全国卷3文科数学试题及参考答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第I卷(选择题)与第卷(非选择题)两局部，共24题，共150分，共4页。考试完毕后，将本试卷与答题卡一并交回。考前须知：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第I卷一、单项选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。)1.集合，则中的元素的个数为()A.1B.2C.3D.42.复平面内表示复数的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，以下结论错误的选项是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．，则()A.B.C.D.5.设满足约束条件则的取值范围是()A.B.C.D.6.函数的最大值为()A.B.1C.D.7.函数的局部图像大致为()8．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数的最小值为()A.5B.4C.3D.29.圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.C.D.10.在正方体中，E为棱的中点，则()A.B.C.D.11.椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为()A.B.C.D.12.函数有唯一零点，则()A.B.C.D.1第=2\*卷本卷包括必考题与选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13.向量，，且，则。14.双曲线的一条渐近线方程为，则。15.内角的对边分别为，，则16.设函数则满足的x的取值范围是。三、简答题(本大题共6小题，共70分。)17.设数列满足(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项与；18.某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频率分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值并估计Y大于0的概率？19.如图，四面体中，是正三角形，(1)证明：(2)是直角三角形，,假设为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比20.在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为(0,1)。当变化时，解答以下问题：(1)能否出现的情况？说明理由；(2)证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值。21.设函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明.22.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。在直角坐标系中，直线与参数方程为(t为参数)，直线的参数方程为(m为参数)，设与的交点为,当k变化时，的轨迹为曲线.(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。函数f(x)=│1│–│x–2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)假设不等式f(x)≥x2–x的解集非空，求m的取值范围.参考答案单项选择题1.

B2.

C3.

A4.

A5.

B6.

A7.

D8.

D9.

B10.

C11.

A12.

C单项选择题详解1.

集合与集合有共同元素2，4，则所以元素个数为2.2.

化解得，所以复数位于第三象限。3.

由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，应选A．4.由题意易知，，，5.

由题意，画出可行域，端点坐标,,.在端点处分别取的最小值与最大值.所以最大值为，最小值为.应选6． 故最大值为7．注意到四个答案的差异，可以取一个较小的自变量值，比方， 则，故排除 注意的差异，可取特别大的自变量，此时可忽略不计 此时，故排除8.当输入的正整数时，否，输出9.如下图，易知，，，选10.

平面

,又,平面,又平面.11. 易知圆心为原点，半径为，故圆心到直线的距离为半径 即12.令，则在上单调递减，在上单调递增；令，则由均值不等式得，在上单调递减，在上单调递增；故当时，在上单调递减，在上单调递增；满足题意，结合选项知选C填空题13.

214.

515.

16.

填空题详解13.

因为

得，

。14.令双曲线右边的1为0，可得，故双曲线的渐近线方程为15.有正弦定理知：，，，故16.画出及的图像知及都是上的单调递增函数，故也是上的单调递增函数，从图像上易判断的解在直线局部，故令，解得，故的解集为简答题17.

(1)当时，

(1分)当时，由①

(2分)②

(3分)①-②得

(4分)即验证符合上式所以

(6分)(2)

(8分)

(12分)18.

(4分)当温度大于等于时，需求量为，元

(6分)当温度在时，需求量为，

(8分)元当温度低于时，需求量为，元

(10分)当温度大于等于时，，。

(12分)19.

(1)取中点，连接，且是中点。同理：

(2分)在平面中，又面，

(4分)(2)由题意，令，即

(6分)为中点，

(8分)在直角中，，中有又为中点

(10分)点到平面的距离相等

(12分)20.

(1)令，，又，为的根

(2分)假设成立，不能出现的情况

(4分)(2)方法一：令圆与轴的交点为，令圆的方程为

(6分)令得的根为，令得…….①

(8分)点在①上，解得或

(10分)在轴上的弦长为3，为定值

(12分)方法二： 易知圆心点的横坐标为故可设圆心点的坐标为圆在轴上的弦长，且半径满足：=1\*3①由(1)得在等腰三角形中，由垂径定理可知即：=2\*3②由=1\*3①=2\*3②可得圆在轴上的弦长定值321.

(1)由有

(2分)①当时，单增②当时，令，即解得

(4分)ⅰ.当时，开口向上，,当时,即，单增ⅱ.当时，开口向下，，此时，在上，，即，单增在上，，即，单减综上当时，在单调递增当时，在上单调递增，在单调递减

(6分)(2)由(1)可得：故要证即证

(8分)即证即证

(10分)令则令，得

(12分)故原命题得证.22.

(1)由得，

，，

(3分)即，即.