2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业2012年全国各地中考数学压轴题专集答案八、圆1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．AAO1CBO2EDFPQ图2AOAO1CBO2EDF图1图3AO1CBO2EDFPQ（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点AO1CBO2EDF∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AO1CBO2EDF∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC∴∠BO1F＝∠CO2F∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E∴△DO1F≌△FO2EAO1CBO2EDFPQG（2）解：延长AO1CBO2EDFPQG∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3eq\r(,2)∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3eq\r(,2)同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5eq\r(,2)∴CG＝6eq\r(,2)，∠GAB＝∠QAP∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG∵∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝4eq\r(,2)∴BG＝eq\r(,BC2＋GC2)＝2eq\r(,26)，∴PQ＝2eq\r(,26)（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3同理：∠2＝∠4AO1CBO2EDFPQMGH∴△AMQAO1CBO2EDFPQMGH同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上且∠DBH＋∠DAH＝180°∴∠5＝∠8，∠6＝∠7∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．AAECDOB解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)在Rt△BOD中，OD＝eq\r(,OB2－BD2)＝EQ\F(eq\r(,15),2)AECDAECDOB连接AB∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝eq\r(,OA2＋OB2)＝2eq\r(,2)∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点∴DE＝EQ\F(1,2)AB＝eq\r(,2)（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝eq\r(,4－x2)∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥ACAECDOBF∴∠1＝∠2AECDOBF∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°在Rt△DOF中，DF＝OF＝EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))在Rt△DFE中，EF＝eq\r(,DE2－DF2)＝eq\r(,2－EQ\F(4－x2,2))＝EQ\F(eq\r(,2),2)x∴y＝EQ\F(1,2)OE·DF＝EQ\F(1,2)(EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))＋EQ\F(eq\r(,2),2)x·EQ\F(eq\r(,4－x2),eq\r(,2))即y＝EQ\F(4－x2＋xeq\r(,4－x2),4)（0＜x＜eq\r(,2)）3．（上海模拟）BACNPM如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，BACNPM（1）求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP＝6eq\r(,5)时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．解：（1）过B作BD⊥AC于D∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径BACNPMDH∵cotA＝2，∴sinA＝EQ\F(eq\r(,5),5BACNPMDH又∵sinA＝EQ\F(BD,AB)，AB＝15，∴BD＝3eq\r(,5)（2）过P作PH⊥MN于H则PH＝EQ\F(eq\r(,5),5)x，PM＝BD＝3eq\r(,5)∴MH＝eq\r(,PM2－PH2)＝eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)∴y＝2MH＝2eq\r(,45－EQ\F(1,5)x2)即y＝EQ\F(2,5)eq\r(,1125－5x2)（3eq\r(,5)≤x＜15）（3）当AP＝6eq\r(,5)时，∠CPN＝∠A理由如下：当AP＝6eq\r(,5)时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5∵EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(9,3eq\r(,5))＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，EQ\F(PN,CN)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)，∴EQ\F(AM,MP)＝EQ\F(PN,CN)又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC∴∠CPN＝∠A4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．AAMCBDN解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接MEAMCBDNAMCBDNE∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30°∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°∵⊙M与∠BAD的两边相切∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90°∴在Rt△AMN中AM＝EQ\F(1,2)AN＝EQ\F(1,2)x∴ME＝AM·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),4)x即y＝EQ\F(eq\r(,3),4)x（x＞0）AMCBDNGF（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、AMCBDNGF则MF＝FD＝MG＝y且AF＝MF·cot60°＝EQ\F(eq\r(,3),3)y＝EQ\F(eq\r(,3),3)·EQ\F(eq\r(,3),4)x＝EQ\F(1,4)x∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),4)x＝4∴x＝8(eq\r(,3)－1)（3）作NH⊥BC于点H若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NHAMCBDNHFG①AMCBDNHFG∵AB＝10，∴BN＝10－x∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)AMCBDNHFG∵AF＝EQ\F(1,4)x，AF＋FD＝AD，∴EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(10－x)＝4AMCBDNHFG∴x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)②当点N在AB延长线上时则FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)EQ\F(1,4)x＋EQ\F(eq\r(,3),2)(x－10)＝4∴x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)∴当x＝EQ\F(104－12eq\r(,3),11)或x＝EQ\F(104＋12eq\r(,3),11)时，直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等5．（上海模拟）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．（1）当EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))时，求弦CD的长；（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．BBAOPCDAOAO备用图AO备用图解：（1）连接OCBAOPCDE当EQ\o\ac(AC,\s\up9(︵))＝EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))时，∠POC＝∠DOCBAOPCDE∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4∴∠P＝∠POC＝∠DOC∴△DOC∽△DPO，∴EQ\F(DO,DP)＝EQ\F(CD,DO)即EQ\F(4,4＋CD)＝EQ\F(CD,4)，解得CD＝2eq\r(,5)－2（2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝EQ\F(1,2)y①当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上时∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P∴△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4显然，B不与A重合，∴x＜4当D与C重合时，PC是半圆O的切线∴PC⊥OC，∠PCO＝90°此时△PCO是等腰直角三角形∴OP＝eq\r(,2)OC，即x＋4＝4eq\r(,2)，x＝4eq\r(,2)－4∵D不与C重合，∴x＞4eq\r(,2)－4∴4eq\r(,2)－4＜x＜4∴y＝EQ\F(1,4)x2＋2x－4（4eq\r(,2)－4＜x＜4）②当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外时BAOPCDE同理，△PBC∽△PEO，∴EQ\F(PB,PE)＝EQ\F(PC,PO)BAOPCDE即EQ\F(EQ\F(x＋4,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(4,x＋4)，∴y＝－EQ\F(1,4)x2－2x＋4（0＜x＜4eq\r(,2)－4）（3）①当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))上时，过D作DG∥OP交BF于G则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBFBAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4＋1)BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,5)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4＋EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,5)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝5，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),5)②当点C在EQ\o\ac(AD,\s\up9(︵))外时，过D作DG∥OP交BE于GBAOPCDEFG则△BAOPCDEFG∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(DG,PB)＝EQ\F(DG,OB)＝EQ\F(DF,OF)＝EQ\F(1,4－1)∴EQ\F(DE,PE)＝EQ\F(1,3)，即EQ\F(EQ\F(y,2),4－EQ\F(y,2))＝EQ\F(1,3)，解得EQ\F(y,2)＝1∴CE＝1，PE＝3，OE＝eq\r(,42－12)＝eq\r(,15)∴tan∠P＝EQ\F(OE,PE)＝EQ\F(eq\r(,15),3)6．（上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5)，⊙B的半径长为1，⊙B交边BC于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．ABABCN图2OABCP图1ABCPMD解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝EQ\F(3,5ABCPMD∴AB＝10，BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝eq\r(,102－62)＝8过点M作MD⊥AB于D在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝EQ\F(MD,MB)＝EQ\F(3,5)∵MB＝2，∴MD＝EQ\F(3,5)×2＝EQ\F(6,5)＞1∴⊙M与直线AB相离ABCPMO（2）∵MD＝EQ\F(6,5)＞1＝MP，∴OMABCPMO若OP＝MP，易得∠MOB＝90°∴cosB＝EQ\F(OB,BM)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(8,5)∴OA＝10－EQ\F(8,5)＝EQ\F(42,5)ABCPMOE若OM＝OP，过OABCPMOE∴cosB＝EQ\F(EB,OB)＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(8,10)，∴OB＝EQ\F(15,8)∴OA＝10－EQ\F(15,8)＝EQ\F(65,8)∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为EQ\F(42,5)或EQ\F(65,8)（3）连接ON，过N作NF⊥AB于FABCNOF在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝EQ\F(3,5)，NBABCNOF∴NF＝EQ\F(3,5)y，BF＝EQ\F(4,5)y，∴OF＝10－x－EQ\F(4,5)y∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y在Rt△NFB中，ON2＝OF2＋NF2∴(x＋y)2＝(10－x－EQ\F(4,5)y)2＋(EQ\F(3,5)y)2∴y＝EQ\F(250－50x,x＋40)（0＜x＜5）7．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．ABDCABDCEO（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODBABDCEO∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴EQ\F(BD,OC)＝EQ\F(OD,AC)ABDCEO∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴EQ\F(BD,6)＝EQ\F(6,4)，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴EQ\F(AB,AO)＝EQ\F(AO,AC)∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴EQ\F(y＋13,x)＝EQ\F(x,4)∴y＝EQ\F(1,4)x2－13∵0＜y＜8，∴0＜EQ\F(1,4)x2－13＜12，解得2eq\r(,13)＜x＜10∴定义域为2eq\r(,13)＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴EQ\F(1,4)x2－13＋4＝x∴x＝2±2eq\r(,10)（舍去负值）∴AO＝2±2eq\r(,10)8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：GEIAHFDCB（1）AG＝DF；（GEIAHFDCB证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90º又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF又由切线长定理，得BG＝BDGEIAHGEIAHFDCB（2）连接DE、EH、AI、EI∵∠AEI＝∠AHI＝90º，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上∴∠AEH＝∠AIB∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90º＋EQ\F(1,2)∠C∴∠AEH＝90º＋EQ\F(1,2)∠C∵CD＝CE，∴∠DEC＝EQ\F(180º－∠C,2)＝90º－EQ\F(1,2)∠C∴∠AEH＋∠DEC＝180º∴D、H、E三点共线9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是EQ\o\ac(MN,\s\up9(︵))上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；NOM备用图NOMBCGFDAQNOM备用图NOMBCGFDAQEP（1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON∴四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OCNOMBCGFDAQNOMBCGFDAQEP∴AE∥GC，AE＝GC∴四边形AECG为平行四边形，∴CE∥AG连接OB∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ∴四边形EPGQ是平行四边形（2）当∠CED＝90°时，□EPGQ是矩形此时∠AED＋∠CEB＝90°NOMBCGFDAQEP又∵∠NOMBCGFDAQEP∴△AED∽△BCE，∴EQ\F(AD,BE)＝EQ\F(AE,BC)设OA＝x，AB＝y，则EQ\F(EQ\F(x,2),EQ\F(y,2))＝EQ\F(EQ\F(y,2),x)，得y2＝2x2又OA2＋AB2＝OB2，即x2＋y2＝12∴x2＋2x2＝1，解得x＝EQ\F(eq\r(,3),3)NOMBCGFDAQEPB′A′O′∴当OA的长为EQ\F(eq\r(,NOMBCGFDAQEPB′A′O′（3）连接GE交PQ于点O′，则O′P＝O′Q，O′G＝O′E过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′由△PCF∽△PEG得，EQ\F(PG,PF)＝EQ\F(PE,PC)＝EQ\F(GE,FC)＝2∴PA′＝EQ\F(2,3)A′B′＝EQ\F(1,3)AB，GA′＝EQ\F(1,3)GE＝EQ\F(1,3)OA∴A′O′＝EQ\F(1,2)GE－GA′＝EQ\F(1,6)OA在Rt△PA′O′中，PO′2＝PA′2＋A′O′2，即EQ\F(PQ2,4)＝EQ\F(AB2,9)＋EQ\F(OA2,36)又AB2＋OA2＝12，∴3PQ2＝AB2＋EQ\F(1,3)∴3PQ2＋OA2＝AB2＋EQ\F(1,3)＋OA2＝1＋EQ\F(1,3)＝EQ\F(4,3)10．（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M、N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝3eq\r(,3)，MN＝2eq\r(,22)．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（EQ\o\ac(FME,\s\up9(︵))是劣弧），且EF＝5，将△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．AABCEFMONT解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE∵OB⊥AT于点B，∴∠AEC＝∠OBC＝90°又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB∴∠COB＝∠EAT＝30°ABCEFMONTG(BABCEFMONTG(B′)(C′)(O′)∠OCB＝∠ACE＝60°设BC＝x，则OB＝eq\r(,3)x，OC＝2x连接ON，得(eq\r(,3)x)2＋(eq\r(,22))2＝(2x＋3)2解得x＝1或x＝－13（舍去），∴x＝1∴R＝2x＋3＝5（3）这样的三角形有3个画直径FG，连接GE∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO∴△GEF即为所要画出的三角形∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比又∵两个直角三角形斜边长FG＝2R＝10，OC＝2∴△GEF与△OBC的周长之比为5:111．（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是___________；当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为___________．（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M．①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．AOyAOyx（图3）BCAOByxC（图2）AOByxC（图1）AOAOyx（备用图2）AOyxC（备用图1）M解：（1）2（2）当4≤m≤6时，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d＝2当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长AOyxBCBCN∴d＝eq\r(,22－(4－m)2)＝eq\r(,－m2＋8m－12AOyxBCBCN∴d关于m的函数解析式为：d＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(eq\r(,－m2＋8m－12)（2≤m＜4）,2（4≤m≤6）))AOyxCMEBPNFKG（3）①由题意可知，由线段AOyxCMEBPNFKG∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：2×π×2＋2×2×4＝16＋4π②∵m≥0，n≥0，∴点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))AOyxCM0EBFAOyxCM0EBFM1M2M3H3H2H1R(D)x若△AMH与△AOD相似，则EQ\F(MH,HA)＝EQ\F(1,2)或EQ\F(MH,HA)＝2当2≤m＋2＜4时，显然M1H1＞H1A，∴EQ\F(M1H1,H1A)＝2∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3∴m1＝3－2＝1当4≤m＋2≤6即M2在线段CE上时，同理可求m2＝5－2＝3当6＜m＋2≤8即M3在线段EQ\o\ac(EF,\s\up9(︵))上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴EQ\F(M3H3,H3A)＝EQ\F(1,2)设M3H3＝x，则AH3＝2x，∴AH3＝2x－2又∵RH3＝2，∴(2x－2)2＋x2＝22，∴x1＝EQ\F(8,5)，x2＝0（不合题意，舍去）∴OH3＝4＋2x＝EQ\F(36,5)，∴m3＝EQ\F(36,5)－2＝EQ\F(26,5)综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，相应m的值为1，3，EQ\F(26,5)B12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O于点G．B（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求FG的长；DBACOFEH（3）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角DBACOFEH解：（1）连接OF、EF∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFE为矩形DBACOFEH∴AEDBACOFEH∵FH与⊙O相切，∴OF⊥FH∵FH⊥CE，∴OF∥CE∵BO＝OE，∴BF＝CF∴AE＝DE＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(5,2)（2）作OM⊥FG于M，连接OF∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90°易证△ABE∽△DEC，∴EQ\F(AE,DC)＝EQ\F(AB,DE)即EQ\F(AE,2)＝EQ\F(2,5－AE)，解得AE＝1或4DBACOFEHMG①当AE＝DBACOFEHMG∴BE＝eq\r(,5)，CE＝2eq\r(,5)，OF＝EQ\F(eq\r(,5),2)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(8eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(2eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OF2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),10)∴FG＝2FM＝EQ\F(3eq\r(,5),5)DBACOFEHMG②当AE＝DBACOFEHMG∴BE＝2eq\r(,5)，CE＝eq\r(,5)，OG＝eq\r(,5)由△CFH∽△CBE，得CH＝EQ\F(eq\r(,5),5)∴OM＝EH＝CE－CH＝EQ\F(4eq\r(,5),5)，∴FM＝eq\r(,OG2－OM2)＝EQ\F(3eq\r(,5),5)∴FG＝2FM＝EQ\F(6eq\r(,5),5)（3）连接EF，设AE＝x则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°①当点G在点F上方时ODBACHGEFMK连接BG、EG，设BGODBACHGEFMK则∠FBG＝∠FEG＝45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝EQ\F(1,2)EK＝1－EQ\F(1,2)xFM＝x＋1－EQ\F(1,2)x＝1＋EQ\F(1,2)x∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴EQ\F(GM,FM)＝EQ\F(EF,CF)DBACHGEFKOM∴EQ\F(1－EQ\F(1,2)x,1＋EQ\F(1,2)x)＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(9－eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(9＋eq\r(,57),2)＞5（舍去）DBACHGEFKOM②当点G在点F下方时连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M则∠GBF＝∠GEF＝45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF＝EF＝2，EK＝2eq\r(,2)BK＝x－2，GM＝KM＝EQ\F(1,2)(x－2)，FM＝2＋EQ\F(1,2)(x－2)＝EQ\F(1,2)(x＋2)∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴EQ\F(FM,GM)＝EQ\F(EF,CF)∴EQ\F(EQ\F(1,2)(x＋2),EQ\F(1,2)(x－2))＝EQ\F(2,5－x)，解得x1＝EQ\F(1＋eq\r(,57),2)，x2＝EQ\F(1－eq\r(,57),2)（舍去）综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为EQ\F(9－eq\r(,57),2)或EQ\F(1＋eq\r(,57),2)13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．（1）求证：CD是⊙P的切线；（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．①求CF的长；②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．AOAOPBDyxC图1AOPBDyxC图2EFAOPBDyxCN12AOPBDyxCN12∵PC＝PA，∴∠1＝∠2∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6在Rt△OBN中，OB＝eq\r(,ON2＋BN2)＝eq\r(,62＋82)＝10∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB∵CD⊥OB，∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切线（2）解：设⊙P的半径为rAOPBDyxCEFN∵⊙AOPBDyxCEFN∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝EQ\F(PE,OP)＝EQ\F(r,10－r)在Rt△OBN中，sin∠BON＝EQ\F(BN,OB)＝EQ\F(8,10)＝EQ\F(4,5)∴EQ\F(r,10－r)＝EQ\F(4,5)，解得r＝EQ\F(40,9)（3）①由（2）知r＝EQ\F(40,9)，∴OP＝10－EQ\F(40,9)＝EQ\F(50,9)∴OE＝eq\r(,OP2－PE2)＝EQ\F(10,3)∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90°∴四边形PCDE是矩形∵PE＝PC，∴矩形PCDE是正方形∴PE＝DC＝EQ\F(40,9)∴BD＝OB－OE－DE＝10－EQ\F(10,3)－EQ\F(40,9)＝EQ\F(20,9)∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90°∴△BDF∽△PCF，∴EQ\F(DF,CF)＝EQ\F(BD,PC)AOPBDyxCEFGT34即EQ\F(EQ\F(40,9)－CF,CF)＝EQ\F(EQ\F(20,9),EQ\F(40,9))，解得CF＝EQ\F(80,27)AOPBDyxCEFGT34②存在在DE延长线上截取ET＝CF∵四边形PCDE是正方形∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45°∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45°即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF又PG＝PG，∴△PGT≌△PGF∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF设GE＝a，则DG＝EQ\F(40,9)－a，GF＝EQ\F(80,27)＋a又DF＝DC－CF＝EQ\F(40,9)－EQ\F(80,27)＝EQ\F(40,27)在Rt△DFG中，DF2＋DG2＝GF2∴(EQ\F(40,27)2＋(EQ\F(40,9)－a2＝(EQ\F(80,27)＋a2，解得a＝EQ\F(8,9)即EG的长为EQ\F(8,9)14．（浙江模拟）如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))交AB于D，且∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A，点P是EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))上的一个动点．（1）判定△ADC的形状，并说明理由；（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数；（3）当点P在EQ\o\ac(BC,\s\up9(︵))运动时，过点P作直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．PBPBACDBACD备用图解：（1）△ADC是等腰三角形∵∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A∴∠ADC＝90°－EQ\F(1,2)∠A，∠ACD＝90°＋EQ\F(1,2)∠A－∠A＝90°－EQ\F(1,2)∠APBACDMN∴∠ACDPBACDMN（2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15°∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80°∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋EQ\F(1,2)∠A＝90°＋EQ\F(1,2)×70°＝125°∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40°∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40°（3）存在．当点P运动至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似∵P是EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点，∴∠ABP＝∠CBP设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y°则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－EQ\F(1,2)x)＝90°－y－EQ\F(1,2)x∴∠PCB＝∠ACP，∴PC平分∠ACB∴当点P运动至EQ\o\ac(CD,\s\up9(︵))的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点连接AP，则AP平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋EQ\F(1,2)x＝∠BPC∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∠B＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．BCAEFD（1）在点E移动过程中，当△ABE为等腰三角形时BCAEFD（2）在点E移动过程中，求△ADF外接圆半径的最小值．解：（1）∵BC＝4AD＝4eq\r(,2)，∴AD＝eq\r(,2)∵等腰梯形ABCD，∠B＝45°，∴AB＝eq\r(,2)×EQ\F(1,2)(BC－AD)＝×EQ\F(1,2)(4eq\r(,2)－eq\r(,2))＝3∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135°∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135°BCAEFD∴∠BAE＝∠CEF，又BCAEFD∴△BAE∽△CEF，∴EQ\F(BE,CF)＝EQ\F(AB,EC)∴CF＝EQ\F(EC,AB)·BE＝EQ\F(BC－BE,AB)·BE＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE（1）若AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝EQ\F(eq\r(,2),2)AB＝EQ\F(3eq\r(,2),2)，代入（1）得CF＝EQ\F(5,2)若AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝eq\r(,2)AB＝3eq\r(,2)，代入（1）得CF＝2若AB＝BE，则BE＝3，代入（1）得CF＝4eq\r(,2)－3（2）设△ADF外接圆的圆心为O∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝eq\r(,2)r当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小由（1）知CF＝EQ\F(4eq\r(,2)－BE,3)·BE＝－EQ\F(1,3)BE2＋EQ\F(4eq\r(,2),3)BE＝－EQ\F(1,3)(BE－2eq\r(,2))2＋EQ\F(8,3)BCAEFDGO当BE＝2eq\r(,2)即E为BC中点时，CF最大，为EQ\F(8,3BCAEFDGO此时DF＝3－EQ\F(8,3)＝EQ\F(1,3)作FG⊥AD于G，则FG＝DG＝EQ\F(eq\r(,2),6)，AG＝AD＋DG＝EQ\F(7eq\r(,2),6)∴AF长的最小值为：eq\r(,AG2＋FG2)＝EQ\F(5,3)∴△ADF外接圆半径的最小值为EQ\F(eq\r(,2),2)AF＝EQ\F(5eq\r(,2),6)16．（浙江模拟）已知直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上异于A的一点，以C为圆心的⊙C过点A，D是⊙C上的一点，如果以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，求D点的坐标．AAOBxy11解：由题意，得A（2，0），B（0，－2）AOBxyDC∴OA＝OB＝2，AB＝2AOBxyDC①若CD是平行四边形的边，则CA＝CD＝AB＝2eq\r(,2)∴点C的坐标为（2＋2eq\r(,2)，0）或（2－2eq\r(,2)，0）当C（2＋2eq\r(,2)，0）时，点D的坐标为（4＋2eq\r(,2)，2）或（2eq\r(,2)，－2）当C（2－2eq\r(,2)，0）时，点D的坐标为（4－2eq\r(,2)，2）或（－2eq\r(,2)，－2）②若CD是平行四边形的对角线，设AB、CD相交于点M则CA＝CD＝2CM而点C到直线AB的距离为EQ\F(eq\r(,2),2)CA，所以CM≥EQ\F(eq\r(,2),2)CA，即CA≤eq\r(,2)CM故此时A、B、C、D四点不能构成平行四边形综上，若以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，则D点的坐标为：AOBAOBxyDCAOBxyDCAOBxyDCxyMOMCMFMAMEMBMDM17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DB＝AB，连接OB、DC相交于点E，过点E作EFxyMOMCMFMAMEMBMDM（1）如果以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形，求点E的坐标；（2）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，求点E的坐标；（3）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△ABE相似，求点E的坐标．解：（1）由题意，∠OBA＝90°，OC＝CA＝4，CD＞CAxyMOMCMFMAMxyMOMCMFMAMEMBMDMHM作DH⊥CA于H，则CH＝HA＝EQ\F(1,2)CA＝2∵∠DHA＝∠OBA＝90°，∠DAH＝∠OAB∴△DHA∽△OBA，∴EQ\F(DA,HA)＝EQ\F(OA,BA)即EQ\F(2BA,2)＝EQ\F(8,BA)，∴BA＝2eq\r(,2)∴OB＝eq\r(,OA2－BA2)＝2eq\r(,14)，DC＝DA＝4eq\r(,2)，∴DH＝eq\r(,DC2－CH2)＝2eq\r(,7)∵EF⊥OA，∴△ECF∽△DCH∴EQ\F(EF,CF)＝EQ\F(DH,CH)＝EQ\F(2eq\r(,7),2)＝eq\r(,7)设CF＝x，则EF＝eq\r(,7)x∵∠OFE＝∠OBA＝90°，∠EOF＝∠AOB∴△OEF∽△OAB，即EQ\F(EF,OF)＝EQ\F(AB,OB)∴EQ\F(eq\r(,7)x,4＋x)＝EQ\F(2eq\r(,2),2eq\r(,14))，解得x＝EQ\F(2,3)∴OF＝4＋x＝EQ\F(14,3)，EF＝eq\r(,7)x＝EQ\F(2eq\r(,7),3)∴E（EQ\F(14,3)，EQ\F(2eq\r(,7),3)）②若CA＝DAxyMOMCMFMAMEMBMDMHM则BA＝EQ\F(1,2)DA＝EQ\F(1,2)CA＝2，OB＝eq\r(,OA2－BA2)＝2eq\r(,15)xyMOMCMFMAMEMBMDMHM作DH⊥CA于H，则△DHA∽△OBA∴EQ\F(DA,HA)＝EQ\F(OA,BA)，即EQ\F(4,HA)＝EQ\F(8,2)，∴HA＝1∴CH＝3，DH＝eq\r(,DA2－HA2)＝eq\r(,15)由△ECF∽△DCH，得EQ\F(EF,CF)＝EQ\F(DH,CH)＝EQ\F(eq\r(,15),3)设CF＝3x，则EF＝eq\r(,15)x由△OEF∽△OAB，得EQ\F(EF,OF)＝EQ\F(AB,OB)∴EQ\F(eq\r(,15)x,4＋3x)＝EQ\F(2,2eq\r(,15))，解得x＝EQ\F(1,3)∴OF＝4＋3x＝5，EF＝eq\r(,15)x＝EQ\F(eq\r(,15),3)∴E（5，EQ\F(eq\r(,15),3)）（2）①当点F在O、C之间时∵∠ECF＞∠BAO，∴要使△ECF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠AOB此时△OCE为等腰三角形，点F为OC中点，即OF＝2过B作BG∥DC交OA于G∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∵xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∴EQ\F(OE,OB)＝EQ\F(OC,OG)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(2,3)设OE＝2x，则OB＝3x由△OEF∽△OAB，得EQ\F(OE,OF)＝EQ\F(OA,OB)∴EQ\F(2x,2)＝EQ\F(8,3x)，解得x＝EQ\F(2eq\r(,6),3)∴OE＝2x＝EQ\F(4eq\r(,6),3)，∴EF＝eq\r(,OE2－OF2)＝EQ\F(2eq\r(,15),3)∴E（2，EQ\F(2eq\r(,15),3)）②当点F在C、A之间时∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△CEF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠OABxyMOMCMFMxyMOMCMFMAMEMBMDMHM由（1）知，E（EQ\F(14,3)，EQ\F(2eq\r(,7),3)）（3）①若∠FEC＝∠BAE，则△EFC∽△ABE∵OB垂直平分AD，∴AE＝DE∴∠D＝∠BAE，∴∠FEC＝∠D∴∠ECF＝∠DEB＝∠OEC，∴OE＝OC＝4过B作BG∥DC交OA于G∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6由△OEC∽△OBG，得OB＝OG＝6∴BE＝2，AB＝eq\r(,OA2－OB2)＝2eq\r(,7)xyMOMCMFMAMEMBMDMGM由△OEF∽△OAB，得EF＝EQ\F(1,2)AB＝eq\r(,7)，OF＝EQ\F(1,2)OB＝3xyMOMCMFMAMEMBMDMGM∴E（3，eq\r(,7)）②若∠ECF＝∠EAB，则△CFE∽△ABE∵∠D＝∠EAB，∴∠ECF＝∠D∴CA＝DA由（1）知，此时E（5，EQ\F(eq\r(,15),3)）18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24cm．设⊙O1的半径为xcm．（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；ABCFO2DEO1（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.ABCFO2DEO1解：（1）连接O1AABCFO2DEO1∵⊙O1与O2CABCFO2DEO1∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D∴∠AO2O1＝EQ\F(1,2)∠CO2D＝30°在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝EQ\F(AO1,O1O2)∴O1O2＝EQ\F(AO1,sin∠AO2O1)＝EQ\F(x,sin30°)＝EQ\F(AO1,O1O2)＝2x∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm

（2）设该玩具的制作成本为y元，则y＝0.45πx2＋0.06×EQ\F((360－60)×π×(24－3x)2,360)＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)2＋14.4π所以当x＝4时，y的值最小．答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小19．（江苏南京）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝___________°；②若⊙O的半径是1，AB＝eq\r(,2)，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．AABPOABP1ABP1OP2②如图，连接AB、OA、OB在△AOB中，∵OA＝OB＝1，AB＝eq\r(,2)∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°当点P在优弧EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上时，∠AP1B＝EQ\F(1,2)∠AOB＝45°当点P在劣弧EQ\o\ac(AB,\s\up9(︵))上时，∠AP2B＝EQ\F(1,2)(360°－∠AOB)＝135°

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB，∴∠APB＝∠MAN－∠ANB第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB＝∠APB＋(180°－∠ANB)∴∠APB＝∠MAN＋∠ANB－180°第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③∵∠APB＋∠ANB＋∠MAN＝180°∴∠APB＝180°－∠ANB－∠MAN第四种情况：点P在⊙O2内，如图④∠APB＝∠MAN＋∠ANBABPOABPO2③NMO1ABPO2①NMO1ABPO2②NMO1ABPO2④NMO120．（江苏泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC＝2eq\r(,5)，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．CCPOBAlOOAl（备用图）（1）AB＝AC．理由如下：连接OB∵AB与⊙O相切于点B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°CPOBAlD∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠CPOBAlD∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP∴AB＝AC（2）设⊙O的半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5－r∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2AC2＝PC2－PA2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2∵AB＝AC，∴52－r2＝(2eq\r(,5))2－(5－r)2解得r＝3∴AB＝eq\r(,52－32)＝4，∴sin∠BOP＝EQ\F(AB,OA)＝EQ\F(4,5)，cos∠BOP＝EQ\F(OB,OA)＝EQ\F(3,5)过B作BD⊥OP于D则DB＝OB·sin∠BOP＝3×EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,5)，OD＝OB·cos∠BOP＝3×EQ\F(3,5)＝EQ\F(9,5)∴DP＝OP－OD＝3－EQ\F(9,5)＝EQ\F(6,5)CPOBAlEMN∴PB＝eq\r(,DB2＋DP2)＝EQ\F(6,5)eq\r(,5)CPOBAlEMN（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN则OE＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)由题意，⊙O与直线MN有交点∴OE≤r，即EQ\F(1,2)eq\r(,52－r2)≤r，∴r≥eq\r(,5)又∵直线l与⊙O相离，∴r＜5∴eq\r(,5)≤r＜521．（江苏常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）．以点P为圆心，eq\r(,5)m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．CBCBPOxDyEA（备用图）CBPOxDyEA解：（1）B（3m，0），E（m，4m）（2）BQ与EQ相等，理由如下：CBPOxDyEAFK易得DCBPOxDyEAFK则得OB＝OD，EK＝DK∴△BOD和△EKD均为等腰直角三角形∴∠EDB＝90°∴BE为△EDB外接圆的直径∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45°∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE∴BQ＝EQ（3）由（2）知，△BDE为直角三角形易得DE＝eq\r(,2)m，BD＝3eq\r(,2)m在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m在△BDE和△BOC中∠BDE＝∠BOC＝90°，且EQ\F(DE,BD)＝EQ\F(CO,BO)＝EQ\F(1,3)∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．（1）①直接写出点E的坐标：____________；②求证：AG＝CH；（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．BGOBGOxHyEAC图2FDBGOxHyEAC图1BGOxHyEAC备用图FD解：（1）①（1，EQ\F(1,2)）②证明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC∴∠GAE＝∠HCE又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE∴AG＝CH（2）连接ED、OF、OBBGOxHyEACFDBGOxHyEACFD∴ED＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)，且ED∥AB∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D又直线GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝EQ\F(1,2)又∵HC是⊙O的切线，∴HF＝HC设AG＝m，则HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝EQ\F(1,2)＋m，FG＝1＋m在Rt△OFG中，OG2＝OF2＋FG2∴(2－m)2＝12＋(1＋m)2，解得m＝EQ\F(1,3)∴OG＝2－m＝EQ\F(5,3)，∴点G坐标为（EQ\F(5,3)，0）设直线GH的函数关系式为y＝kx＋b，将点E（1，EQ\F(1,2)）、G（EQ\F(5,3)，0）代入得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(EQ\F(1,2)＝k＋b,0＝EQ\F(5,3)k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝－EQ\F(3,4),b＝EQ\F(5,4)))∴直线GH的函数关系式为y＝－EQ\F(3,4)x＋EQ\F(5,4)（3）连接BG，作∠BAO的平分线交BC于点M，交BG于点P由（2）知，BH＝EQ\F(5,3)，GH＝EQ\F(5,3)，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB即GB平分∠HGA，∴点P即为所求圆的圆心∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1）BGOxHyEACFDPMBGOxHyEACFDPM则eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(0＝2k1＋b1,1＝k1＋b1))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k1＝－1,b1＝2))∴y＝－x＋2设直线BG的函数关系式为y＝k2x＋b2∵B（2，1）、G（EQ\F(5,3)，0）∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(1＝2k2＋b2,0＝EQ\F(5,3)k2＋b2))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k2＝3,b1＝－5))∴y＝3x－5由eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x＋2,y＝3x－5))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝EQ\F(7,4),y＝EQ\F(1,4)))∴点P坐标为（EQ\F(7,4)，EQ\F(1,4)）∴⊙P的半径为EQ\F(1,4)BOxyAO′23．（江苏连云港）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋BOxyAO′（1）求证：四边形OAO′B是菱形；（2）当点O′落在⊙O上时，求b的值．BOxyAO′MNP（1）证明：∵点O与点OBOxyAO′MNP∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线∴AO＝AO′，BO＝BO′又∵OA，OB都是⊙O的半径，∴OA＝OB∴AO＝AO′＝BO＝BO′∴四边形OAO′B是菱形（2）解：如图，连接OO′交直线y＝x＋b于点M当点O′落在⊙O上时，有OM＝EQ\F(1,2)OO′＝1∵直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（－b，0）、P（0，b）∴△ONP为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45°又∵OM＝1，∴OP＝eq\r(,2)，即b＝eq\r(,2)24．（江苏盐城）如图所示，AC⊥AB，AB＝2eq\r(,3)，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．（1）当α＝18°时，求EQ\o\ac(BD,\s\up9(︵))的长；（2）当α＝30°时，求线段BE的长；（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）DDOBAECα解：（1）连接OD在⊙O中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°DOBAECα∵AB＝2eq\r(,3)，∴EQ\o\ac(BD,\s\up9(︵))的长为EQ\F(36π×eq\r(,3),180)＝EQ\F(eq\r(,3)π,5)DOBAECα（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∵α＝30°，AB＝2eq\r(,3)，∴BD＝eq\r(,3)，AD＝AB·cos30°＝3∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90°∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90°∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB∴△CDA∽△EDB，∴EQ\F(AC,BE)＝EQ\F(AD,BD)∴EQ\F(2,BE)＝EQ\F(3,eq\r(,3))，∴BE＝EQ\F(2eq\r(,3),3)（3）60°＜α＜90°提示：如图，当E与A重合时DOBAE′CαD′(E)∵DOBAE′CαD′(E)∴C、D、B三点共线在Rt△ABC中，AB＝2eq\r(,3)，AC＝2∴tan∠ABC＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(eq\r(,3),3)，∴∠ABC＝30°∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°当E′在BA的延长线上时，有∠D′AB＞∠DAB∴α＞60°又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90°CABODEFG25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设ADCABODEFG（1）求CD的长度（用a、b表示）；（2）求EG的长度（用a、b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA为⊙O的切线又∵CD为⊙O的切线，∴DA＝DE同理，CE＝CB又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b（2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°CABODEFG又∵∠ABC＝90°，∴∠CABODEFG∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC∴EQ\F(EG,CB)＝EQ\F(DE,DC)，即EQ\F(EG,b)＝EQ\F(a,a＋b)∴EG＝EQ\F(ab,a＋b)（3）EG＝FG理由：∵△DGE∽△DBC，∴EQ\F(DG,DB)＝EQ\F(DE,DC)＝EQ\F(a,a＋b)∴EQ\F(DB,DG)＝EQ\F(a＋b,a)，∴EQ\F(DB,DG)－1＝EQ\F(a＋b,a)－1，即EQ\F(BG,DG)＝EQ\F