《必要条件与充分条件（1）》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《必要条件与充分条件（1）》教学设计教学目标教学目标1．掌握必要条件的概念．2．理解必要条件的意义．3．理解性质定理与必要条件的关系．4．会判断条件与结论之间的必要性．5．提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力．教学重难点教学重难点重点：掌握必要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的必要性．难点：会判断条件与结论之间的必要性．教学过程教学过程一、新课导入回顾旧知：什么是命题？关于命题的说法与表示．分析：1．可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题．2．正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．3．所有命题都可以转化为命题的一般形式“若p，则q”或“如果p，那么q”．4．命题的一般形式是“若p，则q”，p是命题的条件，q是命题的结论．5．如果“若p，则q”是真命题，就说由p推出q，记作p⇒q．今天，我们将更加深入地学习与命题有关的概念——必要条件与充分条件（1）．设计意图：对命题这个旧知进行回顾，建立新旧知识连接，顺利引出本节课题．二、新知探究探究一：必要条件的理解．实例分析：定理1如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直．定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．定理3如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．师分析定理1：即如果能确定一个四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直；而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形．生尝试分析定理2、3．答案：定理2即如果能确定两个角是对顶角，那么一定可以得出这两个角相等；而一旦两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角．定理3即如果能确定两个三角形是全等三角形，那么一定可以得出这两个三角形的对应角相等；而一旦两个三角形的对应角不相等，那么这两个三角形一定不是全等三角形．小结：上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：“如果p成立，那么q成立”（或“若p成立，则q成立”），我们可以得出“一旦q不成立，那么p一定也不成立”，即q对于p的成立是必要的．探究二：必要条件与性质定理．知识点：1．一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．即p⟹q为真时，若p成立，则q成立，一旦q不成立，p一定也不成立，即p⟹q为真时，q2．性质定理：（1）定理1菱形的对角线互相垂直．“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件．（2）定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．“两个角相等”是“两个角是对]页角”的必要条件．（3）定理3如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．“两个三角形的对应角相等”是“两个三角形全等的必要条件．探究三：必要条件的判定方法．知识点：对于一个命题，判断条件的必要性的方法如下：1．要根据原命题的语言表述形式，判断出哪句是条件p、哪句是结论q，并把命题写成“若p则q"的形式；2．判断推导的正确性．即判断“p⟹q"”为真还是“q3．如果p⟹q，就称“q是p的必要条件”；如果q⟹p，就称“p小结：对必要条件的理解：（1）所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．（2）必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．设计意图：通过对必要条件的理解、必要条件与性质定理的思考两个探究活动，循循渐进，深入理解必要条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力．三、应用举例例1：将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述．（1）平面四边形的外角和是360°；（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．解：（1）“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360”是“平面多边形为四边形”的必要条件；（2）“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件．例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?（1）若|x|=|y|，则x=y；（2）若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；（3）p：x=1，q:x-（4）p:一2≤x≤5，q:一1≤x≤5；（5）p：a是自然数，q：a是正整数﹔（6）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．解：（1）若|x|=|y|，则x=y或x=-y，因此p⇏q，所以q不是（2）直角三角形不一定是等腰三角形，因此p⇏q，所以q不是p的必要条件．（3）当x=1时，x-1=x-1=0，所以p=q，所以（4）当x=—2时，-2≤x≤5成立，但是-1≤x≤5不成立，所以↛，所以q（5）0是自然数，但是0不是正整数，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件．（6）等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．四、课堂练习1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．（1）已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．（）（2）已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q．（）（3）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．（）（4）x2≠1是2．已知：p:(a+b)(a-b)=0,q:a=b，求p是q的3．x,y∈R，下列各式中为“xy≠0A4．已知p:-1<x<3，若-a<x-1<a是p参考答案：1．（1）√（2）√（3）√（4）×解析：由必要条件的理解得出．2．p是q的必要条件解析：由p：(a+b)(a-b)=0，得a=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出a=|b|，故3．B解析：因为xy≠0⟹x≠0且y≠0⇒x2≠0且y≠0⇒x24．(解析：因为-a<x-1<a是p:—1<x<3所以{x|-1<x<3}⊆{x]1-a<x<1+a}(a>0)，所以则使α>b恒成立的实数b的取值范围是(-五、课堂小结1．对必要条件的理解：（1）所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．（2）必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．2．判断条件的必要性的方法如下：