贝塞尔函数3课件

数学物理方程与特殊函数贝塞尔函数3数学物理方程与特殊函数贝塞尔函数31本节内容贝塞尔函数第二次课内容总结贝塞尔函数的递推公式函数展成贝塞尔函数的级数贝塞尔函数应用举例本节内容贝塞尔函数第二次课内容总结2上面两式左边的导数求出来,并经过化简贝塞尔函数的递推公式上面两式左边的导数求出来,并经过化简贝塞尔函数的递推公式3两式相加减分别消去和两式相加减分别消去和4这里微分算子表示算子连续作用m

次的缩写.

半奇数级贝塞尔函数的表达式可见，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。这里微分算子表示算子5方程的通解为令方程转化为从而由于,由条件知,方程的通解为令方程转化为从而由于,由6由

可得:

求特征问题因此，必须判明的零点是否存在；如果存在，则需要研究其分布情形。贝塞尔函数的零点由可得:求特7关于贝塞尔函数零点的结论：

有无穷多个单重实零点,这些零点在x轴上关于原点对称分布,因而有无穷多个正的零点；24681012o1.00.5-0.5关于贝塞尔函数零点的结论：有无穷多个单重实零点,8

的零点和的零点是彼此相间分布，即的任意两个相邻零点之间有且仅有一个的零点，反之亦然；24681012o1.00.5-0.5的零点和924681012o1.00.5-0.5以表示的非负零点,则函数以p为周期振荡24681012o1.00.5-0.5以10与这些特征值相应的特征函数为

方程的解为：即贝塞尔方程相应定解问题的特征值为与这些特征值相应的特征函数为方程11贝塞尔函数的正交性结论１：n

阶贝塞尔特征函数系在区间(0,R)上带权r

正交，模值的平方即贝塞尔函数的正交性结论１：n阶贝塞尔特征函数系在区间(12结论2：在区间［0,R］上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数f(r)如果在r=0处有界,在r=R

处等于零,则它必可以展开为如下形式的绝对且一致收敛的级数：其中模的平方权函数贝塞尔函数结论2：在区间［0,R］上具有一阶连续导数以及其中模的平方13§5.6贝塞尔函数应用举例例设有半径为1的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析:

由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标.

考虑到定解条件和

无关,所以温度u

只能是t

和r

的函数.

§5.6贝塞尔函数应用举例例设有半径为1的薄均14解根据问题的要求,即可归结为求下列方程的定解问题：由于u

和无关,可以化简为问题解根据问题的要求,即可归结为求下列方程的定解问题：由于15此外,由问题的物理意义,还有条件且时，令代入到上述方程,有由此得解(1)得：∵时，∴此外,由问题的物理意义,还有条件且16(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,由u(r,t)的有界性,可以知道再由条件知：即是的零点.用(n=1,2…)表示的正零点,综合以上结果可得:方程(1)的解为令则它的通解为：(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,由u(r,t)的有界17

方程的特征值为：相应的特征函数为：这时方程的解为：从而方程18由叠加原理,可得原问题的解为

由初始条件得其中由叠加原理,可得原问题的解为由初始条件得其中19因为令所以因为令所以20贝塞尔函数3课件21从而所求定解问题的解为：其中是的正零点。从而所求定解问题的解为：其中是22例例23解一、建立方程解一、建立方程24“翻译”边界条件一、建立方程U为常数，为上底的电势。“翻译”边界条件一、建立方程U为常数，为上底的电势。25一、建立方程我们知道一、建立方程我们知道26一、建立方程一、建立方程27一、建立方程一、建立方程28二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数29二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数30三、由叠加原理写出解。三、由叠加原理写出解。31四、确定常数四、确定常数32四、确定常数四、确定常数33四、确定常数四、确定常数34总结：贝塞尔函数重点：贝塞尔方程的标准形式贝塞尔方程的通解第一类贝塞尔函数的形式贝塞尔函数的奇偶性及有界性贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的正交性及函数展开总结：贝塞尔函数重点：35做代换,并记----n阶贝塞尔方程的常见形式(重要！！)方程转化为做代换,并记----n阶贝塞尔方程的常36谢谢大家！

谢谢大家！

37数学物理方程与特殊函数贝塞尔函数3数学物理方程与特殊函数贝塞尔函数338本节内容贝塞尔函数第二次课内容总结贝塞尔函数的递推公式函数展成贝塞尔函数的级数贝塞尔函数应用举例本节内容贝塞尔函数第二次课内容总结39上面两式左边的导数求出来,并经过化简贝塞尔函数的递推公式上面两式左边的导数求出来,并经过化简贝塞尔函数的递推公式40两式相加减分别消去和两式相加减分别消去和41这里微分算子表示算子连续作用m

次的缩写.

半奇数级贝塞尔函数的表达式可见，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。这里微分算子表示算子42方程的通解为令方程转化为从而由于,由条件知,方程的通解为令方程转化为从而由于,由43由

可得:

求特征问题因此，必须判明的零点是否存在；如果存在，则需要研究其分布情形。贝塞尔函数的零点由可得:求特44关于贝塞尔函数零点的结论：

有无穷多个单重实零点,这些零点在x轴上关于原点对称分布,因而有无穷多个正的零点；24681012o1.00.5-0.5关于贝塞尔函数零点的结论：有无穷多个单重实零点,45

的零点和的零点是彼此相间分布，即的任意两个相邻零点之间有且仅有一个的零点，反之亦然；24681012o1.00.5-0.5的零点和4624681012o1.00.5-0.5以表示的非负零点,则函数以p为周期振荡24681012o1.00.5-0.5以47与这些特征值相应的特征函数为

方程的解为：即贝塞尔方程相应定解问题的特征值为与这些特征值相应的特征函数为方程48贝塞尔函数的正交性结论１：n

阶贝塞尔特征函数系在区间(0,R)上带权r

正交，模值的平方即贝塞尔函数的正交性结论１：n阶贝塞尔特征函数系在区间(49结论2：在区间［0,R］上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数f(r)如果在r=0处有界,在r=R

处等于零,则它必可以展开为如下形式的绝对且一致收敛的级数：其中模的平方权函数贝塞尔函数结论2：在区间［0,R］上具有一阶连续导数以及其中模的平方50§5.6贝塞尔函数应用举例例设有半径为1的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析:

由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标.

考虑到定解条件和

无关,所以温度u

只能是t

和r

的函数.

§5.6贝塞尔函数应用举例例设有半径为1的薄均51解根据问题的要求,即可归结为求下列方程的定解问题：由于u

和无关,可以化简为问题解根据问题的要求,即可归结为求下列方程的定解问题：由于52此外,由问题的物理意义,还有条件且时，令代入到上述方程,有由此得解(1)得：∵时，∴此外,由问题的物理意义,还有条件且53(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,由u(r,t)的有界性,可以知道再由条件知：即是的零点.用(n=1,2…)表示的正零点,综合以上结果可得:方程(1)的解为令则它的通解为：(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,由u(r,t)的有界54

方程的特征值为：相应的特征函数为：这时方程的解为：从而方程55由叠加原理,可得原问题的解为

由初始条件得其中由叠加原理,可得原问题的解为由初始条件得其中56因为令所以因为令所以57贝塞尔函数3课件58从而所求定解问题的解为：其中是的正零点。从而所求定解问题的解为：其中是59例例60解一、建立方程解一、建立方程61“翻译”边界条件一、建立方程U为常数，为上底的电势。“翻译”边界条件一、建立方程U为常数，为上底的电势。62一、建立方程我们知道一、建立方程我们知道63一、建立方程一、建立方程64一、建立方程一、建立方程65二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数66二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数67三、由叠加原