南通市2016届高三第三次调研测试数学试卷

一、填空题：1.已知集合，则.2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为.3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为.4.如图是一个算法流程图，则输出的的值为.5.已知正三棱柱的各条棱长均为，圆柱的底面直径和高均为，若它们的体积相等，则的值为.6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为，则点在直线下方的概率为.7.函数的定义域为.8.在平面直角坐标系中，双曲线与抛物线有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为.10.如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若，则的值为.11.设数列满足，则的值为.12.已知函数（为的导函数）.若方程有四个不等的实根，则的取值范围是.13.如图，矩形的边在轴上，顶点在函数的图像上.记，则的最大值为.14.在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆上存在点满足：过点向圆作两条切线切点为，的面积为1，则正数的取值范围是.三、解答题15.已知是锐角三角形，向量，且.（1）求的值；（2）若，求的长.16.如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点.（1）若直线的斜率为，求的值；（2）若，求实数的取值范围.18.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.19.已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前项和，.（1）若，求的值；（2）若是公比为的等比数列，求证：存在实数，使得为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：成等差数列的充要条件是.20.设函数（，其中是自然对数的底数）.（1）当时，求的极值；（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在区间上有两个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学=2\*ROMANII21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在中，的平分线交于点，的平分线交于点.求证：.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与曲线交于，求线段的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知，且，求证：【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到准线的距离与到原点的距离相等，抛物线的焦点为.（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上一点（异于原点），点处的切线交轴于点，过作准线的垂线，垂足为点.试判断四边形的形状，并证明你的结论.23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为.（1）求与的值；（2）试比较与的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.2.3.24.35.6.7.8.9.10.-1611.12.或13.14.二、解答题15.（1）因为，所以又，所以，所以，即；（2）因为，，所以所以由正弦定理，得.16.（1）设，连结，因为，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）（方法一）因为平面，平面所以，由（1）同理可得，四边形为平行四边形，所以，所以因为，所以平行四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面.（方法二）连结，因为平面，平面，所以因为，所以，因为平面，平面，所以因为为的中点，所以，由（1），所以又因为为的中点，所以因为，平面，平面所以平面，因为平面，所以平面平面.17.（1）由条件，，解得所以椭圆的方程为，圆的方程为（方法一）直线的方程为，由得：解得，所以所以，又因为原点到直线的距离所以，所以（方法二）由得，所以所以;（2）（方法一）若，则设直线，由得，即，所以，得所以，即，同理由题意：，所以.18.（1）设一根木条长为，则正方形的边长为因为，所以，即又因为四根木条将圆分成9个区域，所以所以;（2）（方法一）设所在木条长为，则所在木条长为因为，所以设，令，得，或（舍去），或（舍去）列表如下：+0-极大值所以当时，，即（方法二）设所在木条长为，所在木条长为由条件，，即因为，所以，从而由于，因为当且仅当时，答：窗口面积的最大值为19.（1）由，知（2）（方法一）因为，所以所以，即所以存在实数，使得又因为（否则为常数数列与题意不符）所以当，，此时为等比数列所以存在实数，是为等比数列；（方法二）因为=1\*GB3①所以当时，=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得，当时，=3\*GB3③由=3\*GB3③得，当时，所以，又因为（否则为常数数列与题意不符）所以存在实数，是为等比数列；（3）因为为公差为的等差数列，所以由=3\*GB3③得，当时，即，因为，各项均不相等，所以所以当时，=4\*GB3④当时，=5\*GB3⑤由=4\*GB3④-=5\*GB3⑤，得当时=6\*GB3⑥先证充分性：即由证明成等差数列因为，由=6\*GB3⑥得所以当时，又，所以即成等差数列；再证必要性：即由成等差数列证明因为成等差数列，所以当时，所以由=6\*GB3⑥得，所以，所以成等差数列的充要条件是.20.（1）当时，令，得列表如下：-1+0-极小值所以函数的极小值为，无极大值；=1\*GB3①当时，由于对于任意，有所以恒成立，当时，符合题意；=2\*GB3②当时，因为所以函数在上为增函数，所以，即当，符合题意；=3\*GB3③当时，，所以存在，使得，且在内，所以在上为减函数，所以即当时，不符合题意综上所述，的取值范围是;不存在实数，使得函数在区间上有两个零点，由（2）知，当时，在上是增函数，且，故函数在区间上无零点当时，令，当时，恒有，所以在上是增函数由故在上存在唯一的零点，即方程在上存在唯一解且当时，，当，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，即在无零点；当时，所以在上有唯一零点，所以，当时，在上有一个零点综上所述，不存在实数，使得函数在区间上有两个零点.数学=2\*ROMANII（附加题）A.因为为的平分线，所以又因为是的平分线，所以所以，所以，即又因为所以，所以所以B.设是直线上一点，由，得即，由条件得，解得，所以C.曲线的普通方程为，表示以为圆心，2为半径的圆直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为所以线段的长为.D.因为所以，，将以上各式相加，得又因为，从而22.（1）由题意点到准线的距离为由抛物线的定义，点到准线的距离为所以，即点在线段的中垂线上，所以，所以抛物线的方程为由抛物线的对称性，设点在轴的上方，所以点的气息的斜率为所以点处切线的方程为令上式中，得所以点的坐标为，又，所以，所以，所以，又故四边形为平行四边形再由抛物线的定义，得，所以四边形为菱形.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以同理（2）在局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局故所以又因为所以，所以南通市2016届高三第三次调研测试部分考题讲评复习建议第10题本题的背景实际是学生熟知三角形外心问题，利用基底法求解．当点P在直线PQ上任意一点时，解法相同．．本题也可利用解析法完成，作为填空题，还可特殊化，取三边长为3，4，5求解．第11题本题解题的关键是根据递推关系求出通项，然后裂项相消求和．给出两个变式如下：变式1：在数列中，若，，则的通项公式▲．变式2：在数列中，若，，则=▲．第12题本题考查了分类讨论和数形结合的思想，换元法等．由，得令，则．当时，显然不合题意，舍去；当时，则，或，即，或，由，得；当时，则，或，即，或，由，得．综上所述，或．第13题本题考查函数图象，函数的最值问题研究等．综合运用基本不等式或导数等方法，考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力．方法一：设（），令，所以，所以（），所以．所以，当时，取最大值为．方法二：设，则，且．所以，，．所以．设，则≤，所以，当时，取最大值为．说明：本题可以推广为函数，则有的最大值为．第14题本题考查圆的知识，圆和圆的位置关系，综合考查学生转化、运算的能力．方法一：设，设PA，PB的夹角为．△ABP的面积S=．由，解得，所以，所以点P在圆上．所以，解得．方法二：设∠APC1=，则PA=，．所以当，即，所以PC1=2．第17题本题考查圆的方程，椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的交点，直线斜率等知识．综合考查学生运算能力．给出一个变题如下：ABCEF如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆ABCEF左顶点A的两条直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F．若，直线BE和CF在轴上的截距分别为，求证：为定值．【答案】第18题本题考查学生数学应用和建模的能力，考查学生的抽象概括能力、运算求解能力．审题要抓住关键字、词、句，结合所给图形，建立适当的数学模型求解．另解一：设所在木条长为m，所在木条长为m．由条件，，即．因为，所以，从而．由于，，，因为，所以．另解二：设，，所以=6，即，，由于，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，所以最大值为．第19题本题考查数列的概念、等差数列、等比数列的定义，通项公式与求和公式等．考查学生创新意识．（3）另解：由（2）得，当时，，①若时，不妨设，所以，所以，所以（，A为常数）．②若a2，a3，…，an，…成等差数列，设公差为．由，得，，所以，所以，所以，所以．第20题本题考