第四章 刚体力学(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】第四章刚体的转动§4-1刚体的定轴转动研究对象:刚体，即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。(不变质点组)。对刚体运动的分类：平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。所有点的运动相同。定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。角量和线量的关系：nrV"S=Or、v=coryar=pran=co^r=一r规定：方方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是方的方向与转轴平等由于：B半所以角加速度的方向也在转轴上。ftat若以历为正方向，卩为正表示加速，卩为负表示减速

以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都4.力矩：匚行于转轴和、作用，二f>力作用于刚体，应综合考虑力的三要素：大小、力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。定义：M=rx/匚行于转轴和、作用，二f>大小：M=f-d=/•r•siii分量值：M；=力•广=方cosa了在转动平面内。若了不在转动平面内，将f垂直于转轴两部分。平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量

合：M=（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。力矩的矢量合工合力的力矩。）例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。§4-2转动动能1.转动动能:转动惯量转动定律E§4-2转动动能1.转动动能:转动惯量转动定律E严工切V：=工訥计=*(》>斤0(单位:I<g.m2)vYVOXX12.转动惯量J：对于质量为离散型分布的刚体：J=工叫彳；对于质量为连续型分I布的刚体：丿=Jr~dmMJ由三个丙素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。平行轴定理：J°=Jc+m垂直轴定理：Jz=J对平行轴定理的证明：Jo=Jr^dm=(r2+1/2—2dr<cosO)dm=Jr^dm+Jd~dm—2jJrccosBdm=J(+md2+0对垂直轴定理的证明：(如图：Z轴为垂直广、由于：Jx=jy2dm,Jy=jx2dm,J.=jr~dm 所以：J.=jr-dm=j(x2+y2)cbn=Jx+Jy 例1•求质量为加、长为<均匀细棒对过(一)点与棒垂直的轴的转动惯量。(设转轴()到质心C的距离为力)。解：建立坐标：在X处取dxIlldm=加x=—dx ,dJo=r2dm=x2-AdmJofdlo=C'，2-x2dx=-ml2+mh2° J/J-//2 0JW/2I 12例2.求匀质转盘(m,R)对过质心()的垂直轴的转动解：如图建立坐标：在r处取宽为dr的园环cbn=b・dS= <dJn=r2dmJo=fd/。疋例3.求薄板(m,a,b)的转动惯量oIx,IY,Iz解：在(x,y)处取dS=dxdy其上：dm=adxclydix=y2din, d/、.=x2dmI=「Py2ailxdy=—mb2,I=f『~x2alvdx=—ma~XJ-b/2J-a/2' * 12 J-a/2J-b/2 ‘J2J=匚:匚M+y2)^y=人+=右〃⑴十bj

例4.求钟摆的转动惯量1()。如图：已知摆杆(m,L二3R),摆锤(3m,R)解:丿揉杆=存“上+mwd~=存"阳‘+加(|尺)，=3〃7用丿摆锤=+加镰用+加綁d，=十⑶")用+(3^)(4/?)2=49.5加用J。=丿摆杆+丿摆锤=52.5mR3.转动定律：推导：把刚体分割为许多质点，设第，质点的质量为陰，所受内力为2,外力为E,对耳：据牛二律：在切线方向上：有：厲+/r=〃Mr=〃也0x/；得：rtFiT+rjir=求和得：X皿匸+工也=刈外+刈內=由于刚体内各质点之间的内力总是成对出现的，据牛三律：任意一对内力大小相等、方向相反、在同一直线上。所以內力对刚体作定轴转动的力矩正好抵消。=fd+(-//)=0§4-4动能定理1.力矩的功：作功：dA=F・dF=F：ds=F,r•dO=M-d0于是：A=r伽&力矩功率：P=dW/dt=M^,M与方同向,2.动能定理dW=AfdO=J'p■dO=JC^-dO=Jco-dco=r/(—Jco~)at 22.动能定理dW=AfdO=J'p■dO=JC^-dO=Jco-dco=r/(—Jco~)at 2=寺厶込_寺丿i©"Ep=fnghcW=de=\Ek重力势能：3.转动定律的应用1.质点滑轮系如图：设摩擦力矩为Mq求系统的加速度a。对加：据牛二律：对J：据转动定律：牵连方程：牵连方程为：a=R卩,v=Rcomg-T=ma77?=丿0a=R/3(1)(2)⑶111例2.如图所示，求系统的加速度號设两边绳子的张力为J和丁2,中间绳子的张力为T?。解：对耳：gg_7\=ga 对花：例2.如图所示，求系统的加速度號设两边绳子的张力为J和丁2,中间绳子的张力为T?。解：对耳：gg_7\=ga 对花：T2-m2g=m2a对转盘I］：7\R「T、R严严J,*对转盘【2：人凡-人凡=厶伙=厶上RytJniz据功能原理：叫gt-叫肌=如屮:+—m2v;+-J^0)~丁一“2a)l2|例3.如图所示，求系统的角加速度卩。设两边绳子的张力分J1为T,和丁2。解:对*“:〃Lg-7；=mlal=gR0入寸叫:T2-m2g=m2a2=mjfl对转盘I：7\R-Tj=J0(1)(2)(3)niiTiaiT.自由杆的摆动例1.解：(1)(2)如图：求杆在H例1.解：(1)(2)据转动定律：卩斗=哼畀4勺.辭Jjmr2I据功能原理:mg{sin0=^la)2=jml2a)2例2. 电机的输出功率为P,转动惯量为J的转盘的摩擦力矩为:Mf=-kco,求转动的最大角速度用多少时间可以达到0・9乌.解：M-M外一M/=P!coT一kcoT=0=>cot2=P/k据 转 动 定 律：0=巴=少土=字》〃=亠^訂力=『呵牛J J dt P/co-kco」° 」°P-k少据功能原理：Pt--kcodO=^Jco~二>P—~kco=Jco^-^>P/a)-kco=J—Jo ・de do dt例3. 在M外的作用下，测得转盘的角加速度为Q,撤去外力矩后,转盘的角加速度变为0“求该转盘的转动惯量J。解：M外—M广邛',-Mf=jp2 得：J=M外/(人―伙)§4-3角动量角动量守恒定律引入：对动量定理：Fdt=dP 以()为参考，小有：rxFdt=rxdP=d(rxP)—Pxdr /_/

由于:臥〃；=吨＞＜〃；=0于是：莎d/=d（rxP）=dL角动量：对于质点：以（）为参考点：L=rxmv作园周运动时:L=mvr对于作定轴转动的刚体：L=工〃=（工〃忻=Jco角动量定理：（1） 表述：一段时间内，物体所受的力矩对时间的积累，等于它角动量的改变量。（2） 公式：=（3） 守恒：若M三0,则：dZ/d/=O或Jco=JQcoQ角动量守恒定律的应用（1） 质点在有心力作用下的运动。例1.线拉小球。质点m在细绳的拉力下，以速度V。在半径为％的圆周轨道上运动，现将绳子长度慢慢缩短，求质点在在半径为R的圆周轨道上运动时的速度，并求此过程中拉力所做的功。解：据角动量守恒定律：mv0R0=mvR 据功能原理：W=4mv2（2）在转动过程中，由于在內力（矩）作用，刚体的形变（破裂）、转盘间的啮合由于发生了形变，內力作了功，动能不守恒。在运动中，转轴对刚体的力（提供质心作园周运动的向心力）不为零，动量不守恒。（零守恒）由于內力矩为零，转轴对刚体的力矩为零，所以只有角动量守恒。例2.人在转台上走质量为半径为R的转台可绕中心轴转动，不计阻力。质量为加的人站在台的边缘，人和台原来静止。如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？解：设：丿台JK=mR2据动量矩守恒定律：J台％=J2人据几何关系：％+&人=2龙

对（1）式两边积分有：J台％=对（1）式两边积分有：J台％=J&（3）由（2）（3）解得：&台=丿人

丿台+丿人4勿72m+M——一2兀丿台+丿人例3.同轴转盘间的啮合问题如图，转盘h以角速度转动3°,I?静止，J］与丄通过摩擦啮合在一起，求（1） 两转盘啮合后共同的角速度3。 厂厂（2） 在啮合过程中损失的机械能。 —-・*-解：（1）在啮合过程中,角动量守恒,有丿厲=（人+厶）力（2）损失的机械能为:込岛-£后=扫&-*（人+厶）J】j2例4.不同轴转盘间的啮合问题解：系统及每个对象的动能显然不守恒。对5芯各自的动量是零守恒。对I】、I?各自的角动量不守恒，由于&与R2不相；对I］：-/?』妙=人（©-0。）对I?：-凡［血=厶（®-％）得：/g-%）/&=/,（冬-冬。）/凡啮合后,两轮的线速度相同,有:=©!尺2'球碰杆或杆碰球 （分析如前，在碰撞中，多半只右佃第\量守恒） 心*\例1・例1・质量为m的子弹以速度V。射入细杆（M,L）的中部，菇严叶穿出的速度为Vo/3,求细杆获得的角速度⑵。得:解：据角动量守恒定律：〃叫£=丿力+加加］厶得:2 32 3 6cu ML例2.杆碰球（完全非弹性碰撞）细杆（M,L）可绕端点转动，从水平位置由静止开始下摆。在竖直位置与质量为的粘性小球发生完全非弹性碰撞，碰后自由上摆。求上摆中能达到的最大高度。

解：下摆过程，据机械能守恒：==抑厶"=>"=半2 2 6 L碰撞过程，据角动量守恒定律：=丿力=（丿+ml3）0）=（*MZ?+ml3）co'上摆过程，据机械能守恒：扌（八〃7/W=Mg#+〃?gH例3.球碰杆（完全弹性碰撞）质量为m的弹性小球以速度％与细杆（J,L）在细杆底端发生完全弹性碰撞，求碰撞以后小球的速度V和杆的角速度3。解：设碰撞以后小球仍向前运动。TOC\o"1-5"\h\z碰撞过程，据角动量守恒定律：mvQL=Jco+mvL （1）据动能守恒：=Lj（o-+^mv2 （2）由（1）式得：％-2丿创厶（3） 由（2）（3）整理得：vo+v=coL （4）（3）+（4）得：2vq=（L+J/L）co由此可求—将结果代入（3）可求V§4-5刚体的平面平行运动平衡问题：刚体平动的平衡方程：工可=0 刚体定轴转动的平衡方程：工硏=0例1•滚动摩擦设刚体在作用在轴上的水平拉力F的作用下，匀力的平衡方程：F=f,力矩的平衡方程：fR=N「等效摩擦力：/=> 其中：等效摩擦系数：“諾K K摩擦力形成的原阿是：由于刚体与水平面之间相互挤压而产生形力。fi变，使重力和正压力不在同一直线上而形成的。摩擦力的大小旷宀匸转动半径R、刚体与接触面之间的形变量力。fiN：例2.刹车问题N：分析汽车在水平面上行驶时，急刹车时前、左解：设前后轮之间的距离为2L,质心离地面高建车轮与地面之间的摩擦系数为卩，则：A=呱 f2=p心

在竖直方向上，力的平衡方程：N严N严mg力矩的平衡方程：川+巾+N也=汕厶由以上两式解得：M=（l+平碍,弘=（1—平）号前轮所受到的正压力较大。为避免翻车，应尽量降低重心高度，增加前后轮的间距。动力学问题平动方程：工总，转动方程：工斫=序， 动能：Ek=|WV；+^Jco2例1.无滑滚动问题。小球（m,1,R）沿倾角为付的斜面作无滑滚动，求小球在运动中平动的加速度，运动中所受到的摩擦力。mg,r解：无滑条件：s=6R,v=coR,a=pR平动方程：mgsin0-f=ma转动方程：mg,r解得：a=—— gsmO,与在也TT口J可、丁回丄」e叨总不相同的。m+J/R^/=#Jgsin&是静摩擦力，与在斜面上滑动时所受滑动摩擦+J力不相同。例2.打击中心TOC\o"1-5"\h\z如图：问水平方向冲击力F,对匀质细杆（m,L）作用于何处（作用点到转轴的距离h为多少），转轴（）点不 W会对该冲击产生水平方向的瞬时反作用力。 h解：对质心C点：F=ma=m/3L/2 对细杆：F M=Fh=jp=^mLp联立以上两式，解得：h=jL nL刚体的进动（对转轴作定点转动的简单分析）（1） 分析：（来源于动量矩定理的矢量性）如图,据动量矩定理,M=若力矩的方向始终垂直于转轴，则该力矩作用的效果是：只使动量矩的方向发生变化，而不改变动量矩的大小。类比于质点在向心力的作用下，速度的方向改变而大