勾股定理的逆定理

17．2勾股定理的逆定理（第1课时）一、内容和内容解析1．内容勾股定理的逆定理证明及简单应用，原命题、逆命题的概念及相互关系.2．内容解析勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是利用三角形边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题.二、目标和目标解析1．目标（1）理解勾股定理的逆定理，经历“实验—猜想—论证”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想方法.（2）理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.2．目标解析目标（1）要求经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法.要求能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形.目标（2）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时逆命题不一定为真命题.理解判断逆命题为假命题只需举出反例即可，但要说明逆命题，必须通过证明.三、教学问题诊断分析证明勾股定理的逆定理的实质，是通过a2+b2=c2证明三角形中有一个角为90°.勾股定理的证明方法很多,有400多种,教材也提供了多种证法,而勾股定理逆定理的证明,教材的编写却相当“简洁”,即先用“构造法”构造一个直角三角形,再利用三角形全等得以证明.这个定理的证明方法学生不太容易想到.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：勾股定理的逆定理的推导.四、教学过程设计1．创设情境问题1你能说出勾股定理的题设和结论吗？师生活动：师生共同回忆勾股定理，并让学生正确说出勾股定理的题设和结论，教师揭示勾股定理从形的特殊性得出边之间的数量关系.追问：反过来，由a2+b2=c2能否确定这是一个直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．问题2古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．追问：请你测量这个图中的最大角，它是直角吗？然后回答问题:（1）这组数都满足a2+b2=c2吗？（2）再换一组数据试试:，6cm，（是否满足a2+b2=c2，是否为直角三角形？）（3）任意满足a2+b2=c2的三边都可以吗?几何画板再次验证.结合勾股定理，请提出你的猜想：猜想命题:如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理． 师生活动：教师借助电子白板平台演示，指导学生按要求画出三角形，并用几何画板演示满足a2+b2=c2的三边组成的是直角三角形.由特殊到一般，引导归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．追问:古埃及人用这种方法确实得到的是直角,你知道为什么吗？设计意图：探究的问题与学生的生活经验相关联，并且渗透了数学史知识，因此唤起了学生的探究兴趣，引起了学生的认知冲突，触发了学生的多元思考.2．证明逆定理问题3:请写出这个命题的题设和结论.追问:你能根据以上题设和结论画图并写出已知求证吗?已知:如图,△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形问题4:要证明△ABC是直角三角形,只要证∠C=90°,由已知条件能直接证明吗?追问:不能直接证明,怎么办呢?前面我们已学习过勾股定理，而此问题中的已知条件a2+b2=c2类似于勾股定理中的结论.如果要想应用已有知识，首先想到的是应用勾股定理，而要应用勾股定理就必须得有直角三角形这个条件，所以想到要构造一个直角三角形和这个三角形全等，再应用全等性质得到直角.证明:作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=，B’C’=，那么A’B’=（勾股定理）又∵（已知）∴A’B’=，A’B’=c(A’B’＞0)在△ABC和△A’B’C’中，BC==B’C’CA==C’A’AB==A’B’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形老师还要告诉大家的是，本题的构造法是一种很特殊的构造法，叫同一法.我们将猜想证出，得到勾股定理的逆定理（板书），它是判定直角三角形的又一种方法.勾股定理的逆定理的证明方法不止这一种，目前有8种，有兴趣的同学可以课下继续研究.设计意图:用构造的方法或同一法来证明数学问题是一个富有思考性的问题，怎样构造？为什么这样构造？你是怎样想到的？等等.这对培养学生的数学思维能力极为有益.但如果教师很突然地构造了直角三角形，只是让学生计算一下，来说明两个三角形是否全等，这就降低了教学的要求.长此以往，“机械学习”也在所难免.学生自己经过探索发现的命题，无论从思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出命题再加以证明更富有吸引力.数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维，有了猜想的结果，猜想正确的证明就变成了学生自发的需要.“先猜，后证”，这是大多数科学的发现之道.从而也突破了本节难点.3.互逆命题,互逆定理问题5：比较勾股定理的逆定理和勾股定理,这两个命题的题设和结论有何关系？设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面遇到过有互逆命题吗?说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)全等三角形的对应角相等．设计意图:当学生探究得到了勾股定理的逆定理，如果教师马上转向例题，讲定理的应用，势必造成学生对数学定理的肤浅理解，失去了一次培养学生反思的良好机会.于是，教师继续提出问题让学生思考.当学生发现所证定理和前面的勾股定理是互逆关系，进而也理解了原定理、逆定理、原命题、逆命题等数学概念，这时教师继续追问：如果一个原命题成立，那么它的逆命题成立吗？让学生举例说明，最后学生得出结论：一个原命题成立，它的逆命题不一定成立.事实上，对于原定理、逆定理、原命题、逆命题等数学概念，学生是比较容易理解的，在得出勾股定理的逆定理后，让学生将其作为“副产品”来探究发现，既保证了本节课的重点，又节约了时间，提高了教学效率.4．定理应用例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝11,b＝13,c＝12解（1）∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形（2）∵112＋122＝169＋196＝265132＝169∴112＋122≠132∴这个三角形不是直角三角形巩固练习:下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15(2)a=13b=14c=15(3)a=1b=2c=(4)a:b:c=3:4:5像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.追问：我们见国哪些勾股数？介绍勾股数的历史:我国古代数学和天文著作《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”就是最简单的一组勾股数，即3,4,5，它是人们认识发现最早的一组勾股数.勾股数有无数组，最早研究并发现大批勾股数的是古巴比伦人.经研究发现，距今大约3000年前，古巴比伦人留下了一份数学手稿(古巴比伦数学泥板书)中记下了下面15组勾股数：⑴119,120,169⑵3367,3456,4825⑶4601,4800,6649⑷12709,13500,18541⑸65，72，97⑹319,360,481⑺2291,2700,3541⑻799,960,1249⑼481,600,769⑽4961,6480,8161⑾45，60,75⑿1679,2400,2929⒀161,240,289⒁1771,2700,3229⒂56,90,106三千年前的古人，就能取得如此辉煌的成就，确实令人惊讶和崇敬！设计意图:巩固逆定理，对学生渗透数学文化，感受古人的智慧.5.小结谈谈你的收获:(1)勾股定理的逆定理,它的作用是什么?我们是用什么方法证明这个定理的?(2)什么叫做互逆命题、原命题与逆命题?什么称为互为逆定理?6.课后作业书34页：习题第1题、第4题、第5题练习册：第一课时A（B组选做）7.达标测评：1、三角形三边长a、b、c满足条件(a+b)2－c2=2ab，则此三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形2、已知△ABC的三边长为a、b、c且a=m2－n2，b=2mn,c=m2+n2，(m>n,m、n是正整数,则此三角形是直角三角形吗?说明理由.3、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?五、课后反思1．“问题-探究”教学的一些思考：本节课的核心是“问题-探究”.探究的本质是对“未知”不懈的“追问”，通过对问题的不断解决和“追问”，探究出未知的数学世界，这既符合数学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律.探究学习可以是有意义的，也可能是机械的.探究式学习有时也被人们称为“问题导向式”的学习，因此“数学问题”往往被视为探究式学习的核心.没有问题的思考，不是真正的思考；没有思考的探究，不是真正的探究.2．营造数学文化：本节课多次渗透了数学史的知识：古埃及确定直角的方法，中国的《周髀算经》，古巴比仑数学泥板书，旨在激发兴趣，提高学生们的创新意识.3．借助媒体：经过