三年级数学下数学广角

第8单元数学广角——搭配(二)学生在二年级上册“数学广角”的学习中已经接触了简单的排列和组合,在此基础上,本单元内容难度稍有提升,不仅数据加大了,而且问题情况也更加复杂,同时给出了更简洁、更抽象的表达方式,进一步培养学生有序、全面思考问题的能力。例1,要求学生用4个数字(含0)组成没有重复数字的两位数,教学稍复杂的排列问题。与二年级上册相比,不仅元素(排列的数字)多了1个,而且增加的是0这个特殊元素。例2,通过搭配服装的问题,教学分步乘法计算原理。例3,要求找出4支球队的比赛(每两个队赛一场)次数,教学组合问题。与二年级上册相比,素材不同,且多了一个元素。在二年级时,学生主要通过具体操作、观察、猜测等活动初步感受排列与组合的思想和方法。本单元教学的重点应放在引导学生以更简洁、更抽象的方式把思考的过程和结果表达出来,培养学生有序、全面思考问题的能力。本单元教材编排的特点:(1)广泛选取学生熟悉的事例,易于学生的理解和体会。排列与组合是组合教学的基础,而且在日常生活中应用比较广泛。例如,邮政编码、电话号码、车牌号码、身份证号码等各种编码和体育比赛中场次的设定等,都需要用到排列组合知识。组两位数、衣服搭配、打电话、球赛场次、照相、取硬币、选图书等,是学生在学习和生活中经常遇到的问题。有些内容在二年级上册已出现过(如组两位数、衣服搭配、送图书、付钱等),教材选取这些学生熟悉的内容,易于学生把握问题结构,借助生活经验理解和思考,同时,能使学生更好地体会数学的应用价值。(2)数形结合,用符号化的呈现形式凸显有序、全面的思考方法。排列组合的知识对于三年级的学生来说比较抽象,此时,学生解决这类问题的经验和方法还停留在二年级具体操作的层面上。本单元教材的设计意图是通过直观图示把抽象的思考过程呈现出来,突出了有序、全面的思考方法,体现数形结合的思想。同时也体现了此阶段对学生思维水平的要求,便于教师把握教学重点。(3)让学生通过写一写、画一画、连一连等活动,获得抽象的数学方法的体会和理解。本单元的3个例题都呈现了多种解决问题的方法和策略,体现了数形结合、符号化、分类讨论、有序等数学思想。这些内容都比较抽象。教材呈现了让学生动手写一写(如例1固定十位数按顺序写一写)、画一画(如例2用画图形表示如何搭配)、连一连(如例3用连线找出有多少种比赛情况)等活动,学习如何展示思维过程和思考结果。一方面帮助学生学会用更简洁的方式表达思考过程和解决问题的结果,体会并理解抽象的数学方法。另一方面,在学习活动中体会有序、全面思考的分类讨论方法,进而培养学生有序、全面思考问题的能力。使学生经历寻找稍复杂事物排列数或组合数的过程,掌握简单搭配的方法,发展有序、全面思考问题的能力。1.使学生经历“数学化”的过程,能用比较简洁、抽象的方式进行表达,体会分类讨论思想、数形结合思想、符号化思想。2.初步培养学生的观察、分析及推理能力,以及有序、全面地思考问题的意识。探索解决问题的有效策略,使学生感受数学在现实生活中的广泛应用,尝试用数学的方法解决实际生活中的问题。1.感受数学在生活的广泛应用,增强学习数学的兴趣。2.使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯,并初步学会表达解决问题的大致过程和结果。【重点】结合具体情境,能够有序地思考,掌握简单的搭配方法。【难点】使学生能有序地思考问题,做到既不重复也不遗漏。1.创设学生熟悉的情境和活动,经历知识的形成过程,培养“四能”数学教学要让学生经历知识的形成过程,这是《课程标准》所倡导的理念之一,所谓“经历”是指“在特定的数学活动中,获得一些初步的经验”。要“经历”就必须有一个特定的现实的活动情境,因此,要有意识地创设学生熟悉的情境,帮助他们联系自己身边具体的事物发现并提出问题,通过观察、操作、猜想等活动,感受数学与生活的密切联系,积累这方面的经验。2.借助多种学习方式和关键性问题,引导学生的思维活动逐步走向深入,掌握有序、全面思考问题的方法排列和组合是很抽象的数学知识,教学中,需要通过多种活动把这些抽象的知识直观化,具体化。要用写一写、画一画、摆一摆等多种形式表示思维过程,在教学中可以采用独立思考表达想法、动手实践体验思考、同伴互助分享思维、小组合作相互读懂等多种学习方式,促进学生的思考与交流,展示多种解决问题的方法,在个体与小组、团体的思维碰撞中不断感受提升,找出排列数和组合数,最终掌握有序、全面的思考方法。要想引导学生思维活动逐步深入,在教学中可提出以下三个问题。第一,同学们能用自己想到的方法,把找到全部“搭配”的过程表示出来吗?此问题意在把学生从仅仅关注答案引导到关注寻找答案的过程上,从而生成丰富的教学资源。第二,同学们寻找有多少种搭配方法,表达的形式不同(画图、文字、符号等),但是都做到了不重不漏,这中间一定有共同的经验。此问题在从不同的方法中揭示出问题的本质——有序思考,引导学生体会有序思考的价值。第三,科学家们都十分看重有序思考,有序思考在我们生活和学习中也经常用到,你能举个例子说说吗?此问题意在深化学生对有序思考的认识,并让学生经历认识的完整过程:实践——认识——再实践。3.把握教学要求“到位”而不“越位”教学中,既要指导学生根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物的排列数和组合数,还要注意,只要求学生用图示的方法把所有的排列或组合情况列举出来(即有哪些排列或组合),不要求抽象地计算出一共有多少种排列数或组合数,不要拔高要求。教学中应鼓励学生用自己喜欢的方式表达思维过程和结果,但是,诸如排列、组合、分类计数原理、分步计数原理等名词,不必出现也不用向学生进行解释。1稍复杂的排列问题例1教学排列问题,这是用4个数字(含0)组成两位数的问题。在二年级上册探索非0的3个数字组成两位数的基础上,增加了数字0。“按顺序”“不重不漏”是思考的关键,还体现了分类讨论的方法。在教学中利用已有的活动经验,借助正迁移,引导学生自主探索。可以先带领学生回顾二年级上册解决该类问题的思路与方法,再提出题目的变化:增加“0”,鼓励学生自主探索问题的解决方案。可以提问:“多了一个数字0,有什么不同吗?”让学生说一说“可选择的数字多了一个”“0不能写在十位上”“虽然数字多了,但方法与二年级上册时学习的方法一样”,引导学生借助复习回顾时唤起的经验,利用知识和方法的正迁移自主探索解决问题。1.通过观察、猜测、试验等活动,找出简单事物的排列组合数。2.使学生在解决问题的过程中体验解题策略的多样性,初步学会用数学语言表达自己的观点。3.培养学生全面、有序地思考问题的意识,养成与人合作的良好习惯。【重点】能够有序、全面地思考问题并用数学语言及符号清楚地表达自己的观点。【难点】锻炼学生有序、全面思考的能力。【教师准备】PPT课件。【学生准备】数字卡片。1.十位上是“2”的两位数共有多少个?2.个位上是“0”的两位数共有多少个?【参考答案】个个方法一(PPT课件出示密码门)师:我们来到数学乐园门口,发现门紧锁着,想要进去必须先破译门锁上的密码。这密码是由三个数字1,3,5组成的没有重复数字的两位数,猜一猜可能是哪个密码。学生七嘴八舌随意猜。师:要求至少需要试几次才能保证把门打开,需要知道什么?预设生:要知道用1,3,5可以摆出几个不同的两位数。师:同学们用卡片摆一摆。集体交流。(PPT课件展示)十位相同,个位不同的两位数各有2个,所以一共有6个两位数:师:谁能说说这是怎么排列的?预设生:我们在排列数字的时候,要做到有序排列,这样才能不重复和不遗漏,又快又准确地找出所有结果。师:这节课我们来继续研究这样的问题。(板书课题:稍复杂的排列问题)[设计意图]通过复习回忆用三个数排列无重复数字的两位数的知识,唤起学生的旧知,为授新课打下基础。方法二师:同学们喜欢小动物吗?(喜欢)森林学校的小动物们遇到了难题,你们能帮帮他们吗?猴博士拿了两把锁,需要小动物们为这两把锁设计密码。(PPT课件出示)1.第一把锁上有两个数字1和2,要设计出没有重复数字的两位数来作为密码,想一想,你能设计几个密码?预设生:能设计两个。师:请上台写给同学们看,并说出你的方法。预设生:我先把1放在十位上,2放在个位上,组成12,然后颠倒一下,2放在十位上,1放在个位上,组成21。(PPT课件出示)2.第二把锁上有三个数字:1,2和3,也要设计出没有重复数字的两位数,想一想,能设计出几个不同的两位数呢?小组讨论。预设生:我想把数字1放在十位,然后把数字2和3分别放在个位组成数字12和13;我再把数字2放在十位,然后把数字1和3分别放在个位组成21和23;我再把数字3放在十位,然后把数字1和2分别放在个位组成31和32,一共摆出了6个两位数。(12,13,21,23,31,32)师:怎样写能又对又快呢?预设生:要按一定的顺序排列,既不会重复,也不会遗漏。师:这节课我们将学习四个数字的排列。(板书课题:稍复杂的排列问题)[设计意图]复习回忆以前学过的简单的数字排列,唤起学生的记忆,为新课的学习作铺垫。学习例1,数字的排列1.提出问题,引起思考。(PPT课件出示例1)用0,1,3,5能组成多少个没有重复数字的两位数?师:这题与刚才的题目有什么不同?预设生:多了一个数字“0”。师:多了一个“0”,有什么不同吗?预设生1:可选择的数字多了一个,排列出来的数就多。生2:0不能写在十位上。生3:虽然数字多了,但方法与二年级学过的方法一样。师:先独立思考,然后以小组为单位,合作完成,同时思考下面的问题:(1)怎样摆能保证不重不漏?(2)一共摆出了几个两位数?是怎样摆的?(3)用什么方法记录既清楚明了又不重不漏?2.学生以小组为单位探究,教师巡视、指导。3.学生交流,记录结果。有的是有序排列,有的是无序排列,有的数重复了,有的少写了一些数。(把有序排列的放一起,把无序排列的放一起)投影展示有序排列的:方法一:十位如果是1,可以摆出10,13,15;十位如果是3,可以摆出30,31,35;十位如果是5,可以摆出50,51,53。方法二:把方法二张贴在黑板上,当成板书。方法三:选0,1,可以组成10;选0,3,可以组成30;选0,5,可以组成50;选1,3,可以组成13,31;选1,5,可以组成15,51;选3,5,可以组成35,53。师:你们做事情真是细心,是老师学习的好榜样。谁能回答刚才的思考问题?预设生1:按照一定的顺序来排就能保证不重不漏。生2:十位相同,个位不同的两位数各有3个,所以一共有9(3×3=9)个两位数,是按数位排的。(随学生回答板书:3×3=9(个))生3:按照一定的顺序记录,就能保证不重不漏,清楚明了。4.总结方法。师:刚才第二位同学用数字卡片进行有序的排列,让人很清楚地数出有9种排列方法。咱们应该怎样进行有序排列呢?(1)首位固定法。师:观察有规律排列的数,你发现了什么规律?预设生1:十位为1的有3个数,十位为3的有3个数,十位为5的有3个数。生2:先固定十位上的数,再确定个位上的数。师:为什么十位不能为0?预设生:因为整数的最高位不能为0。师:这种方法叫做首位固定法。(板书:首位固定法)如果是组成三位数,我们应该先固定什么位?预设生:如果是组成三位数,我们应该先固定百位。(2)连线法。师:你还能用自己的方法又快又准地找出全部的排法吗?(生动手记录)师:你是怎样做的?预设生:我用连线的方法。(学生展示)(板书:连线法)(PPT课件出示上述连线方法)师:我们来比较一下,谁的表示方法更好一些呢?预设生:方法都差不多,都要先固定首位,然后依次排列个位上的数。只是形式不同罢了。师小结:我们在给数字排列的时候,用哪种方法都可以。只有做到了有序排列,不重复和不遗漏,才能又快又准确地找出所有结果。5.巩固练习。完成教材第101页做一做第1,2题。【参考答案】个2.提示:先分给小丽1块,再将剩下的4块分给小明和小红,有3种分法;先分给小丽2块,剩下的3块给小明和小红,有2种分法;先分给小丽3块,剩下的2块分给小明和小红,有1种分法。一共有6种分法。[设计意图]引导学生进行有序排列,通过观察找出排列的规律,既学习了新知识,体验解题策略的多样性,又培养了学生全面、有序地思考问题的意识。1.用1,6,9三个数字能组成哪些没有重复数字的两位数?2.用0,3,6,8能组成多少个没有重复数字的两位数?写写看。【参考答案】,19,61,69,91,96。个:30,36,38;60,63,68;80,83,86。师:这节课你有什么收获?预设生:这节课我们学习了怎样有序地思考问题,可以用固定首位法来有序思考,不重复和不遗漏就能又快又准确地找出所有结果。作业1教材第104页练习二十二第1,2,3题。作业2【基础巩固】1.(基础题)用0,2,4,8四个数字能组成哪些不同的两位数(没有重复数字)?2.(重点题)把10个苹果分给3个小朋友,每人最少分3个,可以有多少种不同的分法?【提升培优】3.(易错题)兔妈妈要为孩子们参加运动会做号码布,她分到的号码是用0,1,2三个数字无重复排成的三位数,你能算出兔妈妈最多要为几个孩子做号码布吗?(0可以做号码的最高位)4.(重点题)用2,0,5,8四个数字可以组成哪些不同的三位数(没有重复数字)?【思维创新】5.(难点题)四个人坐一排照相,一共有多少种不同的坐法?【参考答案】作业1:种个种作业2:,24,28,40,42,48,80,82,84种个250208280258285520528502508580582802805820825850852种稍复杂的排列问题3×3=9(个)(1)首位固定法。(2)连线法。1.动手实践、自主探索、合作交流成为学生学习的主要方式。上课开始我就组织学生摆一摆,加强外部操作的直观性,引导学生操作、思考,充分发挥学生的主观能动性,促进学生积极参与学习活动。让学生亲身经历了探究过程,体验了探索的成功或失败。2.师生互动。我通过比较诚恳的态度和有激励性的语言来和学生交流,使学生完全是在平等、自由、和谐的氛围中学习,教师已经成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。由于学生的认知水平还停留在感性层面,在排列数字这一活动中,不少学生没有按照一定的顺序排,但却排出了所有的搭配方法,显得凌乱。针对学生不按顺序排列,我会这样引导:“老师都看花了,你能不能按照刚才那种方法再排一下……”这样学生二次排可能还会乱,出现重复,老师就可抓住问题让其他学生上来排;师:“你们觉得他这样排怎样?其他同学有没有更好的方法……”最后再引导学生总结出有序的排列,不重复、不遗漏就能准确地找出所有的结果。教师要善于有效地引导学生,提高活动的效率。【做一做·101页】1.用0,2,4,6可以组成多少个没有重复数字的两位数?9个2.把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红,每人至少分1块。有多少种分法?6种用5,7,9,0能组成哪些没有重复数字的三位数?[名师点拨]排列三位数,先固定百位数字(0不能放在首位),再固定十位数字,最后排列个位数字,按顺序排列。[解答]【知识拓展】排列两位数或三位数时,要先固定首位,再按顺序排列,就能做到不重复、不遗漏,但要注意0不能放在首位。排列与组合的区别排列与组合的区别在于看问题是否和顺序有关,有关就是排列,无关就是组合。排列:比如说排队问题。甲、乙两人排队,先排甲,那么站法是甲乙,先排乙,那么站法是乙甲,是两种不同的排法,和先排还是后排的顺序有关,所以是2种排法。组合:比如说甲乙两人握手,两人是同时握手,不分先后,所以是1种方法。2搭配问题例2选取解决服装搭配的问题,用以培养学生有序、全面思考的能力。所创设的问题情境贴近学生的生活,且易于理解和探究。鼓励学生用多种方式表达思考过程,展示交流,突出有序思考。学生自主探究时,应注意鼓励学生用自己的方式清楚表达思考的过程,并在巡视过程中注意收集不同方法的样本。全班交流时,可按照由具体到抽象的顺序展示学生的不同方法,引导学生读懂每种方式所运用的表达方式,重点突出如何有序思考。展示学生的不同表达后,可以将它们放在一起,引导学生比较、观察。通过对比使学生看到由具体文字表述、画图表示到用抽象的符号表达的变化过程,体会符号表达的简洁、明确等优点,进一步认识符号对于进行数学表达和数学思考的重要作用。体会图形的直观性和数形结合思想的优势。1.使学生了解生活中的一些简单搭配现象,通过操作提出不同的搭配方案。2.使学生在探索不同搭配方案的过程中发现一些简单的规律,初步体会有序思想和符号化思想。3.引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题,学会表达解决问题的大致过程;培养学生的合作意识和人际交往能力。【重点】初步掌握搭配的方法,体会有序思考的价值。【难点】能够有序地进行搭配,用适当方式表达出搭配的过程和结果。【教师准备】PPT课件,衣服和裤子的图片若干。【学生准备】衣服和裤子的图片若干。排一排,有哪些不同的读法?再读一读。不怕辣【参考答案】不怕辣不辣怕怕不辣怕辣不辣不怕辣怕不方法一1.创设情境,激发兴趣。师:学校举行的主持人选拔赛,我班选手张丽入围。同学们,张丽同学为了这次比赛,做了精心的准备。(PPT课件出示)师:她准备了几件上装?几件下装?预设生:2件上装,3件下装。2.理解情境,获取数学信息。师:她想请大家帮忙,如果一件上装搭配一件下装,你会建议她怎样穿?预设生1:短袖配短裙。生2:长袖配裤子。生3:长袖配长裙。……3.揭示课题。师:同学们有不同的想法,究竟能搭配成几套呢?看来,在衣服的搭配中还大有学问呢。今天我们就来研究搭配中的学问。(板书课题:搭配问题)[设计意图]让学生结合亲身经历,获取数学信息,提取本课的教学素材,找到贴近学生生活的情境——衣服搭配的问题,这种取材于学生生活的实例,让学生感觉亲切、真实,有利于唤醒学生的生活经验,激发学生的学习兴趣,调动学生积极探索新知。方法二师:周末,小红和聪聪、明明相约到游乐园里去玩耍。小红同学是个爱美的小姑娘,今天,她想穿得漂漂亮亮地去玩,打开衣柜,你们看,小红都有些什么衣服呢?(PPT课件出示)师:你们猜一猜:小红会搭配哪一套衣服去游乐园呢?学生猜测。师:那小红到底有多少种不同的穿法呢?你们能为她搭配一下吗?揭示课题,今天我们就来研究搭配中的学问。(板书课题:搭配问题)[设计意图]由帮小红搭配衣服,学生说出自己的想法,哪样搭配好看,引出一共有多少种搭配方法,学生各抒己见,从而引出新课,激发学生的探究欲望。学习例2,搭配的方法1.操作感悟,自主搭配。(1)学具操作,摆一摆。师:请同学们拿出衣服卡片独立摆一摆,看看一共能摆出几种不同的方法。教师巡视,及时收集学生摆卡片过程中出现的情况:①摆放有序和无序;②方法多样和唯一;③记录有序和无序的。(2)小组交流再分组汇报交流,议一议。师:谁能说说你是怎么搭配的?预设生1:一件上装配一件下装,可以配2套。生2:一件上装配一件下装,另一件上装配两条裙子,有3种搭配的方法。生3:固定上装,用一件上装去搭配3件下装,再用另一件上装去搭配3件下装,两件上装就有6种搭配方法。师:刚才的哪种方法找到了搭配的所有方案?(第三种)他们是怎么做的?预设生1:先固定上装,用一件上装分别去搭配3件下装,有3种方法。再用另一件上装分别去搭配3件下装,又有3种方法。一共有2个3种,是6种。(板书:2×3=6(种))随学生叙述在黑板上把图片用线连起来。生2:我们认为可以固定下装,先用一条下装分别去配2件上装,有2种方法;再用一条下装分别去配2件上装,又有2种方法;最后再用一条下装分别去配2件上装,还有2种方法。一共有3个2种,是6种。也可以列式为2×3=6种。随学生叙述在黑板上把图片用线连起来。师:从上面两个小组同学的汇报中,我们知道了可以从2个角度去思考,但是他们基本方法是一样的。都是要先固定一种服装,上装或下装,然后按顺序一一去搭配。(板书:先固定其中一种,再按顺序搭配)2.方法呈现,比较优化。师:今天我们带了服装的学具,进行模拟搭配,如果没有这些学具,我们可以怎样思考?(1)引发学生独立思考,再次用自己喜欢的方式表示搭配的方法。(2)交流后汇报,PPT课件展示。预设生1:(PPT课件出示教材中女孩的方式)一共有6种穿法。生2:(PPT课件出示教材中男孩的方式)生3:(PPT课件出示)师:这些方法和刚才的摆图片相比,你觉得怎么样?预设生:用符号或字母表示更简洁,便于记录。师:你会采用哪种简洁的方式呢?学生交流汇报,可能会说用数字、图形、符号等方式进行记录。3.巩固练习。如果有3件上装和3件下装,连一连,共有多少种搭配方式呢?(PPT课件出示)【参考答案】9种[设计意图]学生通过摆一摆、连一连、画一画、写一写各种方法表示服装之间的搭配关系。体现了学生的创造力和智慧。在这一环节中,比较优化,既巩固了有序搭配的方法,又让学生经历符号化、数学化的过程,使学生体会到数学符号的简洁美,帮助学生由具体到抽象,逐步优化解决问题的策略。1.完成教材第102页做一做第1题。2.完成教材第102页做一做第2题。【参考答案】2628434648939698种这节课我们研究了搭配的问题,要想做到不重复、不遗漏,最重要的是“有序思考”。其实这种思考问题的方法在今后的学习和生活中都非常有用。作业1教材第104页练习二十二第5,6题。作业2【基础巩固】1.(基础题)荤菜和素菜有多少种不同的搭配?连一连。2.(重点题)妈妈的生日快到了,小华打算在妈妈生日那天送妈妈一束鲜花和一个蛋糕,有()种搭配方法。【提升培优】3.(变式题)主食和饮料只能各选1种,下面的午餐有()种不同的搭配。主食:饮料:4.小米有5件夏装,一件上装搭配一件下装,可以有几种搭配方法?你能写出来吗?【思维创新】5.(易错题)从小强家出发,经街心花园到学校,一共有()条路可走。请把它们分别写出来。【参考答案】作业1:个条作业2:种种①和②,①和③,①和⑤,④和②,④和③,④和⑤AC,AD,AE,BC,BD,BE搭配问题2×3=6(种)先固定其中一种,再按顺序搭配。1.创设生活情境,激发学习兴趣。在教学时,我围绕学生的学习情感与体验来组织教学。内容贴近学生生活实际,使学生体会数学的应用价值。学生乐意学,主动学,不仅获得了知识,更获得了积极的情感体验。2.动手实践体验,探究解决问题。问题空间有多大,探究的空间就有多大。在本节课一开始,我就放手让学生自己去探究衣服的几种不同的搭配方法,通过“猜想——讨论——实践——汇报——比较——归纳”等环节,充分展开探究过程。1.目标的把握还是有点拿不准,比如要不要引导学生计算一共有几种搭配方法。如果要引导学生掌握算法的话,那么首先要引导学生发现规律,然后再考虑算法。2.如何照顾后进生。操作课或者活动课,课堂很热闹,优等生急着演示、发言,后进生却成了观众和听众,尤其是像数学广角这样的教学内容。如何做到面向全体,人人学有所得,也值得我们来探讨。针对部分学生在练习中还是出现重复或遗漏现象,要再次借助图示引导学生有序进行搭配,并会计算一共有多少种搭配方法。【做一做·102页】2628434648939698种下面的午餐有多少种不同搭配?[解答]主食依次记为主1,主2,主3,主4,素菜依次记为素1,素2,素3,素4,如下图,共16种搭配。【知识拓展】搭配跟排列数不同,它与顺序没有关系,可以先确定搭配方案的一部分不变,去搭配另一部分,列举出所有的可能情况,可以借助连线图来解决问题。午餐搭配青菜主食肉类青菜米饭牛肉茄子馒头鱼豆角花卷排骨(青菜、主食、肉类只能各选一种)【参考答案】27种3稍复杂的组合问题教材教学简单的组合问题。教材选取了中国队参加2022年亚洲杯足球赛的情境,中国队所在的A组共有4个国家的足球队,按照小组赛规则,小组中每两个队踢一场。教材呈现了两种解决问题的思路:①女生把4个队摆成正方形,两两相连;②男生把4个队一字排开,从最左边的队开始思考,顺次每个队都与其他3个队相连。采用图示连线加序号的方式,直观、清楚地表达了思考的方法和顺序。与二年级上册相比,从具体操作的水平上升到了用符号进行思考和表达的水平。让学生体会图形的直观性及对理解抽象的数学问题的辅助作用。教学时要帮助学生理解问题结构,让学生在探索解决问题的过程中,理解组合内涵。亚洲杯足球赛离学生生活较远,小组赛的规则学生也不熟悉,学生理解题意可能有一定的困难。可先帮助学生理解比赛的规则是“每2个球队都要踢一场”,并使学生明确:每选择两个球队就要踢一场比赛,而选择哪两个球队与先后顺序没有关系。帮助学生了解问题结构,即组合问题,体会组合与排列的区别。教学过程中不要限制学生的思维,应鼓励学生借助学习经验自主探索,放手让他们去解决“一共要踢多少场”的问题。其次要允许学生用多种方式表达。在表达解决问题的过程时,应鼓励学生用自己的方式表达思考过程。除教材呈现的连线方法,还可以有其他方法表达。1.通过摆一摆、玩一玩、画一画等实践活动,了解有关两两组合的知识。2.初步培养学生的观察、分析能力和有序地全面思考问题的意识。3.培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质,进一步激发学生学习数学的兴趣。4.学生能应用组合的知识解决生活中的实际问题。【重点】经历探索简单事物两两组合规律的过程。【难点】能用不同的方法准确地计算出组合数。【教师准备】PPT课件,例题中的国旗图。【学生准备】例题中的国旗图。师:小朋友们喜欢什么样的球类运动呢?让学生各抒己见。当有人说到足球时,老师马上引到学校运动会。师:我们三年级3个班进行足球比赛,结果我们班得了第一。那我们班比赛了几场?预设生:两场。师:三个班比赛,每两个班比赛一场,那么一共要比赛多少场呢?四人一小组合作完成。预设生:比赛三场,因为每两个班都要比赛一场,一班和二班比赛一场,一班和三班比赛一场,二班和三班还要比赛一场,所以一共三场。方法一同学们,你们喜欢看足球比赛吗?下面是2022年亚洲杯足球赛A组的球队。(出示PPT课件)师:每两个队踢一场,一共要踢几场?谁能说说自己是怎么想的?学生各抒己见。师:选择两个球队踢一场比赛,与先后顺序有关吗?预设生:用1和2组成两位数,能组成12或21,这与1和2的排序有关。而卡塔尔和中国比赛与中国和卡塔尔比赛都是一场比赛。与选择球队的顺序无关。像这样,一个队和另一个队不讲究先后顺序进行比赛就是一种组合关系。一共有多少种组合方法呢?这节课我们就来研究这个问题:稍复杂的组合问题。(板书课题:稍复杂的组合问题)[设计意图]直接出示例题,让学生说出比赛一共要多少场,学生说的五花八门,然后再引出今天的新课,探究比赛一共多少场的问题,带领学生进入新知探究情境,这样直截了当。方法二师:三个朋友好久没见面了,今天见了面,每两个人握一次手,一共要握几次手?谁能说说自己是怎么想的?学生各抒己见。师:每两个人握一次手,与先后顺序有关吗?预设生:没有关系,前面学习的有先后顺序关系,而握手没有顺序关系。师:像这样,两个人握手不讲究先后顺序进行搭配就是一种组合关系。一共有多少种组合方法呢?这节课我们就来研究这个问题:稍复杂的组合问题。(板书课题:稍复杂的组合问题)[设计意图]选取贴近生活的问题入手,能让学生感受到学习本单元的价值。以方法一为例进行教学1.通过学生动手画,体会有序思想。(1)师:请同学们拿出国旗学具,自己摆一摆。教师巡视指导。发现学生无顺序地摆和有顺序地摆的方法都有。展示学生无顺序地摆和有顺序地摆的各种方法。(2)师:你觉得哪些组合方法好?预设生:有顺序摆的方法好,组合得又快又对。师:咱们让摆得有顺序的学生到电脑上演示,说说你一共摆了多少种。你是怎样摆的?预设生1:我数出一共要踢6场。卡塔尔——科威特卡塔尔——乌兹别克斯坦卡塔尔——中国科威特——乌兹别克斯坦科威特——中国乌兹别克斯坦——中国生2:把卡塔尔、科威特、中国、乌兹别克斯坦四个国家摆成正方形用连线的方法求出一共要踢6场。随学生回答PPT课件出示并把提前准备好的图片贴在黑板上:生3:把卡塔尔、科威特、中国、乌兹别克斯坦四个国家一字摆开,用连线的方法求出一共要踢6场。随学生回答PPT课件出示并把提前准备好的图片贴在黑板上:师:不管是用什么方法进行组合,在组合的时候都要有序地进行。有序思考有哪些好处呢?学生交流讨论。预设生:有序组合,不重复、不遗漏。(板书:有序组合,不重复、不遗漏)(3)巩固加深:让学生把国旗学具再次有序地进行组合。2.由实物抽象为图形,体会符号思想。师:如果老师用图形或符号来表示4支球队。用哪种方法能很快地找到答案?(连线)在连线时,要做到不重复,也不能遗漏。(板书:连线法)预设生:把4个队一字排开,从最左边的队开始思考,顺次每个队都与后面的队相连,采用图示连线加序号的方式,直观、清楚地表达了思考的方法和顺序。随学生回答在黑板上用图形表示各个国家队,并连线。师:用算式可以怎样表示?预设生:3+2+1=6(种)。(板书:3+2+1=6(种))师:除了用图形来表示事物,想一想还可以用什么来简洁地表示事物?预设生:用其他图形、字母和数字来表示都可以。(板书:用简单的图形、字母和数字来表示事物)3.巩固练习。(1)有6个人。①每2个人要握一次手,一共要握几次手?让学生独立连线解决,并说一说这么做的理由和方法是什么。②如果这6个人,每2个人要通一次电话,一共要打几次电话?(2)生活中还有很多有趣的组合,你找到组合的规律了吗?和同桌说说,生活中还有哪些奇妙的组合?你能用组合的知识出一道数学问题吗?(小组合作出题)【参考答案】略4.体会组合规律。师:如果不用连线的方法,能知道有多少种组合的方法吗?师启发思考:比如6个人每两人都握一次手,所以6个人应该从5开始加起,那么握手的人数与一共组合的方法数有什么样的联系?师生归纳:物体的数量减去1开始加,依次减1,一直加到1,等于一共搭配的方法数。这就是我们今天要研究的搭配的规律。[设计意图]开始让学生动手摆,得出一共几种方法,让学生体会组合与排列的不同之处。然后引导学生有序地进行组合,进而引导学生用图形或符号代表国旗,学生认识到这样更简洁,使学生的认识逐步得到提高。并总结出了组合的计算方法,学生的理解更深入。1.完成教材第103页做一做第1题。2.完成教材第103页做一做第2题。【参考答案】次角+1角=6角5角+5分=5角5分5角+1元=1元5角1元+5分=1元5分1元+1角=1元1角1角+5分=1角5分共6种师:这节课你学会了什么?预设生:我知道了两两组合按一定的顺序连线能很快地数出一共有多少种方法,我还知道了计算方法:从物体的数量减去1开始加,依次减1,一直加到1,等于一共搭配的方法数。作业1教材第105页练习二十二第7,8题。作业2【基础巩固】1.(基础题)小明、小亮、小红、小华四人做“剪子、包袱、锤”游戏。每两人都要比赛一次,一共需要比赛多少次?用线连一连。2.(重点题)填一填。4个小朋友见了面,每2人都要握一次手。一共握了()次手。【提升培优】3.(变式题)三年级一班的乒乓球队有3名女队员,2名男队员。(1)每2名队员都要比赛一场,一共要比赛()场。(2)李老师要从这5名队员中挑选1名男队员和1名女队员参加全年级混合双打比赛,有()种选法。4.(难点题)用下列水果中的任意两种做一个水果拼盘,有多少种不同的搭配方法?西瓜梨苹果菠萝桃【思维创新】5.(易错题)李林、赵红、孙亮、王刚四人进行羽毛球比赛,每两人之间进行一场比赛,一共进行了几场比赛?若赵红胜了3场,孙亮胜了2场,李林最多能胜几场?【参考答案】作业1:场8.(1)6种(2)3种2种作业2:次3.(1)10(2)6种场1场稍复杂的组合问题有序组合,不重复、不遗漏(1)连线法。3+2+1=6(种)(2)用简单的图形、字母和数字来表示事物。1.我为学生提供典型而又丰富的研究材料,学生在连一连中感悟、体验、总结计算方法,在交流中总结,经历了一个数学化的过程,感受到成功的喜悦,体现了“以学论教”的教学理念。2.将符号和图形引入搭配中,充分发挥符号的作用,以简便的方式呈现组合的方法。用生动形象的语言讲述组合的过程,使学生身临其境,激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。1.要不要引导学生计算一共有几种组合的方法,当时在我们年级组研讨时,我也和其他老师谈论过这个问题,如果要学生掌握算法的话,那么就要引导学生发现规律,然后再总结算法。但是这样在时间安排上就要调整,难度也会提高,估计部分学生还是有困难的。2.在巩固练习的环节,我只做到练习了握手和打电话这两种情况,没有做到变式训练,这样对学生思维的训练就不足。所以我认为在课堂上,教师还应再机智一些,巧妙对待课堂中的各种学情。再次备课时,重点强调把图形一字摆开,从最左边第一个开始连线,顺次每个图都与后面的图相连。让学生清楚地看到最左边图的连线最多,是用物体的数量减去1,然后依次减1,最后是1。然后让学生总结出计算方法是从物体的数量减去1开始加,依次减1,一直加到1。这样由直观到抽象,学生就好理解了。【做一做·103页】次角+1角=6角5角+5分=5角5分5角+1元=1元5角1元+5分=1元5分1元+1角=1元1角1角+5分=1角5分共6种【练习二十二·104页】种个种张个条场8.(1)6种(2)3种2种9.(1)(2)个有4种花:玫瑰花、百合花、满天星、康乃馨。每束花里必须有2种花,一共有多少种不同的搭配方法?[名师点拨]一共有4种花,搭配时要求每束花里有2种不同的花,先确定玫瑰花不变,去搭配其他三种花,看有几种情况,再换百合花不变,搭配其他花,依次这样组合。[解答]6种,如下图。解决排列组合应用题的解题技巧解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法、捆绑法、转化法、乘除法、对等法、排异法。对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题。我们的校园这是一节“综合与实践”的主题活动课。“综合”主要指在活动中,注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。“实践”主要指在活动中,注重学生自主参与、全过程参与,重视学生积极动脑、动手、动口。本次活动的主题是“我们的校园”,这是与学生学习生活联系密切的学校场所中的事例,主要包括两个问题:第一个是“更换草皮”的问题,第二个是设计“赛程安排”的问题。教学过程中注重在“活”“动”中积累经验。首先,应根据学生实际情况和教材内容设计活动环节,给学生充分的时间和空间,让学生去经历、去体验、去猜测、去验证、去交流讨论,让学生真正“动起来”。其次,应允许学生用多种方法解决问题,用多种方式进行表达,让课堂“活”起来。在充分展示和讨论的基础上,再组织学生讨论各种方法,选择自己喜欢的方案。教师作为活动的组织者、引导者,在活动的过程中,发现问题要及时调整,适时组织学生分析、讨论,保障活动的顺利开展。学生在活动过程中暴露出的问题,如果影响到“赛程安排”的完整设计,教师就需要及时干预调整。“数学活动经验”是在“活”“动”中积累起来的,因此,在学生“写一写”“算一算”“画一画”等活动后,要及时组织学生回顾,去粗取精、反思、抽象、概括,从而内化为学生自身的活动经验。1.综合运用面积、搭配、运算等相关知识解决“铺草坪”的问题。2.借助与时间相关的知识解决“设计赛程安排”的活动,巩固计算时间的方法,体会用表格表达信息更加清晰、简洁。3.在熟悉的校园生活情境中,体验到生活中处处有数学;能运用不同方法解决问题,体现“用数学”的意识。4.在学习活动中,增强学习数学的兴趣,建立学习的自信心,获得成功的喜悦。【重点】在活动中,综合应用所学知识解决简单的实际问题。能够准确、简洁地表达自己的想法。【难点】能够准确、简洁地表达自己的想法,渗透优化思想。【教师准备】PPT课件。师:小朋友们,你们喜爱我们的校园吗?校园就是我们平时生活学习的场所。绿茵茵的草坪多么可爱啊!可是你们知道吗,这些场所里面还有一些数学问题。这节课老师要带领你们再次走进我们美丽的校园,用我们所掌握的数学知识去解决校园中的一个个数学问题,好吗?(板书课题:我们的校园)[设计意图]由学生熟悉的校园做主线,学生感到熟悉。说到解决校园中的数学问题,学生的兴趣浓厚,带着很高的学习兴致进入新知探究状态。一、合作探究,解决“铺草坪”的问题师:学校有3000元资金,准备给操场铺草坪。作为学校的小主人,想请大家提供一些建议,你们愿意吗?(PPT课件出示教材第106页情境图)1.小组合作,交流铺草坪的方案。(1)师:你能找出已知条件和问题吗?预设生:两块草坪同样大,长28米,宽16米。草皮种类有3种:白三叶每平方米2元,高羊茅每平方米3元,天堂草每平方米4元。只有3000元的费用。师:有哪些铺草坪的建议?(2)独立思考后小组交流,教师巡视指导。2.全班交流。师:铺哪种草皮?预设生:可以铺同种草皮,也可以铺两种不同的草皮。(1)两块草坪铺同种草皮的情况。预设生:先算出草地的面积,再算铺各种草皮分别需要多少钱。①全部铺每平方米2元的白三叶。28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)896×2=1792(元)1792元<3000元全铺白三叶,够。②全部铺每平方米3元的高羊茅。28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)896×3=2688(元)2688元<3000元全铺高羊茅,够。③全部铺每平方米4元的天堂草,不够。随学生回答及时板书。师:你们怎么不计算全铺天堂草的情况啊?这么快就判断出钱不够,你们是怎么想的?预设生1:通过估算判断的。生2:两块草坪铺同种草皮。也可以先算出草坪的面积,再算3000元能分别铺各种草皮多少平方米。①28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)3000÷2=1500(平方米)1500平方米>896平方米全铺白三叶,够。②28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)3000÷3=1000(平方米)1000平方米>896平方米全铺高羊茅,够。③28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)3000÷4=750(平方米)750平方米<896平方米全铺天堂草,不够。小结:这两块草坪可以全铺白三叶,也可以全铺高羊茅,建议全铺白三叶,因为最省钱。(2)两块草坪铺不同草皮的情况。预设生:两块草坪可以铺不同的草皮,有三种情况:①一块铺白三叶,一块铺高羊茅。②一块铺白三叶,一块铺天堂草。③一块铺高羊茅,一块铺天堂草。方法一:一块铺白三叶,一块铺高羊茅。28×16=448(平方米)448×2=896(元)448×3=1344(元)896+1344=2240(元)2240元<3000元一块铺白三叶,一块铺高羊茅,够。方法二:一块铺白三叶,一块铺天堂草。28×16=448(平方米)448×2=896(元)448×4=1792(元)896+1792=2688(元)2688元<3000元一块铺白三叶,一块铺天堂草,够。方法三:一块铺高羊茅,一块铺天堂草。28×16=448(平方米)448×3=1344(元)448×4=1792(元)1344+1792=3136(元)3136元>3000元一块铺高羊茅,一块铺天堂草,不够。师:我们把这三种方法整理到表格中,这样更直观。学生整理。(课件出示并在黑板上张贴学生整理的表格当作板书)方案白三叶费用(元)高羊茅费用(元)天堂草费用(元)总费用(元)12×448=8963×448=1344224022×448=8964×448=1792268833×448=13444×448=17923136师:同学们真聪明,想出了这么多铺草坪的方法。铺两种不同的草皮的方法,运用了什么知识?预设生:运用了两两组合的知识。3.反思结果,提出建议。师:你觉得哪种建议比较合理?想一想今后在进行研究的时候要注意些什么。学生各抒己见。[设计意图]在解决“铺草坪”问题的过程中,激活学生已有知识经验,调用乘除法运算、面积计算、搭配等相关知识经验解决实际问题,培养学生运算能力、应用意识以及有序思考的习惯。在反思的过程中,积累解决问题的经验。二、合作探究,设计“赛程安排”师:在你们这些小朋友的建议下,草坪终于铺好了。学校决定下周在草坪上举行三年级拔河比赛。快来一起看看吧!(PPT课件出示教材第107页情境图)1.明确活动任务。师:你知道了哪些信息?我们要做一件什么事?预设生:我知道了:活动目的:设计一份赛程安排。活动地点:东西两块草坪。活动时间:15:00~16:30。活动要求:每场比赛要用20分钟,准备10分钟。三年级有4个班级。采取先分组比赛,胜者再进行比赛。2.小组合作,提出方案,解决问题。师:先考虑对阵情况,再考虑时间安排,最后考虑地点。学生进行小组活动,教师巡视,了解各组解决问题的基本思路和方法,选取典型案例。3.学生汇报。预设生:我用统计表:(PPT课件出示并在黑板上张贴学生整理的表格当作板书)对阵时间地点A组:三(1)~三(2)15:10~15:30东草坪B组:三(3)~三(4)15:10~15:30西草坪A组胜者~B组胜者15:40~16:00东草坪颁奖16:10~16:20西草坪引导学生汇报时说清各赛程的安排,以及时间计算的方法。例如:你读懂他们组想怎样安排赛程了吗?你是怎样知道分组赛是从15:10开始,到15:30结束的?说说你的想法。你能看出他设计的赛程中,颁奖用了多长时间吗?你是怎样知道的?……4.比较反思,积累经验。师:你觉得用表格设计这个方法怎么样?预设生:用表格的方法表示比较清楚。[设计意图]在设计赛程安排的过程中,学生借助与时间计算相关的知识解决实际问题,巩固计算时间的方法,鼓励学生用自己喜欢的方式整理信息、描述信息,体会用表格形式表示数据比较清楚,积累活动经验。师:这节课我们为“铺草坪”提了建议,设计了“比赛赛程”。在这个过程中,你有什么感受?积累了哪些新的经验呢?预设生1:在解决“铺草坪”问题的过程中,我觉得解决问题要灵活应用所学的知识,我积累了解决问题的经验。生2:在设计赛程安排的过程中,我用自己喜欢的方式整理信息,感觉用表格形式表示数据比较清楚。我们的校园两块草坪铺同种草皮:①28×16=448(平方米)448×2=896(平方米)896×2=1792(元)1792元<3000元全部铺每平方米2元的白三叶,够。②28×16=448