第8讲.竞赛123班.教师版

不定方程不定方程第八讲教学目标教学目标在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。不定方程的试值技巧不定方程的经典题例不定方程是指不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设，，分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解，，，这是一个三元不定方程组问题。经典精讲经典精讲基本基本题型庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知个大和尚每天共吃个馒头，个小和尚每天共吃个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有个大和尚，个小和尚，则共吃个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：，化简为。当，时和尚最少，有（个）。把拆成两个数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要大），求这两个数。【分析】这是一道整数分拆的常规题。可列式，要让取最大值，可把式子变形为，当时，。则的拆的两个数一是，。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。或者直接把除以余，不是的倍数，只能退出若干个，与余数合起来是，，，，，直到出现的倍数为止。马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金元，乙公司每月付给他薪金元．年终，马小富从两家公司共获薪金元．他在甲公司打工_____个月，在乙公司兼职______个月。【分析】设马小富在甲公司打工月，在乙公司兼职月(，、都是不大于的自然数)，则有。若为偶数，则的末位数字为，从而的末位数字必为，这时．但时，，这与矛盾，所以必为奇数．为奇数时，的末位数字为，从而的末位数字为，或．但时同样会导出，与矛盾．所以，．。于是马小富在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月。小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声。问：波斯猫至少叫了多少声?【分析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声。设早晨见面次，晚上见面次。根据题意有（，）。可以凑出，当时，；当时，；当时，。因为小花狗共叫声，越大，小花狗叫得越多，波斯猫叫得越少，所以，时波斯猫叫得最少，共叫(声)。蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有名男女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选。已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多。参加决赛的男、女选手各有多少人？【分析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛时女选手人数的，所以参加初赛的男选手应是的倍数，参加初赛的女选手应是的倍数。设参加初赛的男生为人，参加初赛的女生为人。根据题意可列方程。解得，或。又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多。所以第一组解不合适，只有，。故参加决赛的男选手为人，女选手为人。若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“”，“”表示的六位数最少是______。【分析】设“”。“”。于是。即，亦即。从而整除，并且整除，为使满足条件的“”尽可能小，我们应该取，，但此时有相同的数字，不符合题意；再取，，此时满足条件，于是所求为。某市电话号码原为位数，第一次升位是在首位和第二位数字之间加上成为一个位数，第二次升位是在首位数字前加上成为一个位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好位原来的六位数的电话号码的倍，那么原来的电话号码是______。【分析】设原来的电话号码的第一位数是，后五位数是。根据题意列方程即因为为数字，的位数不超过，推算得，，所以原来的电话号码是。某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差”，到今天为止正好就是。”请问：他是在哪一天出生？【分析】设男孩的年龄为个年和个月，即个月，由此有方程式成立，也就是，，，所以，而且，从年月日那天退回年和个月就是他的生日。年月日。【拓展】若干学生搬一堆砖，若每人搬块，则剩下块未搬走，若每人搬块，则最后一名学生只搬块，那么学生共有______人。【分析】设有个学生，根据砖的数量可得方程，。因为是质数，所以和中一个是，另一个是，因为，所以。学生人数为人。不定方程不定方程求解小结含有两个未知数的整系数不定方程求解的方法一般有两种：（1）尝试枚举法：首先确定其中一个未知数的取值范围，再将符合条件的未知数的值逐个代入方程，求出对应的另一个未知数的值，最后检验该组解是否符合题目条件。一般来说，不定方程中（、、都是整数），较大系数（或）所对应的未知数可取得的值较少，所以以该未知数的值进行尝试枚举比较方便。（2）整除判断法，将其中一个未知数用另一个未知数来表示，通过整除和余数的性质判断另一未知数可以取得哪些值。多个未知数多个未知数不定方程是由于联立方程的条件不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。当不定方程（组）中所包含的未知数超过个时，通过联立各条方程，进行消元，将多元方程组转化为二元整系数不定方程进行处理。有一项工程，甲单独做需天，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了______天。【分析】设这项工程用了天，丙休息了天。，，。由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在的条件下，只有，一组解，即丙休息了天。头牛卖个金币，头猪卖个金币，只羊卖个金币。有人用个金币买了三种牲畜共头（只），问牛、猪、羊各买了多少头（只）？【分析】如果用未知数、、分别表示所买的牛、猪、羊的头（只）数，则可以根据它们的总数是头（只）和三种牲畜的总价之和是个金币，分别列出方程。由，得。即。因、、都是自然数，所以可取、、，相应地，的取值是、、。把、,、、、分别代入，依次可取、、。因此有三种买法：牛头，猪头，羊只；牛头，猪头，羊只；牛头，猪头，羊只。注：题说“有人用个金币买了三种牲畜共头”表示三种牲畜都买了，所设的、、必不包括。某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支．那么获二等奖的有___人。【分析】（法一）根据“后来改为一等奖每人发支”，可以确定获一等奖的人数小于。否则仅一等奖就要发不小于支铅笔，已超过支，这是不可能的。分别考虑一等奖有人或者人的情况：获一等奖有人时，改变后这人共多得支。而每个二等奖与每个三等奖的合在一起，仍然共得支铅笔，这表明三等奖应比二等奖多人，他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的，但，所以这种情况不可能发生。获一等奖有1人时，类似前种情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多人，获二等奖的有(人)。经检验，获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人符合题目要求。（法二）设一、二、三等奖的人数分别有、、人，则有方程组：将消元，则有，显然的该届方程的正整数解只有，继而可得到。所以获一、二、三等奖的人数分别有、、人。某次聚餐，每一个男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这活动共有多少人参加（成人和孩子）？【分析】设男宾有人，女宾有人，则由题意得方程，即，有四组解：，，和，但能被整除，只能取后两组。所以，这活动共有人或人参加。【拓展】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有三分之一的职工各带一个孩子参加。男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？【分析】因有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数。设男职工有人，女职工人。则职工总人数是人，孩子是人。得到方程：。化简得：。因男职工与女职工的人数都是整数。所以当时，；当时，；当，。，是的倍数。符合题意。，不是的倍数。不合题意。所以其中有12名男职工。【拓展】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍。如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么乙一队将是第二堆的倍。问：第一堆中的砖头最少有多少块？【分析】设第一堆砖有块，则第二堆砖有块。再设从第二堆中取出块放在第一堆，第一堆将是第二堆的倍，可列方程，。因为是整数，与互质，所以应是的倍数，最小是。推知最小是，所以，砖头最少有块。

附加题目附加题目码头在码头的的上游，遥控舰模从码头出发，在两个码头之间往返航行，已知舰模在静水中的速度是每分钟米，水流的速度是每分钟米，出发后分钟，舰模位于码头的下游米。问：码头和码头之间的距离是多少米？【分析】舰模从码头顺流而下米，航行时间（分钟），（分钟）。因此，舰模出发后第分钟又回到码头。所以，在这分钟中，舰模顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同。设在分钟中，舰模顺流航行的时间为，逆流航行的时间是，顺流航行的速度为（米/分钟），应当有，解得（分钟）。因此，出发分钟后舰模的总的航程是（米）。（2）设两个码头的距离是米，则，其中是整数，则。由于，所以，，即，米。所以两个码头之间的距离为米。如图，小明家和小强家相距千米，小强家与公园相距千米．小明从家骑车出发去公园，小强从家出发，步行去公园．当小明到达学校时，他立即弃车步行；又过了一会儿，当小强到达学校时，他立即开始骑车．两人同时于下午到达公园．如果两人步行速度相同，骑车速度也相同，那么学校与公园相距多少千米?【分析】设相距千米，骑车速度和步行速度为和。那么有：三个未知数有两个方程，显然要么无解，要么有无数组解。事实上只要注意到：方程满足时，取任意值，都成立。但是步行速度和骑车速度是不可能相等的。两方程相加得到：，,代入第一条方程：。因式分解：，因为，所以千米。如图是一种电脑射击游戏的示意图：线段，和的长度都是厘米，，，分别是它们的中点，并且位于同一条线段上，厘米，．已知上的小圆环的速度是每秒厘米，上小圆环的速度是每秒厘米，上小圆环的速度是每秒厘米。零时刻，，，上各有一个小圆环从左端点同时开始在线段上往返运动。问：此时，从点向发射一颗子弹，要想穿过三个圆环，子弹的速度最大为每秒多少厘米？【分析】设子弹速度是。则有：子弹穿过CD上的圆环：；①子弹穿过EF上的圆环：；②子弹穿过GH上的圆环：．③这里＜＜都是正整数。解①，得到或代入②，得到：；代入③，得到：，和互质，并且，要求速度最大，则正整数应当尽可能小，所以，，代入，得到最大速度是。巩固精练巩固精练小龙的储蓄罐里有角、角、元三种硬币，正好是元，他的储蓄罐里硬币的总枚数有多少种可能？【答案】（种）。袋子里有三种球，分别标有数字，和，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是。问：小明最多摸出几个标有数字的球？【分析】设摸出标有数字，和的球分别为,，个，于是有，得由于，都是正整数，因此在中，取时．取最大值。个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号每个重克，小号每个重克。问：大、中、小号钢珠各多少个?【解】设大、中号钢珠分别有，个，则小号钢珠有个。由题意可得，化简得。可求出正整数解，，。张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣或件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？【分析】如果天都缝制上衣，共件，，这就要把上衣换成裙裤，张每天可多换件，李每天可多换件，设张缝制裙裤天，李缝制裙裤天，则，整数解只有，。因此共缝裙裤件，上衣共件。篮球运动起源于１８９１年，由美国的体育教师詹姆士·奈史密斯博士发明。１９３６年柏林奥运会上，男子篮球比赛第一次被列为正式比赛项目。女子篮球到１９７６年蒙特利尔奥运会上才被正式纳入。奥运会上只设男子和女子团队两块金牌。