信号课件第七章

信号与系统沈庭芝第七章拉普拉斯变换连续时间系统的复频域分析

§7.1引言

§7.2拉普拉斯变换

§7.3拉氏变换的收敛域

§7.4拉氏变换的性质

§7.5拉氏反变换§7.7电路的S域模型§7.8系统的复频域模型及分析法§7.9系统函数§7.10罗斯—霍尔维兹稳定准则第七章拉普拉斯变换连续时间系统的复频域分析§7.1引言，

§7.2拉普拉斯变换1、拉氏变换的定义式：运用付氏变换法的重要条件是要求信号满足绝对可积条件，即。而许多信号并不满足此条件。例如：收敛因子是一个足够大的正值，就能使随时间的增长而衰减。正时域乘以之后就变成衰减的。(要求σ>0)得：求其反变换当从则从注意：①与付氏变换的区别从反变换：

分解为的和的和付氏是从拉氏是从②单边拉氏变换公式§7.3拉氏变换的收敛域问题：1、指数阶函数一个函数f(t)如果能找到实数α和β并满足则f(t)为指数阶函数只有像和等信号不是指数阶信号一般是遇不到的2、收敛域的问题①如果f(t)是有限持续期的信号，其收敛于是整个S域。∵f(t)是衰减的，本身就满足绝对可积条件∴收敛域是整个S平面全平面。②如果f(t)是一个右边信号，则F(s)的收敛域

为收敛域的左边界。③如果f(t)是一个左边信号，则F(s)的收敛域为一个收敛域右边界求法是：④当f(t)是一个双边信号时⑤X(s)的收敛域内不含极点。例1：

∴收敛域为整个右平面0例2：f(t)=求： 已求出求：01例3：∴双边拉氏变换不存在。024§7.4拉氏变换的性质1、线性性质若则但表示与收敛域的共同部分如果存在零点和极点相抵消的情况，可能收敛域将增大。2、时域平移：收敛域不变3、S域平移：例：-2Re2Re4、时间尺度变换若则例：已知 求的拉氏变换。解：5、时域卷积定理6、时域微分性质双边:单边LT:例：时单边£7、S域微分若则例：已知 则8、时域积分若则双边LT:

单边LT: 9、初值定理：当t<0时x(t)=0，而且在t=0时x(t)不包含任何冲激。则：用途：①不必要求反变换得到x(t)之后求可以直接根据上式求得 ②可以验证X(s)的正确性。注意：①此公式只适合于存在的情况下 ②无论是0+系统，0-系统，计算出来的全是0+。 例：试计算单位阶跃函数的初始值已知可只用初值定理验证的结果是一致的。10、终值定理若t<0时x(t)=0，t=0时x(t)不包含任何冲激则初值是终值是即条件：⑴存在，要是此式存在必然 要求sX(s)在右半平面和虚轴上无极点，因为有极点的话，信号要么无限增长，要么为等幅振荡。§7.5拉氏反变换拉氏反变换共有三种方法：①根据性质直接查表计算法②部分分式展开法③留数定理1、留数定理1）使N(s)=0的点为零点，使D(s)=0

的点叫做极点。把F(s)的全部极点都包含在内，则留数定理说明0ABC留数公式：A、当为F(s)的一阶极点时B、当为F(s)的p阶极点时例1：求的逆变换

为一阶极点为二阶极点留数法的优缺点：优点：直接得时间函数，有理无理皆可。缺点：计算困难，尤其有多重极点时，多项乘积求导数较困难。二、部分分式展开法1、以上x(t)的项函数X(s)的分母多项式D(s)，假如有n个互异的实根。则各系数：例1、A:分式的Roc应包含X(s)的Roc右边信号左边信号为则-3-10例2、求的原函数。解：3、当X(s)的分母多项式D(s)有共轭复根时如：

配方成的形式，然后再用比较系数法求出它的系数。例3、求的反变换。解：当s奇次项系数与偶次项系数相等时，必有s=-1的一个根。013比较：1）部分分式法只适用于F(s)为有理分式得情况。 留数法适用于F(s)为有理分式和无理 分式的情况。

2）部分分式法先求出各系数然后 得时间函数。 留数法：就有项，直接是时间函数，所以 无需再求反变换。3）在多重极点的情况下，部分分式法是求次导数，没有乘项，所以比较简单，而留数法是求导数，所以比较复杂。4）关于收敛域问题，对于同一个复函数X(s)不同的收敛域范围可以得到不同的时间函数，

σ>a，正时域函数，σ<b，负时域函数函数，为双边函数。§7.7电路的S域模型时域频域复频域+-L+-CLs+-冲激电压或初态不为零阶跃电流+-初态不为零+-或阶跃电压冲激电流而复频域为常数时间域为冲激复频域为时间域为阶跃电容：根据积分性质∴R在复频域中，复电压、复电流和电阻之间的关系为L在复频域中，复电压、复电流和电阻之间的关系为C在复频域中，复电压、复电流和电阻之间的关系为+-RLC+-+-RsL+-+-已知：U(t)作用于R,L,C串联电路求i(t)的完全响应解：零状态零输入零状态响应零输入响应§7.8系统的复频域分析法从付氏变换法到拉氏变换法付氏变换分析法有二个局限性：①信号必须满足狄里赫利条件，②系统必须稳定，另外大家经过计算付氏反变换是很困难的。拉氏变换法的步骤与付氏变换法的步骤一样①②③零状态解例1、解：对方程两边进行拉氏变换解得取它的拉氏反变换为例2、已知求：+-L+-第一方法：列时域微分方程，然后拉氏变换得到第二方法：复频域模型法由回路电流法然后求得：+-Ls+-+-第二种方法是直接画出电路的复频域模型图为此得到的相函数是一样的§7.9系统函数表示系统的性质，在时域是用h(t)，频域是用H(j

ω)，复频域是H(s)。1、用H(s)表示系统的因果性和稳定性。时域复频域因果系统：当是右边信号H(s)的收敛域在最右边极点以右。稳定系统：H(s)的极点应该在jω轴的左边因果稳定系统：H(s)的极点既在左边平面又在最右边极点以右，它的全部极点分布在S左半平面，H(s)的收敛域包含jω

轴。2、与的关系用零极点方法求0①求出H(s)的零点和极点，零点在分子，极点在分母。②对jω点求矢量，求出模和角，模分别乘除，角分别+-。③对从找n个特殊点，画出总的幅频、相频曲线例2、求电路的幅频相频特性+-+-1）写出H(s)的表示式一个零点：一个极点：2）求3）讨论1讨论§7.10罗斯—霍尔维茨稳定准则如果H(s)的分母多项式为

步序1：首先把该式的所有系数按如下顺序排成两行。

直至排到为止2、构成罗—霍序列②其余各行按如下公式计算如下

归纳一下为：③

构成的数列称为罗斯—霍尔维茨数列④顺序计算符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的根数。判据如下：用系统特征方程的系数，并经计算而构成的罗—霍数列中，若无符号变化则H(s)的全部极点在S的左半平面系统是稳定的