人教A版《数列求和》

附件1-5郴州市第二届中小学青年教学竞赛教学片段设计表县市区:郴州市汝城县组别高中科目数学教学片段标题：人教A版必修5第二章第三节《数列求和》学情分析：学生已对掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式及等差、等比数列的一些性质有了初步认识，具有解决一些相关问题能力。因此，本节课通过对非等差、等比数列求和的几种常见方法：分组求和法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消法关键点进行分析，让学生能够轻松地完成教学目标。教学目标：知识与技能：进一步熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式；了解等差、等比数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法：分组求和法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消法．过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。教学重难点：教学重点：熟练掌握等差、等比数列的求和公式。教学难点：灵活应用求和公式解决问题教学过程：温故而知新1．公式法(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)．推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．2．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．题型探究类型一分组转化法求和例：求数列前n项的和练习：已知数列{an},{bn}满足an=2n,bn=3n.若cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.解析由题意可知cn=2n+3n,∴Sn=2×n(1+n)2+(3+3=n(n+1)+3(1−=n(n+1)+3(3小结：1．分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型类型二裂项相消求和法①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)．②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))．③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))．④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))．例：数列{an}中，an＝eq\f(1,nn＋1),若{an}的前n项和为eq\f(2019,2020),则项数n为 ()A．2017 B．2018C．2019 D．2020解析：an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2019,2020)，所以n＝2019．故选C．练习：在数列{an}中，已知an＝eq\f(1,n＋1n＋3)(n∈N*)，则{an}的前n项和Sn＝________．解析：∵an＝eq\f(1,n＋1n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,6)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))．小结：1．基本步骤2．裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．3．消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．类型三错位相减法求和例：已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．解析：因为an＝n·2n，Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2．所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2．练习：求和:12+422+723+…+解析：Sn=12+422+7∴12Sn=122+423∴Sn-12Sn=12+322+3=12+3×122=2-3n+42∴Sn=4-3n+42n(n小结：(1)适用条件若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn．(2)基本步骤类型四倒序相加求和法课堂小结课后作业