向量代数与空间解析几何

PAGEPAGE89第4章向量代数与空间解析几何4.1空间直角坐标系4.1.1坐标系在空间中任意取定点，从引出三条相互垂直的数轴，它们都以点为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为轴（横轴），轴（纵轴），轴（竖轴），统称为坐标轴，点称为坐标原点。我们常用的是右手系，即用右手握着轴，当右手四指从轴正向转向轴正向时大拇指的指向就是轴的正向。OO图4.1IIIIIIIVVVIVIIVIII在此空间直角坐标系中，轴称为横轴，轴称为纵轴，轴称为竖轴，称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面，坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点与一组有序数之间的一一对应关系。有序数组称为点的坐标；分别称为坐标，坐标，坐标.IIIIIIIVVVIVIIVIII图4.2这八个卦限中坐标的对应符号为：卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ＋－－＋＋－－＋＋＋－－＋＋－－＋＋＋＋－－－－记忆起来也不难：前四个卦限的坐标和坐标和平面直角坐标系中四个象限的符号一样，坐标都是正的；后四个卦限的坐标和坐标和也平面直角坐标系中四个象限的符号一样，坐标都是负的。4.1.2空间两点间的关系设空间两点，，求它们之间的距离。过、两点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图8-4所示的长方体。所以特别地，点与原点的距离为4.2向量代数4.2.1向量的概念在现实世界中，我们常见到两类量：一类是数量，如温度、长度、质量等，这类量只有大小，没有方向也称为标量；还有一类量既有大小也有方向如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量。我们也常用有向线段来表示向量，以为起点为终点的有向线段所示的向量，记为。也可用黑体字母表示，如，，等，有时为了书写方便也用，，，等表示向量。向量的大小称为向量的模，用或表示向量的模．模为1的向量称为单位向量．模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.4.2.2向量的坐标表示向量的运算仅靠几何方法研究有些不便，为此须将向量的运算代数化。基本单位向量,,分别为与轴,轴,轴同向的单位向量.向径的坐标表示点的向径的坐标表达式为=或简记为=.的坐标表示设以为起点,以为终点的向量；的坐标表达式为=.向量的模=.4.2.3向量的运算1.向量的加法①若将向量的终点与向量的起点放在一起，则以的起点为起点，以的终点为终点的向量称为向量与的和向量，记为.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②将两个向量和的起点放在一起，并以和为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：=；结合律：（）+=+（+）.图4.3图4.42.向量与数的乘法运算实数与向量的乘积是一个向量，称为向量与数的乘积，记作，并且规定：①；②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；③当时，是零向量.设都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：结合律：；分配律：,(+)=+.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.3.求与同向的单位向量的方法设向量是一个非零向量，则与同向的单位向量.4.负向量当时，记(-1)=-，则-与的方向相反，模相等，-称为向量的负向量.5.向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为-=+(-1).向量的减法也可按三角形法则进行，只要把与的起点放在一起，-即是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.6.向量的数量积（1）定义设向量之间的夹角为，则称为向量的数量积，记作·，即·=.向量的数量积又称“点积”或“内积”，结果是一个数。向量的数量积还满足下列运算律:交换律：·=·；分配律：(+)·=·+·；结合律：(·)=()·.（2）数量积的坐标表示设，,则·=.（3）向量与的夹角余弦设，,则=.（4）向量的方向余弦,称其为向量的三个方向角，并称,,为的方向余弦，向量的方向余弦的坐标表示为，且.7．向量的向量积（1）定义两个向量与的向量积是一个向量，记作×，结果是一个向量，它的模和方向分别规定如下：①×=；②×的方向为既垂直于又垂直于，并且按顺序,,×符合右手法则.向量的向量积满足如下运算律.反交换律：×=-×；分配律：(+)×=×+×；结合律：(×)=()×=×().（2）向量积的坐标表示设，，则×=.可将×表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即×=.8.三个重要结论给出两个向量a和（1）;（2）⊥0;（3）∥=.其中，“”表示“充分必要条件”．例4.1设向量=44+7的终点的坐标为(2,1,7).求(1)始点的坐标；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量.解：（1）设始点的坐标为，则有，,，得=2,=3,=0;(2)=9;(3)cos=,cos,cos;(4)o==(44+7).例4.2已知向量与向量=及轴垂直，且，求出向量.解：因为，（垂直于轴），故与向量平行.由两向量平行的充要条件，可写成，即==.由题设，得=2，，,从而得=，或=.4.3空间平面与直线4.3.1平面方程设非零向量垂直于平面，则称为平面的法向量（也称为的法矢）。显然，平面有无穷多个法向量，且平面上的任一向量都与其法向量垂直。平面过点，为其一法向量，现推导平面的方程。设点是平面上的任一点（如图8-15）。zz如果一非零向量垂直于平面，则称此向量为该平面的法向量.过点，以=为法向量的点法式平面方程为至少有一个不为零）.将上式加以化简，得，这被称为以=为法向量的一般式平面方程。4.3.2空间直线如果一个非零向量平行于直线,则称为直线的方向向量.设直线过点且以为方向向量,则直线的标准式方程(也称为点向式方程)为.设直线过点且以为方向向量,则直线的参数方程为其中为参数.若直线作为平面和平面的交线，则该直线的一般式方程为其中{}与{}不成比例.4.3.3位置关系1.平面与平面的位置关系设两个平面的方程分别为其法向量分别为=，=，有如下结论：①⊥②∥∥；③.（4）平面的夹角，即为两个平面法向量夹角，其公式为=.（5）点到平面的距离公式为.2.两条直线的位置关系设直线的标准方程分别为其方向向量分别为则有①∥；②⊥⊥.3.直线与平面的位置关系直线与它在平面上的投影线间的夹角，称为直线与平面的夹角.设直线的方程分别为则直线的方向向量为，平面的法向量为，向量与向量间的夹角为，于是,所以==.由此可知：∥⊥⊥.①⊥;②∥⊥;③∥.例4.3求平行于轴，且过点与的平面方程.解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量.因为平面平行于轴，所以.又因为平面过点与，所以必有.于是，取=,而={2，7，4}，所以==，因此，由平面的点法式方程，得，即.解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为,由于平面平行于轴，所以，原方程变为，又所求平面过点(1,5,1)与(3,2,3)，将的坐标代入上述方程，得解之得,,代入所设方程，故所求平面方程为.例4.4求通过点(3,0,0)和点(0,0,1)且与平面成角的平面的方程.解：设所求平面方程为，平面过点(3,0,0)，有,即，①平面过点(0,0,1),有,即，②又,平面与面成角，有==，③即，解①②③得=,故所求平面为，即.例4.5求过点且垂直于直线的平面方程.解：已知直线的方向向量为==,由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量，即=，由点法式得平面方程，即.例4.6求通过点且与直线垂直相交的直线方程.解：利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量.为此先求出过点且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量，即可得到所求的直线方程.其步骤如下：(i)过点垂直于已知直线的平面方程为，即.(ii)求上述平面与直线的交点，为此令=，,,，将上述参数方程代入平面中，有，得=,所以,,=，即,所以,(iii)写出所求直线方程。由于直线过点，故所求直线方程为，即.例4.7求过点且与两平面：和：平行的直线方程.解：设所求直线的方向向量为，，，因为所求直线与,平行，所以,,取====,故所求直线的方程为.习题41.一边长为的立方体放置在面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在轴和轴上，求它的各顶点的坐标。答案：、、、、、、、。2.求点到各坐标轴的距离。答案：，，。3.设已知两点和，计算的模、方向余弦、方向角以及和方向一致的单位向量。答案：模:2;方向余弦:方向角:和方向一致的单位向量:4.设、，求:（1）（2）（3）的夹角的余弦。答案：5.已知、、，求与、同时垂直的单位向量。答案：6.已知求的面积。答案：.7.一动点与两定点和等距离，求动点的轨迹方程。答案：10.求过点且与平面平行的平面方程。答案：.11.求过点、和的平面方程。答案：12.一平面过点且平行于向量，,试求此平面方程。答案：13.求与平面平行，且在轴上截距等于的平面方程。答案：14.试确定的值，使平面、：（1）互相垂直；（2）互相平行；（3）重合。答案：15.求平面与坐标面的夹角的余弦。答案：16.求点到平面的距离。答案：1.17.求过点且与两平面和平行的直线方程。答案：18.求过点且通过直线的平面方程。答案：