述系统中各变量间的关系。分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型，即建模（modeling）。2023/1/94《自动控制原理》第二章数学描述静态模型和动态模型静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化缓慢，其对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量间的关系称为静态关系或静态特性，系统称为静态系统。相应的数学模型称为静态模型。静态模型中不含有变量对时间的导数。动态关系或动态特性：系统变量对时间的变化率不可忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型。控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学模型。2023/1/95《自动控制原理》第二章数学描述控制系统中常见的三类数学模型输入输出描述，或外部描述用数学方式把系统的输入量和输出量之间的关系表达出来。微分方程式、传递函数、频率特性和差分方程。图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信号流图进行描述（2.3和2.4节）。2023/1/96《自动控制原理》第二章数学描述状态空间描述，或内部描述不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性它特别适用于多输入、多输出系统也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍。2023/1/97《自动控制原理》第二章数学描述建立数学模型的两种基本方法机理分析法：也称机理建模法，依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。适用于比较简单的系统（如简单的电气系统）实验辨识法：人为地对系统施加某种测试信号（如阶跃信号），记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。该方法称为系统辨识。适用于复杂系统（如复杂的工业过程）2023/1/98《自动控制原理》第二章数学描述数学模型的概括性许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性。数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。模型的高度概括性有利于提高控制工作的效率。2023/1/99《自动控制原理》第二章数学描述由数学模型确定系统性能的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换s=jω频率特性2023/1/910《自动控制原理》第二章数学描述本章将重点讨论以下几类控制系统模型微分方程单位脉冲响应传递函数方块图（结构图）信号流图2023/1/911《自动控制原理》第二章数学描述2.1线性系统的时域数学模型目的：从时间域角度，建立系统输入量（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应描述。2023/1/912《自动控制原理》第二章数学描述线性系统的微分方程描述（机理建模法）SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式(2-1)式中

r(t)：系统的输入信号；c(t)：输出信号；

ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由系统的结构参数决定的系数。

2023/1/913《自动控制原理》第二章数学描述结论：控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数；很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分；这种微分方程又称为动态方程或运动方程；微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。2023/1/914《自动控制原理》第二章数学描述列写系统微分方程的步骤划分不同环节，确定系统输入量和输出量；写出各环节（元件）的运动方程；消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程；化为标准形式（式2.1）。2023/1/915《自动控制原理》第二章数学描述例2-1：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。

解设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程

2023/1/916《自动控制原理》第二章数学描述

消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程

(2-2)式也可以写为其中：T1=L/R,T2=RC。这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统称为二阶线性定常系统。

(2-3)(2-2)2023/1/917《自动控制原理》第二章数学描述例2-2：图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。

2023/1/918《自动控制原理》第二章数学描述

解

理想运算放大器正、反相输入端电位相同（U+≈U-），且输入电流为零（I+≈

I-≈0）。整理后得或者为式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统的微分方程，这是一个一阶系统。(2-4)(2-5)由基尔霍夫定律2023/1/919《自动控制原理》第二章数学描述例2-3:图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。外力f(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的微分方程。

2023/1/920《自动控制原理》第二章数学描述

解根据牛顿运动定律，系统的运动方程为，

或写成

思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论？(2-6)(2-7)(2-3)即2023/1/921《自动控制原理》第二章数学描述例2-4：图2-4表示一个单摆系统，输入量为零（不加外力），输出量为摆幅，即角度θ(t)。试建立系统的的运动方程。图2-4单摆运动示意图2023/1/922《自动控制原理》第二章数学描述解对于图2-4所示的单摆系统，根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程

显然方程(2-8)是一个二阶的非线性微分方程，但在摆幅较小的情况下sinθ≈θ，单摆运动方程可以认为是线性的(2-8)(2-9)2023/1/923《自动控制原理》第二章数学描述例2-5:如下图所示的机械位移装置。外力F(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的微分方程。

2023/1/924《自动控制原理》第二章数学描述解以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如右图所示。根据牛顿运动定理可得整理得

（*）（**）2023/1/925《自动控制原理》第二章数学描述例2-6:建立下图所示RC电路系统的微分方程。其中电压ur(t)为输入量，uc(t)为输出量，电阻R1、R2

和电容C均为常数。

（习题2-2(a)）

2023/1/926《自动控制原理》第二章数学描述解由电流关系可写出可得微分方程2023/1/927《自动控制原理》第二章数学描述相似系统和相似变量数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量;根据相似系统概念，一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中，提高了工作效率;可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统。2023/1/928《自动控制原理》第二章数学描述弹簧阻尼系统机械旋转系统RLC串联网络力F转矩T电压u质量m转动惯量J电感L粘滞摩擦系数f粘滞摩擦系数f电阻R弹簧系数k扭转系数k电容的倒数1/C线位移y角位移θ电荷q速度v角速度ω电流i相似的物理系统2023/1/929《自动控制原理》第二章数学描述*非线性微分方程的线性化为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除了计算机数值求解外，没有一般形式的解析解，这给研究系统带来了理论上的困难；线性微分方程容易处理，理论比较成熟。2023/1/930《自动控制原理》第二章数学描述输出输入O(a)饱和输出输入O(b)死区输出输入O(d)继电输出输入O(c)间隙典型的非线性特性2023/1/931《自动控制原理》第二章数学描述1、对弱非线性的线性化对于(a)，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性；对于(b)、(c)，当死区或间隙很小时，也可近似为放大特性。2023/1/932《自动控制原理》第二章数学描述2、平衡位置的小偏差线性化考虑输入、输出变量之间的非线性关系y=f(x)，系统经常工作在平衡点A(x0,y0)处，则A点附近的输入、输出关系可用Taylor级数展开的方法得到，即当Δx很小时，可得上式是A点处的切线方程。采用平衡点A处的切线方程代替非线性方程y=f(x)，这就是小偏差线性化的几何意义。2023/1/933《自动控制原理》第二章数学描述若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平衡点展成Taylor级数后的线性方程为经上述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系表示，简化问题研究。但是对于强非线性情况（如图(d)），不可能对其进行线性化处理，只能采用非线性理论来分析。2023/1/934《自动控制原理》第二章数学描述二、*实验辨识法建模——单位脉冲响应描述实验辨识法：利用输入(如阶跃、脉冲、正弦等信号)、输出的实验数据建立系统数学模型的方法辨识前提：系统是线性定常、零初始条件（t＝0时刻系统的响应及其各阶导数均为零）。则有

其中，c(t)和r(t)是系统的输出和输入（已知）。2023/1/935《自动控制原理》第二章数学描述辨识任务：确定算子H

（由系统本身的特性决定）。辨识方法：通过已知输入信号作用下系统的响应，来确定任意输入信号作用下系统的响应。优点：零初始条件下，内部结构未知的LTI系统，可以通过测量系统的输入及响应的实验数据，经过一定的处理求得其数学模型。2023/1/936《自动控制原理》第二章数学描述1、单位脉冲响应建模脉冲函数的概念单位脉冲响应：零初始条件下，LTI系统在δ(t)作用下的输出，即g(t)=H[δ(t)]。如果输入信号为Aδ(t-τ)，则系统脉冲响应为Ag(t-τ);进一步，将作用在系统上的任一分段连续函数用一系列长方形常值脉冲信号叠加，即2023/1/937《自动控制原理》第二章数学描述2023/1/938《自动控制原理》第二章数学描述则零初始条件下LTI系统在任一输入r(t)作用下的响应可近似表示为如果脉冲宽度足够小，即ε=dτ，并将和式取为积分式，则有如下卷积公式（convolutionintegral）其中,τ是输入作用的时刻，t是观测系统响应的时刻。对于t<τ，根据因果系统和零初始条件的约定有g(t-τ)=0(τ>t)，所以有

作变量代换，可得到卷积公式的另一种形式

结论：(2-1)、(2-10)、(2-11)均为LTI系统的时域模型且等价。(2-10)(2-11)2023/1/939《自动控制原理》第二章数学描述2.2传递函数transferfunction为什么要研究LTI系统的传递函数表示？Laplace变换的回顾传递函数的定义建立LTI系统传递函数模型的两种途径：微分方程、卷积公式传递函数特点和有关概念2023/1/940《自动控制原理》第二章数学描述一、为什么要研究LTI系统的传函表示？微分方程方法的特点：

1）微分方程是系统的时域数学模型，它提供了分析问题的全部信息。给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

2）微分方程方法很直观，借助计算机可以快速、准确求出方程的解。

3）但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。2023/1/941《自动控制原理》第二章数学描述拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）是求解线性常微分方程的有力工具，它可以将时域的微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以得到控制系统在复数域的数学模型——传递函数。传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特性，而且可以间接反映结构和参数变化对系统输出的影响。2023/1/942《自动控制原理》第二章数学描述从卷积公式建立系统的数学模型首先要确定系统单位脉冲响应的解析函数描述——g(t)。而实验得到的只是单位脉冲响应的曲线或各采样时刻的值，将这个曲线或采样序列转化为连续时间函数是很复杂的。经典控制理论中广泛采用的频域法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。2023/1/943《自动控制原理》第二章数学描述二、Laplace变换的回顾1、拉氏变换的定义若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e-st（其中

s=σ+jω是一个复数），并且在[0,+∞]上对t积分，就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为f(t)的拉氏变换，并用符号L[f(t)]

表示。通常将F(s)称作的f(t)象函数，将f(t)称作F(s)的原函数。2023/1/944《自动控制原理》第二章数学描述2、拉氏变换的基本性质线性性质微分性质：若初始条件成立，则积分性质初值定理终值定理移位性质延迟性质卷积性质2023/1/945《自动控制原理》第二章数学描述教材P2872023/1/946《自动控制原理》第二章数学描述单位阶跃指数函数几种常见函数的拉氏变换2023/1/947《自动控制原理》第二章数学描述单位脉冲函数(L’Hospital’srule)2023/1/948《自动控制原理》第二章数学描述正弦函数上帝创造的公式欧拉公式2023/1/949《自动控制原理》第二章数学描述三、传递函数（TF）的定义线性定常系统的传递函数，定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2023/1/950《自动控制原理》第二章数学描述四、建立LTI系统传递函数模型的两种途径从卷积公式角度建立TF模型从微分方程角度建立TF模型2023/1/951《自动控制原理》第二章数学描述1、从卷积公式角度建立TF模型对卷积公式(2-10)进行拉氏变换，有

即称G(s)为系统的传递函数。2023/1/952《自动控制原理》第二章数学描述结论：传递函数是单位脉冲响应的拉氏变换（单位脉冲响应函数在拉氏变换下的象函数）。传递函数是零初始条件下，线性定常系统输出拉氏变换和输入拉氏变换的比。2023/1/953《自动控制原理》第二章数学描述2、从微分方程角度建立TF模型设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述：

如果系统满足如下零初始条件

2023/1/954《自动控制原理》第二章数学描述

则根据拉氏变换的定义和性质，对微分方程进行拉氏变换，并令C(s)=L[c(t)]、R(s)=L[r(t)]，从而可得

由传递函数的定义可得其中，M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。2023/1/955《自动控制原理》第二章数学描述五、传递函数的特点和有关概念传递函数概念只适用于线性定常系统，该概念主要适用于单输入、单输出情形传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是复变量s

的有理真分式函数传递函数与线性常微分方程一一对应传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质（物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数，如例2-5与例2-7）传递函数的三种表述形式传递函数的特征方程、零点和极点2023/1/956《自动控制原理》第二章数学描述传递函数的结构和各项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构；与输入信号的具体形式和大小无关；只反映了输入和输出之间的因果关系；不反映系统的任何内部信息。2023/1/957《自动控制原理》第二章数学描述对于多个输入、一个输出的LTI系统在求传递函数时，除了指定的输入量以外，其它输入量（包括常值输入量）一概视为零。对于多输入、多输出LTI系统求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统的传递函数矩阵。2023/1/958《自动控制原理》第二章数学描述控制系统的零初始条件有两层含义：一是指输入量在时才起作用；二是指输入量加于系统之前，系统输出的各阶导数均为零。2023/1/959《自动控制原理》第二章数学描述具有复变函数的所有性质；理论分析和实验都指出：对于实际的物理系统和元件而言，输入量和它所引起的响应（输出量）之间的传递函数，分子多项式M(s)的阶次m总是小于分母多项式N(s)的阶次n。这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性。它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号，只有经过一段时间后，输出量才能达到输入量所要求的数值，即一个实际的物理系统其能量是有限的，并且都有惯性。2023/1/960《自动控制原理》第二章数学描述传递函数分子多项式系数和分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应将微分方程的算符d/dt

用复数s置换便可以得到传递函数;将传递函数中的复数s用算符d/dt

置换便可以得到微分方程。可得s的代数方程例如，由传递函数用算符d/dt置换复数s，便得到相应的微分方程2023/1/961《自动控制原理》第二章数学描述分子、分母多项式形式零极点增益形式（常见于根轨迹法）时间常数形式（常见于频域法）传递函数的三种形式2023/1/962《自动控制原理》第二章数学描述N(s)=0系统的特征方程，特征根

特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次n

等于系统的阶次。传递函数的特征方程2023/1/963《自动控制原理》第二章数学描述M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点2023/1/964《自动控制原理》第二章数学描述六、典型环节（基本环节、基本单元）的数学模型为什么要研究典型环节的数学模型？任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。从数学角度讲，一切有理分式传递函数都是由这些基本单元组成的。典型环节通常分为以下八种。2023/1/965《自动控制原理》第二章数学描述比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节一般形式传递函数的典型化分解2023/1/966《自动控制原理》第二章数学描述注意：典型环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个典型环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。

比如：振荡环节由电阻、电容、电感三个元件构成2023/1/967《自动控制原理》第二章数学描述比例环节/放大环节比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为

式中K为增益。

特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2023/1/968《自动控制原理》第二章数学描述惯性环节惯性环节又称非周期环节，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为式中为T时间常数，K为比例系数。

特点：含一个独立的储能元件，对突变的输入，其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：直流伺服电动机的励磁回路、RC电路。2023/1/969《自动控制原理》第二章数学描述纯微分环节纯微分环节常简称为微分环节，其运动方程和传递函数为

特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。

实例：实际中没有纯粹的微分环节，它总是与其他环节并存的。实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数如下2023/1/970《自动控制原理》第二章数学描述积分环节积分环节的动态方程和传递函数分别为特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能；具有明显的滞后作用；可以改善稳态性能（提高系统的型别，减小或消除稳态误差，见第三章）。实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容充电、模拟计算机中的积分器等。2023/1/971《自动控制原理》第二章数学描述二阶振荡环节振荡环节的运动方程和传递函数分别为

式中ζ

称为振荡环节的阻尼比，T为时间常数，ωn为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率），且有T=1/ωn。

特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出将出现振荡。

实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械弹簧阻尼系统的传递函数。2023/1/972《自动控制原理》第二章数学描述纯时间延时环节

延时环节的动态方程和传递函数分别为

式中τ

称为该环节的延迟时间。

特点：输出量能准确复现输入量，但要延迟一固定的时间间隔τ。

实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。2023/1/973《自动控制原理》第二章数学描述

惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。

延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别

超越函数的近似处理2023/1/974《自动控制原理》第二章数学描述注意：一阶微分和二阶微分环节的特性基本上与惯性环节和振荡环节相反，而且不会单独出现，因此略讲。2023/1/975《自动控制原理》第二章数学描述典型环节及其微分方程和传递函数序号微分方程环节名称传递函数例1C=Kr比例环节K电位器、放大器、齿轮、自整角机2惯性环节RC电路，交、直流电动机3微分环节Ks测速发电机

4积分环节减速器5（ζ<1）震荡环节（ζ<1）RLC电路、弹簧质块阻尼系统2023/1/976《自动控制原理》第二章数学描述AnyQuestions2023/1/977《自动控制原理》第二章数学描述系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：①确定系统的输入量和输出量。②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并化为标准形式。2023/1/978《自动控制原理》第二章数学描述例：下图为由RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。RC组成的四端无源网络2023/1/979《自动控制原理》第二章数学描述

解：设回路电流i1、i2，由基尔霍夫定律，列写方程如下①②③④⑤2023/1/980《自动控制原理》第二章数学描述

由④、⑤得由②导出将i1、i2代入①、③，则有2023/1/981《自动控制原理》第二章数学描述这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。2023/1/982《自动控制原理》第二章数学描述例：试证明下图(a)和(b)所示的机、电系统是相似系统，即两系统具有相同的数学模型。

2023/1/983《自动控制原理》第二章数学描述(b)对电气网络，列写电路方程如下：解

(a)对机械网络，输入为Xr，输出为Xc，根据受力平衡，可列出其运动方程式③②④2023/1/984《自动控制原理》第二章数学描述利用②、③、④求出代入①，并将①两边微分得比较两个蓝色的公式，可知两个机-电相似系统2023/1/985《自动控制原理》第二章数学描述例习题2-2(a)

建立右图所示RC

电路系统的微分方程。

得微分方程应用复数阻抗概念（P18），有2023/1/986《自动控制原理》第二章数学描述例：求图2-30所示各有源网络