2018-2019数学新学案浙江专用版讲义：第三章 函数的应用疑难规律方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1函数的零点及应用一、要点扫描1．函数零点的理解：（1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2）若函数f(x）在区间[a，b］上的图象是一条连续的曲线且f（a)f(b）＜0，则f(x）在区间(a,b)内有零点．2．函数零点的判定常用方法：（1）零点存在性定理；(2)数形结合法；(3）解方程f(x)＝0.3．曲线的交点问题:（1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；（2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x）的交点的横坐标,实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x）＝0的根．二、典型例题剖析1．求函数的零点例1求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．解令f（x）＝x3－3x＋2＝0，∴(x＋2）（x－1）2＝0。∴x＝－2或x＝1,∴函数f（x）＝x3－3x＋2的零点为－2,1。评注求函数的零点，就是求f(x）＝0的根，利用等价转化思想,把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．2．判断函数零点的个数例2已知函数f（x)＝ax＋eq\f(x－2，x＋1)(a＞1）,判断函数f（x）＝0的根的个数．解设f1（x）＝ax（a＞1)，f2(x）＝－eq\f（x－2,x＋1),则f（x）＝0的解，即为f1（x)＝f2(x）的解,即为函数f1（x)与f2（x)的交点的横坐标．在同一坐标系下,分别作出函数f1(x）＝ax(a＞1）与f2(x）＝－eq\f（x－2，x＋1）的图象（如图所示)．所以方程f(x）＝0的根有一个．评注利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1（x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数（即是原函数的零点的个数）．3．确定零点所在的区间例3设函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))x－2的图象的交点为(x0,y0），则x0所在的区间是（）A．(0,1） B．（1,2)C．（2,3) D．(3，4)解析y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)x－2的根，即f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))x－2的零点，f(1)＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))－1＝－1＜0，f(2)＝23－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）0＝7＞0，∴f（x)的零点在区间(1，2）内．答案B评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．4．利用函数零点的存在性求参数范围例4关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在［0,2]上有解，求实数m的取值范围．解设f（x）＝x2＋（m－1)x＋1，x∈[0，2],又∵f（0)＝1>0,由题意得①eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈－\f(m－1,2)≤2,,Δ＝m－12－4≥0）)或②eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（m－1,2)〉2，,f2≤0。)）解①得－3≤m≤－1，解②得m〈－3，即m≤－1。所以m的取值范围为（－∞，－1］．评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论,解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．

2零点问题考向探究函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径,是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．一、判断函数零点的存在性例1已知函数f(x）＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是()A．函数在区间(－1,0)内有零点B．函数在区间(0,1）内有零点C．函数在区间(1，2）内有零点D．函数在区间（2，3)内有零点分析根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1），f(0)，f（1）,f（2），f(3）的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系,进而确定函数零点所在的区间．解析因为f(－1)＝－2<0,f(0)＝1〉0，f(1)＝－4〈0,f(2)＝－5〈0,f（3)＝10>0,所以f（－1)·f（0)〈0，f(0）·f（1）<0，f(2)·f(3)<0.又因为一个三次方程最多有三个实根,所以函数f（x）＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1，0)，(0，1）,(2,3)内各有一个零点．答案C评注由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点,用排除法找到正确答案．二、判断函数零点所在的大致区间例2函数f（x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2,－1)B．（－1,0）C．(0，1)D．(1,2)解析因为f（－1）＝eq\f（1,2）－3＜0，f（0)＝1＞0,所以f（x)在区间(－1,0）上存在零点．答案B评注若f(a)·f(b）〈0，且f（x)在［a，b］上连续，则y＝f(x）在区间(a,b）内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b）≥0，并不能证明f(x）在（a，b)内没有零点。3函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f（x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f（x)的形式），当y＝0时,就转化为方程f（x）＝0，也可以把函数式y＝f（x）看作二元方程y－f（x）＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1,判断方程f（x)＝0在区间［－1，0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f（x）在［－1,0］上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1）3－2×(－1)2＋1＝－4〈0,f（0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f（0）〈0.又因为函数f（x）＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线,所以f（x)在［－1,0]内有零点，即方程f（x)＝0在区间［－1,0]内有实数解．评注要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f（x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2若f(x)＝ax3＋ax＋2（a≠0)在［－6,6]上满足f（－6)>1，f（6)<1,则方程f（x）＝1在[－6,6]内的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4分析利用等价转化将方程根的问题转化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f（x）－1，则由f（－6）〉1,f（6)〈1，得［f(－6)－1][f(6)－1]<0,即g(－6）g（6）<0。因此g（x）＝f(x)－1在(－6,6）上有零点．由于g（x)＝ax3＋ax＋1(a≠0),易知当a〉0时,g(x)单调递增;当a<0时，g（x）单调递减，即函数g（x）为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x）＝1仅有一个根．故选A。答案A评注在区间［a，b]上单调且图象连续的函数y＝f（x），若f（a）·f(b)〈0，则函数y＝f（x)的图象在(a,b)内有唯一的零点．三、求参数的取值范围例3已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f（x0）＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的取值范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f（x0)＝0,即函数f（x）在［－2,0］内有一个零点,所以f(－2）f(0)≤0，即（－4m＋4）（0＋4)≤0，解得m≥1.答案[1，＋∞)评注本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x）在［－2,0]上有一个零点的研究,最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程利用了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．例4已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．分析若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x）＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.对应的条件是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k〉0，,f1〈0）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k〈0，,f1>0,））解出即可．解令f(x）＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k>0,，f1<0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k<0，,f1>0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,2k－2－3k－2〈0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k<0,,2k－2－3k－2>0，))解得k〉0或k<－4.故k的取值范围是{k｜k>0或k<－4}．评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的,关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决.4函数应用问题“讲"与“练”讲解一求函数模型例1某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件,若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少eq\f（8,5）t（t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·eq\f(t，100)＝eq\f（5,2)tx.依题意,知x＝40－eq\f（8，5）t＞0，即t＜25。故所求的函数关系式为y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(40－\f(8，5）t)）t＝－4t2＋100t（0＜t＜25)．评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时,能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100，3))）讲解二函数模型的选用例2某蔬菜基地种植青瓜,由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q（万元)与上市时间t(天）的关系如下表所示:种植成本Q（万元）150100上市时间t（天)50150模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150）2＋b（a，b为常数，且a≠0)或一次函数Q＝kt＋m(k,m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112。5万元时,上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由．分析根据题目给定的两组Q，t的值,可分别求出模拟函数中的未知量a,b，k，m。解设f（t）＝a(t－150)2＋b（其中a，b为常数,a≠0），g（t)＝kt＋m（k≠0）．由已知，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，，f150＝100，）)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（g50＝150，，g150＝100。））所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a50－1502＋b＝150，，a150－1502＋b＝100，）)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1,200)，，b＝100,)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝－\f（1，2），,m＝175。))所以f(t）＝eq\f(1，200）（t－150)2＋100，g(t)＝－eq\f（1,2)t＋175。因为f（200)＝eq\f（1,200)（200－150)2＋100＝112。5，g（200)＝－eq\f(1,2)×200＋175＝75，所以选用f(t）＝eq\f(1，200)(t－150）2＋100作为模拟函数较好．评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等,以使实际问题数学化．练习2现有一组数据如下表所示：x123…y1。53.517.5…其中最能近似地表达这些数据规律的函数是(）A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－eq\f(1,2) D．y＝x3－x＋1答案C讲解三转化为熟悉的函数模型例3有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x（万元）的关系式分别为：M＝eq\f(1，2)x，N＝eq\f(3\r(x），2），今有4万元资金投入经营A,B两种商品．为获得最大利润，应分别