工程投融资管理之资金的时间价值

资金的时间价值这个岛屿值多少钱？曼哈頓岛1626年，新荷兰总督Peter用相当于$24购入曼哈顿；至2006年曼哈顿岛的价值已经超过了2.5万亿美元。380年后，按5%利率计算，这笔资金超过20亿美元；按10%利率计算，这笔资金约为129千万亿美元，大于世界上所有不动产总和。

（美国近70年股市的平均投资收益率为11%）爱因斯坦：“宇宙世间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利”。

时间价值是指资金经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。一、资金时间价值的概念资金的时间价值是指经过一定时间的增值，在没有风险和通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。资金时间价值的意义：它明确了资金存在的时间价值，树立起使用资金是有偿的观念，有助于资源的合理配置。每个企业在投资时至少要能取得社会平均利润率，否则不如投资于其他项目。工程经济中借用利息概念来代表资金时间价值，指投资的增值部分。二、利息和利率

1.利息（In）占用资金所付出的代价（或放弃资金使用权所获得的补偿）利息是衡量资金时间价值的绝对尺度，是其最直观的表现。因此计算资金时间价值的方法主要是计算利息的方法。利息通常根据利率来计算。2.利率（i）一个记息周期内所得利息额与本金的比率利率利率是国民经济宏观调控的重要方式，是衡量资金时间价值的相对尺度。

二、利息和利率2023/1/6单利法In=P·i·n

利息的计算复利法In=i·Fn-1

二、利息和利率（一）单利法

是指在计算利息时，仅考虑最初的本金，而不计入在先前利息周期中所累积增加的利息。即通常所说的“利不生利”。

利息计算公式：In=P·i·n,

Fn=p+In

式中Fn—本利和In——利息

P——本金

i——利率

n——计息期二、利息和利率例：有一笔50000元的借款，借期3年，按每年8％的单利率计息，试求到期时因归还的本利和（F）。

解：

根据公式有：

F=P+P×i×n=50000+50000×8%×3=62000（元）（二）复利法

是指在计算利息时，某一计算周期的利息是由本金加上先前周期所累积利息总额来计算的。也就是通常所称的“利生利”“利滚利”。利息计算公式：

In=i·Fn-1

式中Fn-1——第n-1期期末的本利和

二、利息和利率复利——利滚利F=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]公式的推导如下：年份年初本金P当年利息I年末本利和F

…………1PP·iP(1+i)2P(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-1P(1+i)n-2P(1+i)n-2·inP(1+i)nP(1+i)n-1P(1+i)n-1·i

根据上表可得到以下公式：

F=P·(1+i)NI=P·(1+i)N－P(3－3)若本金为1000元，计息期利率为5％，则采用单利和复利的本利和比较如表所示。

解：若按单利法计息，到期应还本利和为：

F=300000×(1+10×3％)=390000(元)

若按复利法计息，到期应还本利和为：

F=300000×(1+3％)10=403174.92(元)

按复利法计息比单利法计息需多支付13174.92元。

同一笔借款，在利率相同的情况下，用复利计算出的利息金额数比用单利计算出的利息金额数大，当所借本金越大、利率越高、年数越多时，两者差距就越大。

【例】某人为购房向银行贷款300000元，3％的年利率，10年后还清本利。问按单利和复利计息法，他到期应支付本利分别为多少？2023/1/6名义利率

r利率实际利率ie二、利息和利率3.名义利率和有效利率通常所说的年利率是名义利率。有效利率(

ie

)：是指资金在计息期所发生的实际利率。年名义利率（r)：一个计息期的有效利率i与一年内的计息次数的乘积。例如：月利率i=1％，一年计息12次，1％为月有效利率，1％×12=12％为年名义利率。名义利率之间不能直接进行比较，必须转化为以共同计息期间为基准的利率水平，然后再进行比较。通常以1年为比较基准年限，即比较年有效利率。例3：有本金1000元，年利率12％，若每月计息1次，试计算实际利率。解：一年本利和

F＝1000×(1＋0.12／12)12=1126.80元实际利率

ie=（1126.80-1000）÷1000×100%=12.68%

计息次数越多，则实际利率越……？(1)年有效利率如果名义利率为r，一年中计息N次，则每次计算利息的利率为r／N，根据复利公式，年末本利和为：

其中利息为：年有效利率ie为：例4:现有两家银行可以提供贷款，甲银行年利率17%，一年计息一次；乙银行年利率为16%，一月计息一次，均为复利计算，问那家银行的实际利率低？解：甲银行的实际利率等于名义利率，为17%，乙银行的实际利率为：

ieff=(1+r/m)m－1=（1+0.16/12）12－1=17.23%某工程项目因投资需要连续3年年末向银行借入5000万元，年利率8％，按季计息，求终值。【例】解法1根据题意，r=8％，则计息期利率为：8％／4=2％

F=5000×(1+2％)8+5000×(1+2％)4+5000=16272.16(万元)

解法2

根据题意有：

ie=(1+8％/4)4-1=8.243％

F=5000×(1+8.243％)2+5000×(1+8.243％)+5000=16270.42(万元)三、资金等值计算

资金等值：将不同时点的几笔资金金额按同一收益率标准，换算到同一时点，如果其数值相等，则称这几笔资金等值。资金等值计算是指为了便于比较，把不同时点上的资金按照一定的折现率计算至某一相同的时点上的过程。如“折现”、“贴现”等。决定资金等值的因素是：①资金数额③资金运动发生的时间③利率资金等值的计算公式利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫做资金等值计算，一般是计算一系列现金流量的现值、将来值和等额年值。现值计算：把将来某一时点的资金金额或一系列的资金金额换算成较早时间的等值金额，称为“折现”或“贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。将来值计算：将任何时间发生的资金金额换算成其后某一时点的等值金额，将来某时点的资金金额称为“将来值”。等额年值计算：将任何时间发生的资金金额转换成与其等值的每期期末相等的金额。将采用的符号约定如下：i为利率；N为计息期数；P为现值；F为将来值；A为等额年值。终值

假定你打算将$10,000投入到一项收益率为5%的项目中，则1年后你的投资将会增长为$10,500。其中，$500为投资赚得的利息($10,000×.05)$10,000为应归还给你的本金($10,000×1)

$10,500为本息合计，可由下式计算得到：$10,500=$10,000×(1.05)该投资在期末的本息合计金额被称为终值（FutureValue，FV），或复利值。

1.单期投资的情形在单期投资的情形下，终值的计算公式可以写为：

FV=C0×(1+r)

其中，C0

是今天（时间0）的现金流量

r是适用的利率FV=$10,500

年01C0=$10,000$10,000*1.05C0×(1+r)现值

如果你希望对一项报酬率为5%的项目进行投资，1年后获得$10,000，则你在今天应当投入的金额为$9,523.81。为了能在1年后偿还$10,000的债务，债务人在今天就需要存起来的钱，就是现值（PresentValue，PV）。请注意：$10,000=$9,523.81×(1.05)在单期投资的情形下，现值的计算公式可以写为：

其中，C1是第一期末的现金流量

r是适当的利率C1=$10,000

年01PV=$9,523.81$10,000/1.05C1/(1+r)PV=C1/(1+r)净现值

某个项目的净现值（NetPresentValue，NPV）等于该项目的预期现金流量的现值与项目投资成本之差。假定某项投资承诺将在一年后归还$10,000，现在需要的出资金额为$9,500。你的资金利息率为5%。这项投资可行吗？28

未来现金流量的现值大于投资成本额。换言之，该项目的净现值NPV为正，因此该投资可行。在单期投资的情形下，净现值（NPV）的计算公式可以写为：NPV=–投资成本+预期现金流量的PV如果我们没有投资NPV

为正的项目，而是将$9,500以5%的利率投资于其他地方，我们的FV

将少于投资所承诺的$10,000，在终值的意义上我们无疑将损失。$9,500×(1.05)=$9,975

<$10,000.1）

终值和复利计算一项多期投资的终值的一般计算公式可以写为：FV=C0×(1+r)T

其中：

C0

是时间0的现金流量

r是适用的利率

T

是现金投资的时期数2.多期投资的情形假定JayRitter投资某公司首次公开发行的新股。该公司当前支付了$1.10的股利，预期未来五年里股利将每年增长40%。在五年后股利将为多少？FV=C0×(1+r)T$5.92=$1.10×(1.40)5

注意在第五年的股利$5.92大大高于初始的股利加上初始股利$1.10的五次40%的增长之和：$5.92>$1.10+5×[$1.10×.40]=$3.30

这是由于复利（compounding）的缘故。终值和复利012345

终值和复利计算如果资金按复利计算，利息将被进行再投资；而在单利情况下，利息没有进行再投资。

$1×(1+r)2=1+2r+r2>1+2r

如果投资金额越大，期限越长，复利的威力就越大。查表得到“1元钱在T期末的复利值（终值系数）”。我们可以由最初的投资额、利率，计算终值，也可以由初始投资额、终值，求利率。T年末的将来值计算公式为：

F=P·(1+i)T

式中，(1+i)T称为一次支付复利(终值)系数，记为(F／P，i，T)，这样上式可以写成：

F=P·(F／P，i，T)

该式也可理解为：t点处的一笔资金P，在价值尺度为i的情况下，在t+T点处的等值资金F的大小为P·(1+i)T。

复利终值C0=$100FV=?FV=$100（1+10%）5=$161元T=5年查终值系数表（1+10%）5为1.6105【例】某企业投资1000万元，年利率为10％，4年后可得本利共多少？解：在上述问题中P=1000，i=10％，T=4，通过复利公式求解

F=1000×(1+10％)4=1464.1(万元)

查阅利率为10％，期数为4的系数值，得(F／P，i，T)=1.464，有：

F=1000×(F／P，10，4)=1000×l.464=1464.1(万元)

计算未来现金流量的现值的过程叫做“贴现”。它是复利计算的相反过程。一项多期投资的现值的一般计算公式可以写为：

其中：

CT

是在期的现金流量

r

是适用的利率查表可以得到“T期后得到的1元钱的现值（现值系数）”。2）现值和贴现

称为一次支付现值系数，记为(P／F，i，T)，这样上式可表示为：

P=F·(P／F，i，T)

复利现值

P=？F=400PV=400/（1+8%）3=317.6元T=3年查现值系数表[1/（1+8%）]3为0.7938

【例】某企业对投资收益率为10％的项目进行投资，欲4年后得到1464.l万元，现在应投资多少？解：或者P=1464.1×(P／F，10％，4)=1464.1×0.6830=1000(万元)现值和复利

如果当前利率为15%，一个投资者为了在五年后能获得$20,000，现在必须投资多少？012345$20,000PV求现值——多期

假定某项投资期末付给你$200，以后直到第4年末，每年还会将增长$200。如果投资报酬率为12%,这一系列现金流量的现值是多少？如果该投资的发行人对此项投资的要价为$1,500,你应当买入吗？求现值——多期

01234200400600800178.57318.88427.07508.411,432.93现值<成本→不应购入

净现值一系列现金流量的现值就是对各个现金流量现值的加总。一笔在T期里产生效益的投资项目的净现值：求期数

如果今天将$5,000存入一个收益率为10%的帐户中，则需要多长时间我们的帐户金额才能增长到$10,000?年限T系数差值7?81.94872.14362.0513.1949x1插值法测算T值x/1=0.0513/0.1949X=0.2632T=7.2632年年金计算年金(annuity)是指一定时期内一系列相等金额的收付款项。年金按付款方式的不同可分为普通年金、先付年金、延期年金和永续年金。普通年金的收付款项发生在每期的期末。普通年金终值是一系列等额款项的终值之和。普通年金终值（已知A，求F）

…

A(1+r)T-2A(1+r)T-1A(1+r)A(1+r)各年终值之和01AAA……T-1012

T等额分付类型公式等额年值与将来值之间的换算 12nn－10A

AAA（等额年值）12nn－10F（将来值）基本模型

普通年金终值的数学公式为：FVAn=A(1+r)0+A(1+r)1+A(1+r)2+……+A(1+r)T-2+A(1+r)T-1=A[(1+r)0+(1+r)1+(1+r)2+…+(1+r)T-2+(1+r)T-1]

=

是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。年金终值式中：

称为“一元年金的终值”或“年金终值系数”，记作：（F/A,i,n）。该系数可通过查表获得，则：

F=A（F/A,i,n）例：某人每年年末存入银行100元，若年率为10%，则第5年末可从银行一次性取出多少钱？F=100（F/A,10%,5）查表得：（F/A,10%,5）=6.1051F=100×6.1051=610.51（元）等额分付终值计算公式已知一个技术方案或投资项目在每一个计息期期末均支付相同的数额为A

，设利率为i，求第n年末收回本利F

。称为等额分付终值系数，记为等额分付系列公式应用条件1.每期支付金额相同，均为A；2.支付间隔相同，通常为1年；3.每次支付都在对应的期末，终值与最后一期支付同时发生。称为等额分付偿债基金系数，记为已知F

，设利率为i，求n年中每年年末需要支付的等额金额A

。等额分付系列偿债基金公式等额分付系列偿债基金，也称为等额分付系列积累基金。其公式是计算将来值的等额年值。它可理解为，为了在N年末能筹集到一笔钱F，按年利率i，从现在起连续几年每年年末必须存储多少？

【例】某企业5年后需一次性支付200万元的借款，存款利率为10％，从现在起企业每年等额存入银行多少钱？解：或查表求得

A=200×(A／F，10％，5)=200×0.1638=32.75(万元)变化若等额分付的A发生在期初，则需将年初的发生值折算到年末后进行计算。3AF0n12n-14A'例题某大学生贷款读书，每年初需从银行贷款6,000元，年利率为4%，4年后毕业时共计欠银行本利和为多少？为了能在今后几年中每年年末提取相等金额A，现在必须投资多少？012…...T-1T……….普通年金现值——等额分付系列现值公式，是一定时期内每期期末等额款项的现值之和。AA各年现值之和……

等式两边同乘(1+i)……记作(P/A，i，n)——“一元年金的现值”或“年金现值系数”。等额分付现值计算公式已知一个技术方案或投资项目在n年内每年末均获得相同数额的收益为A

，设利率为i，求期初需要的投资额P

。称为等额分付现值系数，记为该系数可通过查表获得，则：

P=A（P/A，i，n）例：租入某设备，每年年末需要支付租金120元，年复利率为10%，则5年内应支付的租金总额的现值为多少？

P=120（P/A，10%，5）查表得：（P/A，10%，5）=3.7908则：P=120×3.7908≈455（元）一个第二年后的四年里每年支付$100的年金，如果利率为9%，它的现值是多少？0 1 2 345$100 $100 $100$100$327.97$297.22该公式是计算现在时点发生的资金金额的期末等额年值。已知一个技术方案或投资项目期初投资额为P，设利率为i，求在n年内每年末需回收的等额资金A

。例如，某人以年利率i存入一项资金P，他希望在今后N年内把本利和在每年年末以等额资金A的方式取出。

式中，为等额分付资金回收系数，记为(A／P，i，N)。

等额分付资本回收计算公式【例】某工程初期总投资为1000万元，利率为5％，问在10年内要将总投资连本带息收回，每年净收益应为多少？解：

或查表求得

A=1000×(A／P，5％，10)=1000×0.1295=129.5(万元)

永续增长年金能始终以某固定的增长率保持增长的一系列现金流。0…1C2C×(1+g)3C×(1+g)2

永续增长年金：例子

预期下一年的股利是$1.30，并预期以5%永久增长。如果贴现率是10%，该股利流量的现值是多少？0…1$1.302$1.30×(1.05)3$1.30×(1.05)2由题意知，每年年末的还本付息额构成9年期普通年金。则：4,000（P/A，i，9）=20,000所以：（P/A，i，9）=20,000/4,000=5查表得：（P/A，12%，9）=5.3282，（P/A，14%，9）=4.9164例：某公司于第一年年初借款20,000元，每年年末还本付息额均为4,000元，连续9年还清。问借款利率为多少？设当柴油机使用n年时，节约的燃料费用刚好抵消增加的投资额。则：500（P/A，10%，n）=2000

所以：（P/A，10%，n）=2000/500=4

查表得:（P/A，10%，5）=3.7908，(P/A，10%，6）=4.3553例：某企业拟购买一台柴油机以更新目前所用的汽油机。购买柴油机与继续使用汽油机相比，将增加投资2000元，但每年可节约燃料费用500元。若利率为10%，求柴油机应至少使用多少年对企业而言才有利？基本公式相互关系示意图（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PFA01234567……n……基本公式相互关系示意图【练习1】某企业向银行贷款1000万元用于工程项目建设，偿还期为