三角函数三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与角终边相同的角的集合：与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：xxyOxyO（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于的角”=；（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过来判断所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；；；如：角的终边上一点，则。注意r>0（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；xxyOaxyOaxyOayOa比较，，，的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：0sincos三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系平方关系平方关系sin2+cos2=1，1+tan2=商数关系=tan商数关系=tan倒数关系tan·cot=1作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式：诱导公式可用概括为：2K±,-,±,±,±的三角函数：奇变偶不变，符号看象限的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。步骤：任意负角的任意负角的三角函数任意正角的三角函数0o~360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o~90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤：①确定角所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角；③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如，则，；；注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函数图像和性质1．周期函数定义定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期．请你判断下列函数的周期，，，，y=tanx，y=tan|x|，y=|tanx|，例求函数f(x)=3sin(的周期，并求最小的正整数k,使它周期不大于12．图像3、图像的平移对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k(A＞0,ω＞0,j≠0,k≠0),其图象的基本变换有：(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移倍角公式sin2倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2两角和与差的三角函数关系两角和与差的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sin升幂公式1+cos=1-cos=1±sin=()21=sin2+cos2sin=降幂公式sin2cos2sin2+cos2=1sin·cos=五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。②；问：；；③；④；⑤；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；；；；；；；；；=；=；（其中；解三角形单元复习与巩固

知识点一：解斜三角形的主要依据

设的三边分别为a、b、c，对应的三个内角分别为A、B、C。

（1）角与角的关系：

①内角和：，

②互补关系：

③互余关系：

（2）边与边的关系：

三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

即：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b。

（3）边与角关系：

①大角对大边，大边对大角；等边对等角，等角对等边

即；

②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。

即（其中R表示三角形的外接圆半径）

变式：;sinA=a/2R;sinA/sinB=a/b;a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

③余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

即；…….变式：。……..

知识点二：△ABC的面积公式

（1）（其中表示a边上的高）

（2）（R为三角形的外接圆半径）

规律方法指导

1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；

②三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；

3．三角形的形状的判定

（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。（2）余弦定理用于判定三角形的形状的依据

①在中，；

②在中，；

③在中，注意：一般只需判断最大角的余弦值的符号。（3）已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边b的对角B，由，求出，再由求出，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解基本题型与策略：基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．例1计算：tan2010°＝___________．例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．例3设a＝sineq\f(5π,7)，b＝coseq\f(2π,7)，c＝taneq\f(2π,7)，则a，b，c的大小关系是____________例4(1)函数f(x)＝sin(πx－eq\f(π,3))－1的最小正周期为___________；(2)若函数f(x)＝cos(x－eq\f(π,6))(＞0)的最小正周期为eq\f(π,5)，则＝___________例5函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3))－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________；高考链接：5.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B3.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为（）(A)(B)0(C)－1(D)【答案】A16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是（）A.x=B.x=C.x=-D.x=-【答案】C．17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是（）（A）（B）1C）（D）2【答案】D12.【2012高考江西文9】已知若a=f（lg5），则（）A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．例6计算：tan70ocos10o＋eq\r(3)sin10otan70o－2cos40o＝________________．例7若sin(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(1,3)，则cos(eq\f(2π,3)＋2α)＝___________．例8函数f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1的奇偶性为___________；高考链接：6.【2012高考重庆文5】=（）（A）（B）（C）（D）【答案】C4.【2012高考全国文3】若函数是偶函数，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C18.【2012高考江苏11】设为锐角，若，则的值________．【答案】21.【2012高考全国文15】当函数取得最大值时，___________.【答案】基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．例9(1)已知tan(eq\f(π,4)＋α)＝2，求eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值．(2)已知tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,2)．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)的值．例10已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[eq\f(π,4)，π]，求sin(2α＋eq\f(π,3))的值．例11函数f(x)＝sin2(x＋eq\f(π,4))－sin2(x－eq\f(π,4))的最小正周期是_____，奇偶性是______．例12求函数y＝sin4x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．高考链接：10.【2012高考辽宁文6】已知，(0，π)，则=（）(A)1(B)(C)(D)1【答案】A11.【2012高考江西文4】若，则tan2α=（）A.-B.C.-D.【答案】B基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．例13把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．例14将函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关于点(－eq\f(π,12)，0)中心对称，则m＝____________．1eq\f(2π,3)yx－eq\f(π,3)O例15若函数f(x)＝sin(ω1eq\f(2π,3)yx－eq\f(π,3)O例16如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)；②函数f(x)的振幅为2eq\r(3)；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝eq\f(7,12)π；④函数f(x)的单调递增区间为[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]；⑤函数的解析式为f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2,3)π)．例17已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝_____.例18已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.例18已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝______例19函数的最小正周期为例20若将函数y＝tan(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋eq\f(π,6))的图象重合，则ω的最小值为________．例21设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是.例22如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为.例23将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是()A．B．C．D．例24若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1 B． C． D．2例25如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）(A)(B)(C)(D)例26已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是()ABCD例27将函数y=EQ\R(3)cosx－sinx的图象向左平移m（m>0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（）A.EQ\F(p,6)B.EQ\F(p,3) C.EQ\F(2p,3)D.EQ\F(5p,6)高考链接：1.(12高考安徽文7)要得到函数的图象，只要将函数的图象（）（A）向左平移1个单位（B）向右平移1个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）（A）eq\f(π,4)（B）eq\f(π,3)（C）eq\f(π,2)（D）eq\f(3π,4)【答案】A3.【2012高考浙江文】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）【答案】A基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．例28(1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA＞eq\f(1,2)”的___________条件．(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．例29设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝eq\f(3,5)c．(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．高考链接：1.【2012高考上海文17】在△中，若，则△的形状是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定【答案】A2.【2012高考四川文5】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）B、C、D、【答案】B3.【2012高考湖南文8】在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于（）A．B.C.D.【答案】B4.【2012高考湖北文8】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为（）A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4【答案】D5.【2012高考广东文6】在△中，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】B6.【2102高考北京文11】在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________。【答案】7.【2102高考福建文13】在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______.【答案】．8.【2012高考重庆文13】设△的内角的对边分别为，且，则【答案】9.【2012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=.【答案】2.基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．例30已知向量a＝(coseq\f(3,2)x，sineq\f(3,2)x)，b＝(coseq\f(1,2)x，－sineq\f(1,2)x)，且x∈[0，eq\f(π,2)]．(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f()＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－eq\f(3,2)，求λ的值．基本题型七：三角函数性质的一般化．例31已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．例32已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．高考链接：试题精选选择题：1.函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为（）A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]2.若，，则（）（A）（B）（C）（D）3.已知，(0，π)，则=（）(A)1(B)(C)(D)14.若tan+=4,则sin2=（）A．B.C.D.5.函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为（）A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]6.在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7.在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）（A）（B）（C）（D）8.已知α为第二象限角，，则cos2α=（）(A)（B）(C)(D)9.在中，,,,则（）A、B、C、D、10.在△ABC中，若，，，则最大角的余弦值为（）A、B、C、D、11.在中，为的对边，且，则为（）A、30°B、60°C、90°D、120°12.一个直角三角形三个内角正弦值成等比数列，则最小角的正弦值为（）A、 B、 C、 D、13.在△中，若，则△是（）（A）直角三角形.（B）等边三角形.（C）钝角三角形.（D）等腰直角三角形.14.在中，已知，那么一定（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形15.若△的三个内角，满足，则△（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.16.△AB