典型非线性环节课件

第六章非线性控制系统分析

§6－1

非线性控制系统的基本概念§6－2

典型非线性环节及其对系统的影响§6－4用描述函数法分析非线性系统§6－3

描述函数法第六章非线性控制系统分析§6－1非线性控制系统的基1主要内容

1．非线性系统的基本概念

2．典型非线性环节及其对系统的影响

3．描述函数的基本概念及应用前提

4．典型非线性特性的描述函数

5.用描述函数分析非线性系统的稳定性和自激振荡主要内容1．非线性系统的基本概念2重点与难点

1．非线性系统的性质特点

2．用描述函数分析非线性系统的稳定性

3.基于描述函数法计算系统自振参数

4.非线性系统的简化系统自振参数的计算与非线性系统的简化重点难点重点与难点1．非线性系统的性质特点系统自振参数的计3

前述均为线性系统。严格说来，任何一个实际控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析非线性理论。本章引言前述均为线性系统。严格说来，任何一个实际4k饱和特性继电特性本章引言（续）k饱和特性继电特性本章引言（续）5§6－1

非线性控制系统的基本概念

若系统含有一个或一个以上的非线性部件或环节，则此系统为非线性系统。线性系统用传递函数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输入信号下和零初始条件下进行分析研究。而由于非线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采用线性系统的分析方法。§6－1非线性控制系统的基本概念若系统含6k例如：对于线性系统，但对于非线性系统，例如饱和特性：单独作用时，而不等于∴非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定

性、运动形式等方面具有独特的特点。非线性系统的基本概念（续）k例如：对于线性系统，但对于非线性系统，例如饱和特性：单独7一、非线性系统的特征：

线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输入信号以及初始状态都有关。对于同一结构参数的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统，不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线<一>稳定性：一、非线性系统的特征：线性系统的稳定性只取决8此为线性系统。

因为t=0时,

可见无论何值系统均稳定。性系统平衡状态的稳定问题。非线性系统的特征（续）0此为线性系统。因为t=0时,可见无论何值系统均稳9x项的系数是与变量x有关，此为非线性系统。非线性系统的特征（续）x项的系数是与变量x有关，此为非线性系统。非线性系统的特征（10因此<1>特征根在左半s平面上，则系统稳定。<2>特征根上式解得其暂态过程为一常数。

非线性系统的特征（续）因此<1>特征根在左半s平面上，则系统稳定。<2>特征根上式11<3>可知特征根在右半s平面上，则系统不稳定。由上式解得，此时只有才会有此结果。非线性系统的特征（续）<3>可知特征根在右半s平面上，则系统不稳定。由上式解得，12(∵t必须大于0，解得系统两个平衡状态平衡状态是稳定的，

它对应于而平衡状态是不稳定的，稍加扰动不是收敛就是发散，不可能再回到这个平衡状态。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念(∵t必须大于0，解得系统两个平衡状态平衡状态是稳定的，它13<二>运动形式：

线性系统的运动形式与输入信号的大小及初始条件无关，若某一系统在某一初始条件下的暂态响应为衰减振荡形式，则在任何的信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式；而非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应为单调衰减；而另一初始条件下则为衰减振荡。§6－1非线性系统的基本概念<二>运动形式：线性系统的运动形式与§6－114〈三〉自激振荡：

在没有外界周期性输入信号作用时，线性系统只有=0时产生周期性运动，此时系统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为发散或收敛。而对于非线性系统，在没有外界作用时，系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的周期运动，既可实现又可保持，称为自振荡，§6－1非线性系统的基本概念〈三〉自激振荡：在没有外界周期性输入信号作用时15其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系统一个重要的特有的特性。人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要，设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡，使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有很大的实际意义。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值非线性系统的特征（续16〈四〉频率响应：

稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位均为输入正弦信号频率的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于频率的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。§6－1非线性系统的基本概念〈四〉频率响应：稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作17

非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们，以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更为优异的性能。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无18〈五〉运动状态

1、恒值稳定的平衡状态

2、恒值自振荡状态

3、不稳定状态

4、更重复的其他运动状态

5、多值响应，跳跃谐振荡等二．非线性系统的分析方法

1、描述函数法（或谐波平衡法）

2、相平面法（仅适于一、二阶系统）

3、计算机求解法§6－1非线性系统的基本概念〈五〉运动状态1、恒值稳定的平衡状态二．非线性系统19§6-2典型非线性环节及其对系统的影响

与前述典型环节类似，进行统一归类；非线性系统的非线性特性各式各样，但归为两类：

1）单值非线性特性：输入与输出有单一的对应关系；

2）非单值非线性特性：对应同一个输入值，输出的取值非唯一。按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状可分为饱和、死区、间隙、继电及变放大系数特性等。§6-2典型非线性环节及其对系统的影响与前述典型环20一．死区（不灵敏区）特性：

x1、实际中具有死区特性的元部件：1）测量、放大元件：输入信号在零值附近的某一小范围内，输出等于零；只有当输入信号大于此信号范围时，才有输出，如敏感元件。§6-2典型非线性环节一．死区（不灵敏区）特性：x1、实际中具有死区特性的§6212）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有当输入信号大到一定数值后才动作，如电动机。2、特点：使系统产生稳态误差（测量元件尤为明显），执行机构的死区可能造成运动系统的低速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。死区特性（续）3、用途：有时人为的引入死区，可消除高频的小幅度振荡。4、多个元件均存在死区时，系统总的死区可进行折算（见下页图）§6-2典型非线性环节2）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有死区特性（续）322RC-比较执行放大此时折算到比较元件的端总的死区为：可见：最前面的元件的死区影响最大，且若加大前前面的死区特性（续）§6-2典型非线性环节RC-比较执行放大此时折算到比较元件的端总的死区为：可见：最23二．饱和特性：

§6-2典型非线性环节二．饱和特性： §6-2典型非线性环节241、实际中具有饱和特征的元件：1）放大器：只能在一定的范围内保持输出量与输入量之间的线性关系，超出则输出限幅。2）铁磁元件：铁芯线圈，电机，变压器等。2、特点：使系统在大信号作用下的等效增益↓，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。饱和特性（续）3、用途：认为地利用饱和特性做限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值来限制，以保§6-2典型非线性环节1、实际中具有饱和特征的元件：饱和特性（续）3、用途：认为地25三．间隙（回环）特性：1、实际存在间隙的元件：

1）传动机构：如齿轮转动，当主动轮改变方向时从动轮保持位置不变，直到间隙消除。

2）铁磁元件中的磁滞现象。

2、特点：对系统影响较复杂，过大而烧坏。护电动机不致因饱和特性（续）§6-2典型非线性环节三．间隙（回环）特性：1、实际存在间隙的元件：过大而烧坏。263、措施：提高齿轮的加工精度，采用速度反馈的控制系统，测速机联轴器要安装合适。一般会使系统的稳态误差增大，动态性能变差，振荡↑，稳定性↓。§6-2典型非线性环节间隙特性（续）3、措施：提高齿轮的加一般会使系统的稳态误差增大，动态性能变27四、继电特性：1、吸和动作电流大于释放动作电流，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性。§6-2典型非线性环节令返回系数四、继电特性：1、吸和动作电流大于§6-2典型非线性28继电特性（续）§6-2典型非线性环节

若返回系数m=1，则无回环，其特性称为具有死区的单值继电特性，如图a所示。若返回系数m=-1即继电器的正向返回电流等于反向动作电流时，其特性称为具有回环的继电特性，如图b所示。abc继电特性（续）§6-2典型非线性环节若返回系数29继电特性（续）§6-2典型非线性环节

若i=0，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电特性，如图c所示。abc继电特性（续）§6-2典型非线性环节若i=302、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平检测器等比较电路也具有继电特性：如逻辑无环流调速系统。五、变放大系数特性：特点：大误差e（t）时具有大的k→系统响应迅速，小误差e(t)时具有小的k→系统响应§6-2典型非线性环节典型非线性环节2、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平检测器等比较电31平稳，减少甚至消除超调量,若系统中混入高频小振幅噪声信号时，可抑制掉。六、带死区的饱和特性：

1、测量元件：其最大测量范围与最小测量范围都为有限幅时。2、枢控直流电动机的转速n：达到一定值时，才有n，不再增加.§6-2典型非线性环节典型非线性环节平稳，减少甚至消除超调量,若系统中混入高频小振32★注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种典型非线性特性的组合，但决不能将各个典型非线性环节的响应相加作为复杂非线性系统的响应，因为他们不能用迭加原理。非线性的存在使系统变的复杂，没有统一的方法用来处理所有的非线性系统，实用中采用线性化处理，能用小偏差法的在第二章已讲述，其他可用谐波线性化方法—

描述函数法近似研究非线性系统。§6-2典型非线性环节典型非线性环节★注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种§6-2典33§6-3描述函数法一．基本概念：该方法是研究非线性系统自振荡的有效方法。非线性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，非线性特性对系统的影响可用基波来描述。描述函数法——基于谐波分解的线性化近似方法，也叫谐波平衡法。§6-3描述函数法一．基本概念：34

设非线性系统满足以下两个条件：

1)非线性环节的输入信号作正弦信号变化时，输出同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，不产生直流项。这就要求非线性元件的输入和输出特性是斜对称的（即具有奇对称性，典型非线性均满足奇对称性）；

2)系统的线性部分具有较好的低通滤波特性（一般控制系统能满足，且阶次↑→低通特性好）；

1．基本原理和应用条件：设非线性系统满足以下两个条件：1．基本原理35则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次谐波分量（本来就比基波分量小）经线性部分后将大大↓。因此，可以用非线性元件的输出信号的一次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际输出（高次经线性部分已↓↓，可忽略）。这就是描述函数法的概念。

2．描述函数的概念及定义：y(t)为非正弦周期信号，傅立叶展开有：描述函数法则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次2．描述函数的概36若非线性特性是中心对称的即y(t)奇对称，描述函数的概念及定义（续）若非线性特性是中心对称的即y(t)奇对称，描述函数的概念及37在此，N—非线性元件的描述函数，常用N(A)表示；A—正弦输入信号的幅值；

★定义：描述函数为非线性元件输出的一次谐波分量

与正弦输入信号的复数比.描述函数的概念及定义（续）在此，N—非线性元件的描述函数，常用N(A)表示；A—正38若非线性元件中不含有储能元件，则N只是A的函数，若非线性元件中含有储能元件，则N是A和ω的函数：此方法称为谐波线性化法，N（A）又称为非线性环节的等效幅相特性描述函数的概念及定义（续）若非线性元件中不含有储能元件，则N只是A的函数，若非线性元件393．描述函数的物理意义：举例说明：y(t)为非正弦周期函数，∵非线性特性为单值奇对称，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。3．描述函数的物理意义：举例说明：y(t)为非正弦周期函数40（只与A有关）。

描述函数的物理意义（续）（只与A有关）。

描述函数的物理意义（续）41也就完全确定了。

相当于用斜率为1.25的直线代替了元件的非线性特征

描述函数的物理意义（续）

之间成为线性关系，即当12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。也就完全确定了。相当于用斜率为1.25的直描述函数的物理42

同理，A＝4时，用斜率为3.5的直线代替；即进行了线性化处理。的线性关系也随之改变。

描述函数的物理意义（续）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且说明：当A改变时，N（A）随之改变，同理，A＝4时，用斜率为的线性关系也随之改变。描述函数43★用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值A

的函数。用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是

N（A）的计算。描述函数的物理意义（续）★用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输描述函数的物理44

二．典型非线性特性的描述函数

1、饱和限幅：（见下页图）∵y(t)为奇函数∴二．典型非线性特性的描述函数1、饱和限幅：（见下页图）45

图6-14饱和特性及其输入输出波形图6-14饱和特性及其输入输出波形46

（条件：A>c）[A<c时为线性，求N（A）无意义]；

可见:N与ω无关。饱和特性的描述函数（续）（条件：A>c）[A<c时为线性，求N（A）无意义]；饱472、死区特性：（见下页图）可见：N与ω也无关。2、死区特性：（见下页图）可见：N与ω也无关。48图6-15死区特性及其输入输出波形图6-15死区特性及其输入输出波形493、间隙特性：（见下页图）当A>c时，当A<c时，在间隙之内，y=0。

(A>c)因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号作用下的y(t)都需要计算，既不是奇函数也不是偶函数。3、间隙特性：（见下页图）当A>c时，当A<c时，在间隙之50图6-16间隙特性及其输入输出波形图6-16间隙特性及其输入输出波形51N(A)(A>c)4.继电特性：为非单值奇对称，∴都需要计算。典型非线性特性的描述函数

表6-1列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。N(A)(A>c)4.继电特性：为非单值奇对称，∴都需要计算52图6-17具有回环的继电特性及其输入输出波形图6-17具有回环的继电特性及其输入输出波形53§6—4用描述函数法分析非线性系统

一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下环节输出的一次谐波分量与输入的关系，显然它不能象线性元件的频率特性那样全面的反映非线性环节的性质。但在实际中，问题不是孤立的研究一个非线性环节，而是研究一个非线性系统的运动，特别是常常研究系统的振荡问题，故可以用描述函数去近似的表示非线性环节的特性。

任何非线性系统经过对方框图的变换与简化都可以表示成由线性部分G(jω)与非线性部分N(A)相串联的情况，如下页图所示。§6—4用描述函数法分析非线性系统一个54对于非线性系统的分析，主要考虑它的稳定性及能否产生自振荡。自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加的输入信号及干扰信号无关。∴可以认为假设x为一正弦波：一、负倒描述函数对于非线性系统的分析，主要考虑它的稳定性及能否产生自振荡。自55对于线性部分，当输入y1时，其输出

故在没有外作用下，系统有一个正弦振荡输出信号。---系统有一个正弦振荡运动解的充要条件。描述函数法分析非线性系统（续）对于线性部分，当输入y1时，其输出故在没有外作用下，系统有56

---称为负倒描述函数，它相当于线性系统中的（-１，j0)点，线性系统中闭环特性方程为，非线性系统中闭环特征方程为，将曲线与曲线画在同一复平面上，两曲线的交点即满足上式。即可确定系统的周期运动解：A0，ω0

，即在交点处由曲线所对应的ω即为ω0

，曲线所对应A即为振幅A0。描述函数法分析非线性系统（续）---称为负倒描述函数，它相当于即可确定系统57二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用

1．若曲线不包围曲线，则系统稳定，如下页图（a）所示；2．若曲线包围了曲线，则系统不稳定，如下页图（b）所示；

3．若曲线与曲线相交，则系统中二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用1．若曲线58产生周期性振荡，可稳可不稳，其振幅由交点处的A值决定，其频率由交点处的的ω决定。判断系统的稳定性（续）产生周期性振荡，可稳可不稳，其振幅由59三、振荡状态的确定：如上第三种情况，当系统存在周期运动解时，在没有外输入的情况下，系统的输出为一正弦周期运动。但任一系统在实际中总是受到形形色色的干扰，所以干扰下正弦周期运动是否能保持振幅和频率不变，使三、振荡状态的确定：如上第三种情况，当系60使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是稳定的，研究这个问题对实际应用很有意义。此时系统有周期运动解相当于线性系统处于临界稳定的情况，设受干扰后，x的变化规律为非平稳的振荡，近似于正弦但A

缓慢的↑或↓，若设受干扰后，非线性环节相当于具有幅相特性的线性环节，用线性理论可以研究此时的稳定性：振荡状态的确定（续）使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是此时系统有周期运61有a，b两交点，如下图所示。１）在a点：振荡状态的确定（续）不包围c点，收敛；包围d点，发散；所以a点是稳定工作点，可以形成自振荡。有a，b两交点，如下图所示。１）在a点：振荡状态的确定（续）62２)在b点：振荡状态的确定（续）所以b点不是稳定工作点。★此系统最终呈现两种可能的运动状态：<1>当扰动较小，其幅值<

Ab时，系统趋于平衡状态，不产生自振荡；２)在b点：振荡状态的确定（续）所以b点不是稳定工作点。★此63

★判断自振点的简便方法：

在复平面上，将被包围的区域看成是不稳定区域，而不被包围的区域看成是稳定区振荡状态的确定（续）

★判断自振点的简便方法：振荡状态的确定（续）64域，当交点处的曲线沿着A↑的方向是由不稳定区进入稳定区，则该交点为稳定的周期运动，反之则不是。若为稳定的自振荡点，可确定其振幅和频率。例1：具有饱和非线性的控制系统如下页图所示。求：

<1>时自振点：，；

<2>若使系统稳定工作，不出现自振，k的临界值=?振荡状态的确定（续）域，当交点处的曲线沿着A↑的方向是由不例1：具有饱和65解:<1>在此：振荡状态的确定（续）解:<1>在此：振荡状态的确定（续）66j0振荡状态的确定（续）j0振荡状态的确定（续）67用试凑法求得振荡状态的确定（续）用试凑法求得振荡状态的确定（续）68<2>若要稳定且不振荡，可使k↓。当k↓一半时，

时交点为不振荡，振荡状态的确定（续）<2>若要稳定且不振荡，可使k↓。时交点为不振荡，振荡状态的69例2

一继电控制系统结构图如图所示。继电器参数h=1，M=3，试分析系统是否产生自振荡。若产生自振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自振荡，应如何调整继电器参数？解：带死区的继电特性的描述函数为例2一继电控制系统结构图如图所示。继电器参数h=1，70

（当A→h时，当A→∞

时，振荡状态的确定（续）（当A→h时，当A→∞时，振荡状态的确定（续）71可见，在负实轴上有极值点。求得极值点为由h=1，M=3可得振荡状态的确定（续）可见，在负实轴上求得极值点为由h=72振荡状态的确定（续）振荡状态的确定（续）73求得两个振幅值A1=1.11，A2=2.3。振荡状态的确定（续）求得两个振幅值A1=1.11，A2=2.3。振荡状态的确定74

显然，系统会产生一个稳定的自振荡，其振幅为A=2.3，频率为

为使系统不产生自振荡，可令振荡状态的确定（续）显然，系统会产生一个稳定的自振荡，其振幅为A=2.375

★指出：应用描述函数法分析非线性系统的稳定性和周期运动的稳定性，都是假定系统中只有基波分量，而且是正弦基波分量情况下的输出，实际上，这一假定并非绝对能满足，系统中会有高次谐波分量流通，实际系统自振的波形也是一个比较复杂的周期性波振荡状态的确定（续）由此求得继电器参数比M/h<2.36。如调整M和h比例为M=2h，则系统不产生自振荡。★指出：应用描述函数法分析非线性系统的稳振荡状态的确定（续76形，并非纯正弦波。∴描述函数法只是一种近似的研究方法，同时在采用描述函数法时又是采用的图解法，因此必然存在着精确度问题，

几乎垂直相交且谐波衰减的越小时，分析结果准确。当

对高次在交点几乎相切时，其准确度取决于Ｇ（ｊω）对高次谐波衰减的程度。振荡状态的确定（续）形，并非纯正弦波。∴描述函数法只是一种近似几乎垂直相交且谐波77四．方框图的简化：１、一个非线性环节，线性部分可直接简化：四．方框图的简化：１、一个非线性环节，线性部分可直接简化：78先加再求N（A）或先分别求N（A）再加：2.两个非线性环节并联：先加再求N（A）或先分别求N（A）再加：2.两个非线性环节并793.两个非线性环节串联：可采用图解法简化。以下图所示死区特性和带死区的继电特性串联简化为例。通常，先将两个非线性环节按图6-30(a)、(b)形式放置，再按输出端非线性特性的变化端点△2

和a2确定输入x

的对应点△和a，获得等效非线性3.两个非线性环节串联：可采用图解法简化。以下图所示死区特80图6-30非线性特性串联简化的图解方法图6-30非线性特性串联简化的图解方法81特性如图6-30(c)所示，最后确定等效非线性特性的参数。由△2=K1（△－△1）得由a2=K1（△－a1）得两个非线性环节串联：特性如图6-30(c)所示，最后确定等效非线性特性的参数。由82y(x)亦呈线性，设斜率为K，即有特殊地，当

x=a

时，x1

=a2，由于因此，K=K1K2两个非线性环节串联：y(x)亦呈线性，设斜率为K，即有特殊地，当x=83

两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联，可按上述两个非线性环节串联简化方法，依由前向后顺序逐一加以简化。指出两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序。调换次844.线性部分包围非线性部分：（令）4.线性部分包围非线性部分：（令）855．非线性局部反馈包围线性部分：5．非线性局部反馈包围线性部分：86本章小结（1）非线性系统在稳定性、运动形式、自激振荡和频率响应等方面与线性系统都有着本质的区别。（2）经典控制理论中研究非线性系统的两种常用的方法是描述函数法和相平面法。（3）描述函数法是线性系统频率分析法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱。在上述前提条件不能很好满足时，描述函数法可能得出错误的结论，尤其是系统的稳定裕度较小本章小结（1）非线性系统在稳定性、运动形式、自激振荡和频率响87时。与相平面法相比，描述函数法的最大优点是能够用于高阶系统。（4）描述函数法的关键是求出非线性环节的描述函数，而求描述函数的工作量和技巧主要在非正弦周期函数的积分。描述函数也可以由实验近似获得。本章小结（续）时。与相平面法相比，描述函数法的最大优点是能够用于高阶系统。88第六章非线性控制系统分析

§6－1

非线性控制系统的基本概念§6－2

典型非线性环节及其对系统的影响§6－4用描述函数法分析非线性系统§6－3

描述函数法第六章非线性控制系统分析§6－1非线性控制系统的基89主要内容

1．非线性系统的基本概念

2．典型非线性环节及其对系统的影响

3．描述函数的基本概念及应用前提

4．典型非线性特性的描述函数

5.用描述函数分析非线性系统的稳定性和自激振荡主要内容1．非线性系统的基本概念90重点与难点

1．非线性系统的性质特点

2．用描述函数分析非线性系统的稳定性

3.基于描述函数法计算系统自振参数

4.非线性系统的简化系统自振参数的计算与非线性系统的简化重点难点重点与难点1．非线性系统的性质特点系统自振参数的计91

前述均为线性系统。严格说来，任何一个实际控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析非线性理论。本章引言前述均为线性系统。严格说来，任何一个实际92k饱和特性继电特性本章引言（续）k饱和特性继电特性本章引言（续）93§6－1

非线性控制系统的基本概念

若系统含有一个或一个以上的非线性部件或环节，则此系统为非线性系统。线性系统用传递函数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输入信号下和零初始条件下进行分析研究。而由于非线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采用线性系统的分析方法。§6－1非线性控制系统的基本概念若系统含94k例如：对于线性系统，但对于非线性系统，例如饱和特性：单独作用时，而不等于∴非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定

性、运动形式等方面具有独特的特点。非线性系统的基本概念（续）k例如：对于线性系统，但对于非线性系统，例如饱和特性：单独95一、非线性系统的特征：

线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输入信号以及初始状态都有关。对于同一结构参数的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统，不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线<一>稳定性：一、非线性系统的特征：线性系统的稳定性只取决96此为线性系统。

因为t=0时,

可见无论何值系统均稳定。性系统平衡状态的稳定问题。非线性系统的特征（续）0此为线性系统。因为t=0时,可见无论何值系统均稳97x项的系数是与变量x有关，此为非线性系统。非线性系统的特征（续）x项的系数是与变量x有关，此为非线性系统。非线性系统的特征（98因此<1>特征根在左半s平面上，则系统稳定。<2>特征根上式解得其暂态过程为一常数。

非线性系统的特征（续）因此<1>特征根在左半s平面上，则系统稳定。<2>特征根上式99<3>可知特征根在右半s平面上，则系统不稳定。由上式解得，此时只有才会有此结果。非线性系统的特征（续）<3>可知特征根在右半s平面上，则系统不稳定。由上式解得，100(∵t必须大于0，解得系统两个平衡状态平衡状态是稳定的，

它对应于而平衡状态是不稳定的，稍加扰动不是收敛就是发散，不可能再回到这个平衡状态。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念(∵t必须大于0，解得系统两个平衡状态平衡状态是稳定的，它101<二>运动形式：

线性系统的运动形式与输入信号的大小及初始条件无关，若某一系统在某一初始条件下的暂态响应为衰减振荡形式，则在任何的信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式；而非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应为单调衰减；而另一初始条件下则为衰减振荡。§6－1非线性系统的基本概念<二>运动形式：线性系统的运动形式与§6－1102〈三〉自激振荡：

在没有外界周期性输入信号作用时，线性系统只有=0时产生周期性运动，此时系统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为发散或收敛。而对于非线性系统，在没有外界作用时，系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的周期运动，既可实现又可保持，称为自振荡，§6－1非线性系统的基本概念〈三〉自激振荡：在没有外界周期性输入信号作用时103其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系统一个重要的特有的特性。人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要，设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡，使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有很大的实际意义。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值非线性系统的特征（续104〈四〉频率响应：

稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位均为输入正弦信号频率的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于频率的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。§6－1非线性系统的基本概念〈四〉频率响应：稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作105

非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们，以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更为优异的性能。非线性系统的特征（续）§6－1非线性系统的基本概念非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这些现象无106〈五〉运动状态

1、恒值稳定的平衡状态

2、恒值自振荡状态

3、不稳定状态

4、更重复的其他运动状态

5、多值响应，跳跃谐振荡等二．非线性系统的分析方法

1、描述函数法（或谐波平衡法）

2、相平面法（仅适于一、二阶系统）

3、计算机求解法§6－1非线性系统的基本概念〈五〉运动状态1、恒值稳定的平衡状态二．非线性系统107§6-2典型非线性环节及其对系统的影响

与前述典型环节类似，进行统一归类；非线性系统的非线性特性各式各样，但归为两类：

1）单值非线性特性：输入与输出有单一的对应关系；

2）非单值非线性特性：对应同一个输入值，输出的取值非唯一。按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状可分为饱和、死区、间隙、继电及变放大系数特性等。§6-2典型非线性环节及其对系统的影响与前述典型环108一．死区（不灵敏区）特性：

x1、实际中具有死区特性的元部件：1）测量、放大元件：输入信号在零值附近的某一小范围内，输出等于零；只有当输入信号大于此信号范围时，才有输出，如敏感元件。§6-2典型非线性环节一．死区（不灵敏区）特性：x1、实际中具有死区特性的§61092）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有当输入信号大到一定数值后才动作，如电动机。2、特点：使系统产生稳态误差（测量元件尤为明显），执行机构的死区可能造成运动系统的低速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。死区特性（续）3、用途：有时人为的引入死区，可消除高频的小幅度振荡。4、多个元件均存在死区时，系统总的死区可进行折算（见下页图）§6-2典型非线性环节2）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有死区特性（续）3110RC-比较执行放大此时折算到比较元件的端总的死区为：可见：最前面的元件的死区影响最大，且若加大前前面的死区特性（续）§6-2典型非线性环节RC-比较执行放大此时折算到比较元件的端总的死区为：可见：最111二．饱和特性：

§6-2典型非线性环节二．饱和特性： §6-2典型非线性环节1121、实际中具有饱和特征的元件：1）放大器：只能在一定的范围内保持输出量与输入量之间的线性关系，超出则输出限幅。2）铁磁元件：铁芯线圈，电机，变压器等。2、特点：使系统在大信号作用下的等效增益↓，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。饱和特性（续）3、用途：认为地利用饱和特性做限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值来限制，以保§6-2典型非线性环节1、实际中具有饱和特征的元件：饱和特性（续）3、用途：认为地113三．间隙（回环）特性：1、实际存在间隙的元件：

1）传动机构：如齿轮转动，当主动轮改变方向时从动轮保持位置不变，直到间隙消除。

2）铁磁元件中的磁滞现象。

2、特点：对系统影响较复杂，过大而烧坏。护电动机不致因饱和特性（续）§6-2典型非线性环节三．间隙（回环）特性：1、实际存在间隙的元件：过大而烧坏。1143、措施：提高齿轮的加工精度，采用速度反馈的控制系统，测速机联轴器要安装合适。一般会使系统的稳态误差增大，动态性能变差，振荡↑，稳定性↓。§6-2典型非线性环节间隙特性（续）3、措施：提高齿轮的加一般会使系统的稳态误差增大，动态性能变115四、继电特性：1、吸和动作电流大于释放动作电流，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性。§6-2典型非线性环节令返回系数四、继电特性：1、吸和动作电流大于§6-2典型非线性116继电特性（续）§6-2典型非线性环节

若返回系数m=1，则无回环，其特性称为具有死区的单值继电特性，如图a所示。若返回系数m=-1即继电器的正向返回电流等于反向动作电流时，其特性称为具有回环的继电特性，如图b所示。abc继电特性（续）§6-2典型非线性环节若返回系数117继电特性（续）§6-2典型非线性环节

若i=0，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电特性，如图c所示。abc继电特性（续）§6-2典型非线性环节若i=1182、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平检测器等比较电路也具有继电特性：如逻辑无环流调速系统。五、变放大系数特性：特点：大误差e（t）时具有大的k→系统响应迅速，小误差e(t)时具有小的k→系统响应§6-2典型非线性环节典型非线性环节2、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平检测器等比较电119平稳，减少甚至消除超调量,若系统中混入高频小振幅噪声信号时，可抑制掉。六、带死区的饱和特性：

1、测量元件：其最大测量范围与最小测量范围都为有限幅时。2、枢控直流电动机的转速n：达到一定值时，才有n，不再增加.§6-2典型非线性环节典型非线性环节平稳，减少甚至消除超调量,若系统中混入高频小振120★注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种典型非线性特性的组合，但决不能将各个典型非线性环节的响应相加作为复杂非线性系统的响应，因为他们不能用迭加原理。非线性的存在使系统变的复杂，没有统一的方法用来处理所有的非线性系统，实用中采用线性化处理，能用小偏差法的在第二章已讲述，其他可用谐波线性化方法—

描述函数法近似研究非线性系统。§6-2典型非线性环节典型非线性环节★注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种§6-2典121§6-3描述函数法一．基本概念：该方法是研究非线性系统自振荡的有效方法。非线性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，非线性特性对系统的影响可用基波来描述。描述函数法——基于谐波分解的线性化近似方法，也叫谐波平衡法。§6-3描述函数法一．基本概念：122

设非线性系统满足以下两个条件：

1)非线性环节的输入信号作正弦信号变化时，输出同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，不产生直流项。这就要求非线性元件的输入和输出特性是斜对称的（即具有奇对称性，典型非线性均满足奇对称性）；

2)系统的线性部分具有较好的低通滤波特性（一般控制系统能满足，且阶次↑→低通特性好）；

1．基本原理和应用条件：设非线性系统满足以下两个条件：1．基本原理123则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次谐波分量（本来就比基波分量小）经线性部分后将大大↓。因此，可以用非线性元件的输出信号的一次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际输出（高次经线性部分已↓↓，可忽略）。这就是描述函数法的概念。

2．描述函数的概念及定义：y(t)为非正弦周期信号，傅立叶展开有：描述函数法则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次2．描述函数的概124若非线性特性是中心对称的即y(t)奇对称，描述函数的概念及定义（续）若非线性特性是中心对称的即y(t)奇对称，描述函数的概念及125在此，N—非线性元件的描述函数，常用N(A)表示；A—正弦输入信号的幅值；

★定义：描述函数为非线性元件输出的一次谐波分量

与正弦输入信号的复数比.描述函数的概念及定义（续）在此，N—非线性元件的描述函数，常用N(A)表示；A—正126若非线性元件中不含有储能元件，则N只是A的函数，若非线性元件中含有储能元件，则N是A和ω的函数：此方法称为谐波线性化法，N（A）又称为非线性环节的等效幅相特性描述函数的概念及定义（续）若非线性元件中不含有储能元件，则N只是A的函数，若非线性元件1273．描述函数的物理意义：举例说明：y(t)为非正弦周期函数，∵非线性特性为单值奇对称，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。3．描述函数的物理意义：举例说明：y(t)为非正弦周期函数128（只与A有关）。

描述函数的物理意义（续）（只与A有关）。

描述函数的物理意义（续）129也就完全确定了。

相当于用斜率为1.25的直线代替了元件的非线性特征

描述函数的物理意义（续）

之间成为线性关系，即当12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。也就完全确定了。相当于用斜率为1.25的直描述函数的物理130

同理，A＝4时，用斜率为3.5的直线代替；即进行了线性化处理。的线性关系也随之改变。

描述函数的物理意义（续）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且说明：当A改变时，N（A）随之改变，同理，A＝4时，用斜率为的线性关系也随之改变。描述函数131★用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值A

的函数。用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是

N（A）的计算。描述函数的物理意义（续）★用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输描述函数的物理132

二．典型非线性特性的描述函数

1、饱和限幅：（见下页图）∵y(t)为奇函数∴二．典型非线性特性的描述函数1、饱和限幅：（见下页图）133

图6-14饱和特性及其输入输出波形图6-14饱和特性及其输入输出波形134

（条件：A>c）[A<c时为线性，求N（A）无意义]；

可见:N与ω无关。饱和特性的描述函数（续）（条件：A>c）[A<c时为线性，求N（A）无意义]；饱1352、死区特性：（见下页图）可见：N与ω也无关。2、死区特性：（见下页图）可见：N与ω也无关。136图6-15死区特性及其输入输出波形图6-15死区特性及其输入输出波形1373、间隙特性：（见下页图）当A>c时，当A<c时，在间隙之内，y=0。

(A>c)因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号作用下的y(t)都需要计算，既不是奇函数也不是偶函数。3、间隙特性：（见下页图）当A>c时，当A<c时，在间隙之138图6-16间隙特性及其输入输出波形图6-16间隙特性及其输入输出波形139N(A)(A>c)4.继电特性：为非单值奇对称，∴都需要计算。典型非线性特性的描述函数

表6-1列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。N(A)(A>c)4.继电特性：为非单值奇对称，∴都需要计算140图6-17具有回环的继电特性及其输入输出波形图6-17具有回环的继电特性及其输入输出波形141§6—4用描述函数法分析非线性系统

一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下环节输出的一次谐波分量与输入的关系，显然它不能象线性元件的频率特性那样全面的反映非线性环节的性质。但在实际中，问题不是孤立的研究一个非线性环节，而是研究一个非线性系统的运动，特别是常常研究系统的振荡问题，故可以用描述函数去近似的表示非线性环节的特性。

任何非线性系统经过对方框图的变换与简化都可以表示成由线性部分G(jω)与非线性部分N(A)相串联的情况，如下页图所示。§6—4用描述函数法分析非线性系统一个142对于非线性系统的分析，主要考虑它的稳定性及能否产生自振荡。自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加的输入信号及干扰信号无关。∴可以认为假设x为一正弦波：一、负倒描述函数对于非线性系统的分析，主要考虑它的稳定性及能否产生自振荡。自143对于线性部分，当输入y1时，其输出

故在没有外作用下，系统有一个正弦振荡输出信号。---系统有一个正弦振荡运动解的充要条件。描述函数法分析非线性系统（续）对于线性部分，当输入y1时，其输出故在没有外作用下，系统有144

---称为负倒描述函数，它相当于线性系统中的（-１，j0)点，线性系统中闭环特性方程为，非线性系统中闭环特征方程为，将曲线与曲线画在同一复平面上，两曲线的交点即满足上式。即可确定系统的周期运动解：A0，ω0

，即在交点处由曲线所对应的ω即为ω0

，曲线所对应A即为振幅A0。描述函数法分析非线性系统（续）---称为负倒描述函数，它相当于即可确定系统145二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用

1．若曲线不包围曲线，则系统稳定，如下页图（a）所示；2．若曲线包围了曲线，则系统不稳定，如下页图（b）所示；

3．若曲线与曲线相交，则系统中二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用1．若曲线146产生周期性振荡，可稳可不稳，其振幅由交点处的A值决定，其频率由交点处的的ω决定。判断系统的稳定性（续）产生周期性振荡，可稳可不稳，其振幅由147三、振荡状态的确定：如上第三种情况，当系统存在周期运动解时，在没有外输入的情况下，系统的输出为一正弦周期运动。但任一系统在实际中总是受到形形色色的干扰，所以干扰下正弦周期运动是否能保持振幅和频率不变，使三、振荡状态的确定：如上第三种情况，当系148使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是稳定的，研究这个问题对实际应用很有意义。此时系统有周期运动解相当于线性系统处于临界稳定的情况，设受干扰后，x的变化规律为非平稳的振荡，近似于正弦但A

缓慢的↑或↓，若设受干扰后，非线性环节相当于具有幅相特性的线性环节，用线性理论可以研究此时的稳定性：振荡状态的确定（续）使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是此时系统有周期运149有a，b两交点，如下图所示。１）在a点：振荡状态的确定（续）不包围c点，收敛；包围d点，发散；所以a点是稳定工作点，可以形成自振荡。有a，b两交点，如下图所示。１）在a点：振荡状态的确定（续）150２)在b点：振荡状态的确定（续）所以b点不是稳定工作点。★此系统最终呈现两种可能的运动状态：<1>当扰动较小，其幅值<

Ab时，系统趋于平衡状态，不产生自振荡；２)在b点：振荡状态的确定（续）所以b点不是稳定工作点。★此151

★判断自振点的简便方法：

在复平面上，将被包围的区域看成是不稳定区域，而不被包围的区域看成是稳定区振荡状态的确定（续）

★判断自振点的简便方法：振荡状态的确定（续）152域，当交点处的曲线沿着A↑的方向是由不稳定区进入稳定区，则该交点为稳定的周期运动，反之则不是。若为稳定的