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文档简介

123点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出an的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。

二．基本概念：

递推公式：如果已知数列的首项（或前几项），而且数列的任一项an与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公式的形式，这个公式叫递推公式。

4

例1.已知数列{an}满足a1=1,而且an+1=an+1，求an。

56基本题型的归纳

78910111213例10.已知数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an

，则a1994=

。

分析：可求得各项依次为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，……，每6项是一个周期，而19946得商为332余2，即a1994=5.点评：求出前几项，再归纳其规律从而求an。

14例11.（2002天津）已知数列{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)。

（1）求a3

；（2）证明an=an-2+2；（3）求an及前n项和Sn.分析：（1）求出a2后再求出a3；（2）用数学归纳法证明；（3）采用例3中04安徽题的解题方法。点评：（1）此题中(2)用数学归纳法证明，这给我们提供了一种思路：当“无路可走”时，可考虑多写几项归纳规律后再用归纳法证明；（2）归纳是逻辑方法中最重要的方法之一，在数列问题中的应用更为突出，要反复练习，达到运用自如的程度。

15例12.已知数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an-1=2（an+1）（n≥2），求通项公式。

分析：由已知，an+1-an=an-an-1+2（n≥2），构造新数列bn=an+1-an，则bn=bn-1+2，即数列{bn}为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n，从而an+1-an=2n。再用例3的累加法求出结果得an=n(n-1)。

16例13.数列{an}中，a1=a2=1，且an+2=2an+1-an+2n，求通项an。

分析：可设法转化为一阶递推数列，将已知递推关系变形为：an+2-an+1-2n+1=an+1-an-2n。这表明数列{an+2-an+1-2n+1}是常数列，递推可得，an+1-an-2n=…=a2-a1-2=-2，即有an+1=an+2n-2，利用题型二方法解出an。

点评：此例的解题思路为降阶。一般地，若数列满足a1=a,a2=b，且an+2=pan+1+qan+f(n)，可转化为一阶递推式。设常数α、β，使an+2-αan+1=β(an+1-αan)+f(n)与an+2=pan+1+qan+f(n)比较得：p=α+β,q=-α·β。令bn=an+1-αan，则bn+1=βbn+f(n)。

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在用递推公式求数列通项的以上所有例题中，使用了大量的数学思想方法，如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分析与综合，非逻辑方法中的

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