【十年高考】24-年高考数学真题分类汇编(教师自己整理)函数

函数一、选择填空题1.（江苏2004年5分）若函数 y loga(x b)(a 0,a 1)的图象过两点 (－1，0)和(0，1)，则【 】(A)a=2，b=2(B)a=2，b=2(C)a=2，b=1(D)a=2，b=2【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点。【分析】将两点代入即可得到答案：∵函数y=loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1），loga（－1+b）=0，loga（0+b）=1。a=2，b=2。故选A。2.（江苏 2004年5分）函数 f(x) x3 3x 1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是【 】(A)1，－1 (B)1，－17 (C)3，－17 (D)9，－19【答案】C。【考点】函数的最值及其几何意义。【分析】用导研究函数 f(x) x3 3x 1在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：∵f(x)3x230,x1，且在[－3，－1）上f(x)>0，在（－1，0]上f(x)<0∴函数f(x)x33x1在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。又∵f(3)17,f(1)3,f(0)1，∴函数f(x)x33x1在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。故选C。3.（江苏2005年5分）函数 y 21x 3(x R)的反函数的解析表达式为【】A．ylog22B．ylog2x3C．ylog23xD．ylog22x3223x【答案】A。【考点】反函数。1/23【分析】由函数解析式解出自变量 x，再把 x、y位置互换，即可得到反函数解析式：∵y21x3y321x1xlog2y3x1log2y3log22y3∴y21x3(xR)的反函数为：ylog22。故选A。x34.（江苏2005年4分）若3a0.618,ak,k1，kZ,则k=▲【答案】－1。【考点】指数函数的单调性与特殊点。【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据y3x在定义域上是增函数，得出a所在的区间，即能求出k的值：∵1＜0.618＜1，且函数y3x在定义域上是增函数，3∴3a0.618，－＜a＜，则－。10k=15（.江苏2005年4分）已知a,b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x210x24，则5ab=▲。【答案】2。【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。【分析】由f(x)x24x3，f(axb)x210x24得：(axb)24(axb)3x210x24，即：ax22ab4axb24b3x210x24。a21a1或a1。比较系数得：2ab4a10，解得b24b324b3b7∴求得：5ab2。6（.江苏2007年5分）设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有【】132231A．f()f()f()B．f()f()f()3233232/23C．f(2)f(1)f(3)D．f(3)f(2)f(1)332233【答案】B。【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。【分析】由函数 f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线 x 1对称，且当 x 1时，f(x) 3x 1为单调增函数，由对称性知当 x<1时，f(x)是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大。∵121312)31321，∴f(f()f()。故选B。3323（江苏2007年5分）设f(x)lg(2a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是【】7.1xA．(1,0)B．(0,1)C．(,0)D．(,0)U(1,)【答案】A。【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。【分析】∵f(x)lg(2a)是奇函数，∴f(0)0得a1。1x1x01x1x∴由f(x)lg得解得1x0。故选A。10x1x11x8.（江苏2009年5分）函数f(x)x315x233x6的单调减区间为▲.【答案】(1,11)。【考点】利用导数判断函数的单调性。【分析】要求函数的单调减区间可先求出f(x)，并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可：∵f(x)3x230x333(x11)(x1)，∴由(x 11)(x 1) 0得单调减区间为 (1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。9.（江苏2009年5分）已知a 5 1，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，2则m、n的大小关系为 ▲ .【答案】m＜n。3/23【考点】指数函数的单调性。【分析】∵a51(0,1)，∴函数f(x)ax在R上递减。由f(m)f(n)得：m＜n。210.（江苏2010年5分）设函数fxxexaex(xR)是偶函数，则实数a=▲【答案】－1。【考点】函数奇偶性的性质。【分析】∵fxxexaex(xR)是偶函数，∴gxexaex(xR)为奇函数。∴g00，即e0ae00。∴a－。=111（.江苏2010年5分）已知函数f(x)x21,x0,则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的1,x0范围是▲ 。【答案】x (1, 2 1)。【考点】分段函数的单调性。【分析】分段讨论：当x<1时，1x2<0，2x<0，则f(1x2)1，f(2x)1。∴f(1x2)f(2x)无解。当1x<0时，1x20，2x<0，则f(1x2)(1x2)21，f(2x)1。∴由f(1x2)f(2x)得，(1x2)211，解得x1。∴此时x的范围是（－1，）。0当0x1时，1x20，2x>0，则f(1x2)(1x2)21，f(2x)(2x)21。∴由f(1x2)f(2x)得，(1x2)21(2x)21，解得0x<21。∴此时x的范围是[0，21）。当x>1时，1x2<0，2x>0，则f(1x2)1，f(2x)(2x)21。∴由f(1x2)f(2x)得1(2x)21，无解。综上所述，满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是x(1,21)。4/2312.（江苏2010年5分）将边长为 1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，(梯形的周长）2其中一块是梯形，记 S ,则S的最小值是 ▲ 。梯形的面积【答案】32 3。3【考点】求闭区间上函数的最值。【分析】设剪成的小正三角形的边长为x，则：S(3x)24(3x2)2(0x1)1(x1)3(1x)31x22令3xt,t111，则：(2,3),(,)t324t24141St26t8386312。31831t2tt88∴当18123时，31有最大值，其倒数有最小值。t8t88∴当13，即x1时，S的最小值是323。t833本题还可以对函数 S进行求导，令导函数等于 0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。13.（江苏2011年5分）函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是▲_【答案】1。,2【考点】对数函数图象和性质。【分析】由2x10，得x1，所以函数的单调增区间是1,。2214.（江苏20115分）已知实数a0，函数f(x)2xa,x1年x2a,x，若1f(1a)f(1a)，则a的值为▲3【答案】 。4【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。5/23【分析】根据题意对 a分类：当a0时，1a1,1a1，2(1a)a(1a)2a，解之得a3，2不合舍去；当a0时，1a1,1a1，2(1a)a(1a)2a，解之得a3。415.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是▲【答案】1(ee1)。2【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。【分析】设 P点坐标为(m,em)(m 0)，由f(x) ex得，l的方程为 y em em(x m)，令x 0得，y em mem。∴过点P的l的垂线方程为 y em em(x m)，令x 0得，y em mem。∴t 1(emmememmem)。2对函数t(m)求导，得t 1(exex)(1x)，2∴t在(0,1)上单调增，在 (1, )单调减，当 m 1时，函数 t(m)的最大值为(ee1)。16.（2012年江苏省 5分）函数 f(x) 1 2log6x的定义域为 ▲ ．【答案】 0， 6 。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得x>0x>0x>00<x6。1112log6x0log6xx62=6217.（2012年江苏省5分）已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为[0，)，若关于x的不等式6/23f(x) c的解集为(m，m 6)，则实数c的值为 ▲ ．【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为[0，)，当x2axb=0时有Va24b0，即ba2，4a22∴f(x)x2axbx2axxa。422aaa∴f(x)xacxc，cxc。c解得2222∵不等式f(x)c的解集为(m，m6)，∴(ca)(ca)2c6，解得22c9。18、（2013江苏卷1）、函数y3sin(2x4)的最小正周期为▲19、（2013江苏卷11）11．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为。11．5,05,10、（2013江苏卷13）13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y1x（x0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为。答案：13．1或10二、解答题1.（江苏2005年12分）已知a R，函数f(x) x2|x a|⑴当a 2时，求使 f(x) x成立的x的集合；（4分）⑵求函数 y f(x)在区间[1,2]上的最小值（10分）【答案】解：（1）由题意， f(x) x2|x 2|7/23当x2时，由f(x)x2(2x)x，解得x0或x1；当x2时，由f(x)x2(x2)x，解得x12综上，所求解集为{0,1,12}。（2）设此最小值为m①当a1时，在区间[1，2]上，f(x)x3ax2，∵f'(x)3x22ax3x(x2a)0，x(1,2)，3∴f(x)是区间[1，2]上的增函数，所以mf(1)1a。②当1a2时，在区间[1，2]上，f(x)x2|xa|0，由f(a)0知，mf(a)0。③当a2时，在区间[1，2]上，f(x)ax2x3，∵f'(x)2ax3x23x(2ax)3若a3，在区间（1，2）上，f'(x)0，则f(x)是区间[1，2]上的增函数，∴mf(1)a1。若2a3，则12a2，3当1x2a时，f'(x)0，则f(x)是区间[1，2a]上的增函数，33当2ax2时，f'(x)0，则f(x)是区间[2a，2]上的减函数，33∴当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)。当2a72)a1，故mf(2)4(a2)。时，4(a当73a3时，4(a2)a1，故mf(1)a1。31aa101a2综上所述，，所求函数的最小值m4(a2)2a7。3a1a738/23【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。【分析】（1）把a 2代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况， 即x 2和x 2分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。（2）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即a11a2和a2、三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当a 3时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。2.（江苏2006年16分） 设a为实数，设函数 f(x) a1 x2 1 x 1 x的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数mt（4分）（Ⅱ）求g(a)（6分）（Ⅲ）试求满足g(a)g(1)的所有实数a（6分）a【答案】解：（Ⅰ）对于t1x1x，要使有t意义，必须1x0且1x0，即1x1。∴t2221x2[2,4]，t0。∴t的取值范围是[2,2]。由t2221x2得1x21t21，2∴mta1t21t1at2ta,t[2,2]。22（Ⅱ）由题意知g(a)为函数mt1at2ta,t[2,2]的最大值，注意2到直线t1是抛物线mt1at2ta的对称轴，分以下几种情况讨论：a2⑴当a>0时，函数ymt,t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，1<0知mt在[2,2].上单调递增，由ta∴g(a)m2a2。(2)当a0时，mtt，t[2,2]，∴g(a)m22。(3)当a<0时,函数ymt,t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，9/23若t1[0,2]，即a2m(2)2；a则g(a)2若t1(2,2]，即2a1则g(a)m(1)a1a22a；2a若t1(2,1a0则g(a)m(2)a2a)，即2a2a12综上,得a12a1。g(a)2a222a22（Ⅲ）情形1：当a2时11，此时g(a)2，g(1)12。由a2aa212解得a122矛盾。，与aa2情形2：当2a2时，21121)1a2a，此时g(a)，g(a。2a2由21a2与a2矛盾。a解得a2情形3：当2a2时，212，此时g(a)2g(1)。所2a2a以2a2。2情形4：当2a1212，此时g(a)a112。2时，a，g()22aa由a12解得a22a12a2，与2矛盾。2情形5：当112，此时g(a)a12。由a222a0时，2，g()aa解得a22，与10矛盾。a2情形6：当a>0时，10，此时g(a)a2,g(1)12。由a212aaaa解得a1，由a>0得a1。综上所述，满足g(a)g(12a21。)的所有实数a为2或aa【考点】函数最值的应用【分析】（I）由t＝1x1x先求定义域，再求值域。由1x21t21转化。2（II）求g(a)的最大值，即求函数mt1at2ta,t[2,2]的最大值．严格210/23按照二次函数求最值的方法进行。（III）要求满足 g(a) g(1)的所有实数 a，则必须应用 g(a)的解析式，它是分段a函数，必须分情况选择解析式进行求解。3.（江苏2007年16分）已知a,b,c,d是不全为0的实数，函数 f(x) bx2 cx d，g(x) ax3 bx2 cx d，方程 f(x) 0有实根，且 f(x) 0的实数根都是g(f(x)) 0的根，反之， g(f(x)) 0的实数根都是 f(x) 0的根，1）求d的值；（3分）2）若a0，求c的取值范围；（6分）（3）若a1,f(1)0，求c的取值范围。（7分）【答案】解：（1）设x0是fx0的根，那么fx00，则x0是g(f(x))0的根，则gfx00,即g00，∴d0。（2）∵a0，∴fxbx2cx,gxbx2cx，则g(f(x))fxbfxc=bx2cxb2x2bcxc=0的根也是fxxbxc0的根。（a）当b0，c0时，此时fx0的根为0，而g(f(x))0的根也是0，∴c0。（）当b0，c0时，fx0的根为0，而g(f(x))0的根也是。b0（c）当b0，c0时，fx0的根为0和c，而bfxc0的根bc不可能为0和，b∴bfxc0必无实数根，∴bc24b2c0，由b0解得0c4。∴综上所述，当b0时，c0；当b0时，0c4。（3）a1,f(1)0，∴bc0，即fx0的根为0和1。11/23∴cx2cx2ccx2cxc=0必无实数根。0时，t=12cc，即函数（a）当ccx2cx=cx244htt2ctc在tc，ht0恒成立。42c2又htt2ctctcc，∴htminhc0，即244c2c20,16c4∴0c16。30时，t=12cc，即函数（b）当ccx2cx=cx244htt2ctc在tc，ht0恒成立。42c2又htt2ctctcc，∴htminhc0，即242cc20，而c0，∴cc20，∴c不可能小于0。44（c）c0,则b0,这时fx0的根为一切实数，而gfx0，∴c0,符合要求。∴综上所述，0c16。3【考点】函数与方程的综合运用。【分析】（1）不妨设x0为方程的一个根，即 f x0 0，则由题设得g f x0 0，从而由g0d求解。（2）由（1）知fxbx2cx,gxbx2cx．所以有g(f(x))fxbfxc=bx2cxb2x2bcxc=0。而方程fxxbxc0。最后按方程的类型，分（ⅰ）b0，c0，（ⅱ）b0，c0，（ⅲ）b0，c0讨论。12/23（3）由a 1,f(1) 0得b c 0，将函数的系数都用 c表示，分c 0，c 0，0三种情况讨论。4.（江苏2008年16分）已知函数f1(x)3xp1，f2(x)23xp2（xR,p1,p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)f1(x),若f1(x)f2(x)f2(x),若f1(x)f2(x)（1）求f(x)f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；（2）设a,b是两个实数，满足ab，且p1,p2(a,b)．若f(a)f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为ba（闭区间[m,n]的长度定义为nm）2【答案】解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)f1(x)（对所有实数x）等价于f1xf2x（对所有实数x）这又等价于3xp12g3xp2，即xp1xp2log22对所有实数x均成立.（*）333由于xp1xp2(xp1)(xp2)p1p2(xR)的最大值为p1p2，故（*）等价于3p1p22，即p1p2log32，这就是所求的充分必要条件。（2）分两种情形讨论：（i）当p1p2log32时，由（1）知f(x)f1(x)（对所有实数x[a,b]）则由fafb及ap1b易知p1ab，2y3p1x,x再由f1(x)p1的单调性可知，3xp1,xp1(a,f(a))(b,f(b))函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度为babba1）22（参见示意图O图1x（ii）p1p2log32时，不妨设p1p2,，则p2p1log32，于是当xp1时，有f1(x)3p1x3p2xf2(x)，从而f(x)f1(x)；当xp2时，有f1(x)3xp13p2p1xp23p2p1g3xp23log32g3xp2f2(x)13/23从而f(x)f2(x)；当p1xp2时，f1(x)3xp1，及f2(x)23p2xxp23px，由方程312解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0p1p21log32⑴y22显然p1x0p21[(p2p1)log32]p2，2(a,f(a))(b,f(b))(x,y)这表明x0在p1与p2之间。由⑴易知00(p,2)2f1(x),p1xx0(p,1)f(x)。1f2(x),x0xp2Ox图2f1(x),axx0综上可知，在区间[a,b]上，f(x)（参f2(x),x0xb见示意图2）故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0p1)(bp2)，由于f(a)f(b)，即3p1a23bp2，得p1p2ablog32⑵(x0p1)(bp2)b1p2ba故由⑴、⑵得[p1log32]2。2综合（i）（ii）可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为ba。2【考点】指数函数综合题。【分析】（1）根据题意，先证充分性：由f(x)的定义可知，f(x)f1(x)对所有实数成立，等价于f1xf2x对所有实数x成立，等价于3xp12g3xp2，即xp1xp2log22对所有实数x均成立，分析容易得证。333再证必要性：3xp1xp23log322对所有实数x均成立等价于3p1p22，即p1p2log32。（2）分两种情形讨论（i）当p1p2log32时，由中值定理及函数的单调性得到14/23函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度；（ii）p1p2log32时，a,b是两个实数，满足ab，且p1,p2(a,b)，根据图象和函数的单调性得到函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度。5.（江苏2009年16分）设a为实数，函数f(x)2x2xaxa.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x),xa,+，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.．．．．【答案】解（1）若f(0)1，则a|a|1当a0时，a21，∴a1；当a>0时，a21无解。∴a的取值范围为a1。3x2a2,f(a)2a2a0（2）当xa时，f(x)2axf(x)minf(a)2a2a；033当xa时，f(x)x22axa2,f(x)minf(a)2a2a0f(a)2a2a02a2a0∴综上f(x)min2a20。a3（3）当a(2,6)时，解集为(a,);22当a(6,2)时，解集为(a,a32a2]U[a32a2,);2233当a[2,2]时，解集为[a32a2,)。223【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法。【分析】（1）f(0) 1 a|a|1再去绝对值求 a的取值范围。（2）分x a和x a两种情况来讨论去绝对值， 再对每一段分别求最小值， 最后综合即可。（3）h(x) 1转化为3x2 2ax a2 1 0，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。15/23x(a,)时，由h(x)1得3x22axa210，∴4a212(a21)128a2当a6或a6时，0,x(a,)；22当6a6时，△>0,得：(xa32a2a32a223)(x3)0。因此，讨论得：2xa当a(2,6)时，解集为(a,);22当a(6,a32a2a32a2);2)时，解集为(a,3]U[3,22当a[22a32a2,)。2,2]时，解集为[36.（江苏2010年16分）设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。(1)设函数f(x)lnxb2(x1)，其中b为实数。1求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2(1,),x1x2,设m为实数，mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1,1，若|g()g()|<|g(x1)g(x2)|，求m的取值范围。【答案】解：（1）(i)证：f'(x)1b2212(x2bx1)x(x1)x(x1)∵x1时，h(x)10恒成立，∴函数f(x)具有性质P(b)。x(x1)2(ii)设(x)x2bx1，当b2时，对于x1，(x)x2bx1x22x1(x1)20∴f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；16/23当b2时，(x)图像开口向上，对称轴xb(x)0的两根为：1，方程2bb24,bb24，而bb241,bb2424(0,1)。2222bb2当x(1,bb24)时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间2(1,bb24)上递减，2同理得：f(x)在区间[bb24,)上递增。2综上所述，当b2时，f(x)在区间(1,)上递增；当b2时，f(x)在(1,bb24)上递减；f(x)在[bb24,)上递增。22(2)由题意，得：g'(x)h(x)(x22x1)h(x)(x1)2，又h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，∴对任意的x(1,)都有g(x)0，g(x)在(1,)上递增。又x1x2,(2m1)(x1x2)，当m1,m1时，，且2x1(m1)x1(1m)x2,x2(1m)x1(m1)x2，17/23综上所述，所求 m的取值范围是（ 0，1）。【考点】利用导数研究函数的单调性。【分析】（1）(i)先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后将其配凑成f'(x)h(x)(x2bx1)这种形式，再说明h(x)对任意的x∈（1，+∞）都有h(x)＞0，即可证明函数f(x)具有性质P(b)；(ii)设(x)x2bx1，分b2和b2两种情况讨论：根据(i)令(x)x2bx1，讨论对称轴与2的大小，当b2时，对于x1，(x)＞0，所以f'(x)＞0，可得f(x)）在区间（1，+∞）上单调性，当b2时，(x)图象开口向上，对称轴xb1，可求出方程(x)=0的两根，判定两根的范围，从而确定(x)的符号，得到f'(x)2的符号，求出单调区间。（2）对g(x)求导，由已知条件，应用不等式的性质求解。7.（江苏2011年14分）请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm2）最大，试问 x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边 D C 长 的比值.A

P60x E F x B18/23【答案】解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)。由已知得a602x2(30x),0x30。2x,h2（1）∵S4ah8x(30x)8(x15)21800，∴当x15时，S取得最大值。（2）∵V(2x)22(602x)22x2(30x)(0x30)，2V62x20x。由V0得，x0(舍)或x20。∴当x0,20时V0；当x20,30时V0，2（60－2）h1，∴当x20时取得极大值，也是最大值，此时2a2x2即包装盒的高与底面边长的比值为1。2【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用【分析】（1）可设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)，写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可。2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可。8.（江苏2011年16分）已知a，b是实数，函数 f(x) x3 ax,g(x) x2 bx, f(x)和g(x)是f(x),g(x)的导函数，若 f(x)g(x) 0在区间I上恒成立，则称 f(x)和g(x)在区间I上单调性一致 .（1）设a0，若函数f(x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设a0,且ab，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，19/23求|a－b|的最大值.【答案】解：由f(x)x3ax,g(x)x2bx得f(x)3x2a,g(x)2xb。（1）由题意得f(x)g(x)0，在1,上恒成立。∵a0，∴f(x)3x2a0。∴g(x)2xb0，即b2x在区间1,上恒成立。∴b2，∴b的取值范围是2,。（2）令f(x)0，解得xa。3若b0，由a0得0(a,b)。又∵f(0)g(0)ab0，∴函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的。∴b0。当x,a0，f(x)0。∴函数f(x)和g(x)在(a,b)上时，g(x)3不是单调性一致的。当xa,0时，g(x)0，f(x)<0。∴函数f(x)和g(x)在(a,b)上是3单调性一致的。∴由题设得aa且ba，从而1a0，于是1b0。3333∴a b又当a从而当x性一致的。

11，且当a,b0时等号成立。331,b0时，f(x)g(x)6x(x21)，391,0时，f(x)g(x)0，∴函数f(x)和g(x)在1上单调3,03∴a b的最大值为1。3【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题。【分析】（1）先求出函数 f(x)和g(x)的导函数，再利用函数 f(x)和g(x)在区间[－1，+∞）上单调性一致即 f(x)g(x) 0在[-1，+∞）上恒成立，以及 3x2 a 0，来求实数b的取20/23值范围。（2）先求出f(x)0的根xab0。再讨论，讨论b的取值范围，得到3x,a和xa,0时两个单调性一致的情况，从而求得|ab|的最大33值。9.（2012年江苏省 16分）若函数 y f(x)在x x0处取得极大值或极小值，则称 x0为函数yf(x)的极值点。已知a，b是实数，1和 1是函数f(x) x3 ax2 bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；（3）设h(x)f(f(x