第三章随机变量及其分布课件

概率论与数理统计第三章随机变量及其分布1概率论与数理统计第三章1第三章

随机变量及其分布

3.1

随机变量的概念

前面我们研究了随机事件及其概率，本章我们将在这个基础上进一步研究随机变量及其分布.现在先研究随机变量的概念，它是概率论中最基本的概念之一.在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.2第三章随机变量及其分布3.1随机变量的概念前在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.例如，考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这个量可能取的值为0,1,2,…；测试灯泡的寿命，这个量可能在[0,+∞)中取值.再如，在n次打靶试验中，要观察击中目标的次数，这个量可能取的值为0,1,2,…,n；在测量某物体长度的试验中，要观察测量长度与标准长度的偏差，这个量可能在(−∞,+∞)中取值.

3在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.例如，考当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.例如掷一枚匀质的硬币，观察正反面出现的情况这个随机试验，它的样本空间S是正与反的不同组合.初看起来这个现象与数值无关，但是我们可以用下面的方法使它与数值联系起来：更一般地，在伯努利试验中，用“1”表示成功，用“0”表示失败.于是，对试验结果不是数值的情况，我们可用一定的方法将它们数量化，也用数量来描述.当出现正面时用“1”表示，而出现反面时用“0”表示.4当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.例如掷一枚匀质的硬币在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数量X来表示，那么X就具有这样的特点：随着试验的重复X可以取不同的数值，并且在每次试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言，是带随机性的数量，由此，自然地称X为随机变量.由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的，因此，X是基本事件e的函数，即X=X(e).例如，在1.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观察正反面出现情况这个随机试验中，样本空间S={正，反}.若用X表示试验结果，并按上述的方法数量化，那么X就是基本事件的函数：

5在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数量X来表示，那么在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个随机试验中，样本空间

S={0,1,2,…}.若用X表示呼叫次数，那么X=X(e)=e(e∈S)也是基本事件的函数.6在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个由上所述，可以得到如下的随机变量的定义.定义3.1设E是随机试验，它的样本空间是S，如果对S中的每个基本事件e，都有唯一的实数值X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X.引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量来描述了.例如，设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，则“0≤X≤3”表示“呼叫次数不超过三次”的事件；“X>5”表示“呼叫次数大于5”的事件.

7由上所述，可以得到如下的随机变量的定义.定义3.1设E是随若则“X=1”表示事件“正面”，而“X=0”表示事件“反面”.8若则8不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义函数称IA(e)为A的示性函数.显然，IA是一个随机变量，当“IA=1”就表示事件A.于是，对事件的研究就可以转化为对随机变量的研究了.由此可见，随机变量的概念的引入是很重要的.以后我们还会看到，由于引入了随机变量，数学分析的方法就可用来研究随机现象了.9不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义函数称IA(e在上面遇到的随机变量中，有的随机变量所能取的值是有限个(如在n次打靶试验中，中靶的次数)，有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数)，这两种随机变量统称为离散型随机变量.象灯泡的寿命和物体长度这样的随机变量，它们所取的的值连续地充满一个区间，以后将它们称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量中的最重要的类型.下面先讨论离散型随机变量.10在上面遇到的随机变量中，有的随机变量所能取的值是有限个(如在第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.2.1概率分布列如前所述，最多取有限个值或可列无穷多个值的随机变量X称为离散型随机变量.设X的所有可能取的值为x1,x2,…,xk,….11第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.为了掌握随机变量X的统计规律，只知道它可能取的值是远远不够地(例如掷非均匀的色子)，更主要的，还要了解它取各个可能值的概率是多少.若事件“X=xk”的概率为pk

，即P(X=xk)=pk，k=1,2,…

则上式不仅告诉了我们X所能取的值，而且还指出了它以多大的概率取这些值.所以这样的式子把随机变量取值的概率规律完整地描述出来了.我们称这样的式子为离散型随机变量的概率分布列或简称为分布列，又称分布律.12为了掌握随机变量X的统计规律，只知道它可能取的值是远远不够地它也可以用表格的形式直观地表达如下：Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…由概率的基本性质可知，对任一分布列都有下面两个性质：(ⅰ)pk≥0，k=1,2,…；(ⅱ)13它也可以用表格的形式直观地表达如下：Xx1x2…xk…Pp1反之，满足上述两条性质的数列{pk}，也可以作为某一个离散型随机变量的分布列.下面介绍几种常见的分布列14反之，满足上述两条性质的数列{pk}，也可以作为某一个离散型例

自动化生产线在调整后出现废品的概率为p，在生产过程中出现废品立即进行重新调整，以X表示两次调整之间出现的正品数，求X的概率分布？解

X的概率分布为X①01…k…P②……或P(X=k)=(1−p)kp，k=0,1,…，0<p<1，q=1−p.15例自动化生产线在调整后出现废品的概率为p，在生产过程中出现③验证(1)显然P(X=k)≥0，k=0,1,…；(2)16③验证(1)显然(2)16例

设随机变量(以后简记为r.v)X的概率分布为求常数A.解

由分布列的性质因此17例设随机变量(以后简记为r.v)X的概率分布为求常数A.解第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.2.2

0—1分布(伯努利分布、两点分布)

设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，q=1−p则称X服从0—1分布或伯努利分布，也称两点分布，记为X~B(1,p).18第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.0—1分布的表格形式为X01Pqp显然，伯努利试验可用0—1分布来描述.190—1分布的表格形式为X01Pqp显然，伯努利试验可用0—1第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.2.3

二项分布(binomialdistribution)

设随机变量X分布列如下：k=0,1,2,…,n，0<p<1，q=1−p.则称X服从二项分布(参数为n，p)，常用记号X~B(n,p)表示.20第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.特别地，当n=1时，二项分布的表达式成为P(X=k)=pkq1−k，k=0,1

此即为0—1分布.由前面的定理可知，在n重伯努利试验中，成功的次数X是服从二项分布的.21特别地，当n=1时，二项分布的表达式成为由前面的定理可知，在对二项分布来说，概率分布列的两个性质也都成立.因为

又

故分布列的两个性质都成立.22对二项分布来说，概率分布列的两个性质也都成立.因为又故分例1设有N件产品，其中有M件次品，现进行n次有放回的抽样，每次抽取一件.求这n次中共抽到的次品数X的概率分布？解由于抽样是有放回的，因此这是n重伯努利试验.若以A表示一次抽样中抽到次品这个事件，则p=P(A)=M/N.故X~B(n,M/N)，即23例1设有N件产品，其中有M件次品，现进行n次有放回的抽样，下面我们来考察二项分布的概率分布列表达式随着k取值的不同而变化的情况先看一个例子例1设有20台机床，独立地各加工一件齿轮，若各机床加工齿轮的废品率都是0.2，求得到的20件齿轮中没有废品，恰有一件废品，……，以及全部都是废品的概率各为多少？解此例可看作是n=20的伯努利试验问题.设X表示20件齿轮产品中的废品个数，则X~B(20,0.2)，于是问题即要求:24下面我们来考察二项分布的概率分布列表达式随着k取值的不同而变我们将计算的结果列于下表：X0123456P0.0120.0580.1370.2050.2180.1750.109X7891011…20P0.0550.0220.0070.0020.000…0.00025我们将计算的结果列于下表：X0123456P0.0120.表中当时k≥11，P(X=k)<0.001.为了对此结果有个比较直观的了解，可以将表中的数据用图形来表示(图3.1)

P04k816202613579101113121514181719图3.126表中当时k≥11，P(X=k)<0.001.为了对此结果有个从图中我们看到:概率P(X=k)先是随着k的增加而单调上升，当k增到4时P(X=k)取得最大值0.218，然后P(X=k)再随k的增加而单调下降.一般对于固定的n和p，二项分布B(n,p)都具有这一性质.事实上，因为27从图中我们看到:概率P(X=k)先是随着k的增加而单调上升，事实上，因为28事实上，因为28故当k<(n+1)p时，P(X=k)>P(X=k−1)，此时P(X=k)随着k的增加而单调上升；当k>(n+1)p时，P(X=k)<P(X=k−1)，此时P(X=k)随着k的增加而单调下降；当k=(n+1)p为正整数时，P(X=k)=P(X=k−1)，此时P(X=k)在k=(n+1)p及k=(n+1)p−1的情况下都达到最大值.若(n+1)p不是整数，令k0=[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分，则P(X=k0)为最大值.如在例1中，(n+1)p=21×0.2=4.2不是整数，此时k=4使P(X=k)达到最大值.

29故当k<(n+1)p时，P(X=k)>P(X=k−1)，此时第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.2.4

泊松分布(Poissondistribution)

若随机变量X的分布列为则称X服从参数为λ的泊松分布，并用记号X~P(λ)表示.30第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.由泊松分布的分布列表达式可知，P(X=k)≥0(k=0,1,2,…)且有故泊松分布P(λ)满足分布列的两个性质.31由泊松分布的分布列表达式可知，且有故泊松分布P(λ)满足泊松分布是1873年由法国数学家泊松引入的.由前面的二项概率的泊松逼近定理可知，以n，p为参数的二项分布，当n很大p很小时，近似于以λ=np为参数的泊松分布.这一事实，可以看成是泊松分布的一个来源.32泊松分布是1873年由法国数学家泊松引入的.由前面的二项概率泊松分布的应用很广泛，在实际中有许多随机现象都服从泊松分布.例如，电话交换台接到的呼叫次数，到商店去的顾客数，到达飞机场的飞机数，经过某块天空的流星数，纺纱机上线的断头数，放射性物质放射的质点数等等，都服从泊松分布.上述各个随机现象，都可用随机地源源不断地出现的质点数来描述；这种源源不断出现的随机质点构成的序列称为随机质点流.一种重要的随机质点流——泊松流，研究了产生泊松分布的一般条件.33泊松分布的应用很广泛，在实际中有许多随机现象都服从泊松分布.第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.2.5

超几何分布(hypergeometricdistribution)

设有N件产品，其中有M件次品.今从中任取n件不同产品，则这n件中所含的次品数X是一个离散型的随机变量.X的分布列为34第三章随机变量及其分布3.2离散型随机变量3.3.2.5

超几何分布(hypergeometricdistribution)设有N件产品，其中有M件次品.今从中任取n件不同产品，则这n件中所含的次品数X是一个离散型的随机变量，X的分布列为其中l=min(M,n)，并规定当i>m时，Cmi=0.由上式所确定的概率分布称为超几何分布.353.2.5超几何分布(hypergeometricdis由前面的讨论可见二项分布可以用来描述有放回的抽样，而超几何分布可以用来描述不放回的抽样.虽然二项分布与超几何分布二者并不相同，但当抽取对象总数N很大，而抽取的次数n相对很小时，它们的差别是很小的，就是说在一定的条件下，超几何分布可以用二项分布来逼近.36由前面的讨论可见二项分布可以用来描述有放回的抽样，而超几何分不难证明下面的定理定理3.1设在超几何分布中，n是一个取定的正整数，而

则37不难证明下面的定理定理3.1设在超几何分布中，n是一个取定由上面的结果可见，对固定的n，当N充分大时，有

在实际中，一般当n≤0.1N时，就可用这个近似公式.由于有专门的二项分布表可查，因此就可以大大节省计算的工作量了.38由上面的结果可见，对固定的n，当N充分大时，有在实际中，一3.2.6

几何分布(geometricdistribution)设在伯努利试验中，每次试验成功的概率均为p(0<p<1).今独立重复试验直到出现首次成功为止.若设X为所需试验的次数，则X是一个离散型的随机变量，其可能取的值为1,2,…,k,…事件{X=k}相当于“第一次试验不成功，第k−1次试验不成功，第k次试验成功”.由于试验是独立进行的，而每次试验成功的概率为p，不成功的概率1−p，故X的分布列为这个概率分布称为几何分布.393.2.6几何分布(geometricdistribut第三章

随机变量及其分布

3.3随机变量的分布函数对离散型随机变量，可以用分布列来描述它，但对于非离散型的随机变量，由于它可能取的值不可数，所以想用分布列来描述它是不可能的.例如，灯泡的寿命X就是一个可以在某一个区间上任意取值的随机变量，它的值就不是集中在有限个或可列无穷多个点上，因此，其概率规律就不能用分布列来描述了.这时，只有确知X在任一个区间上取值的概率才能掌握它取值的概率分布规律.40第三章随机变量及其分布3.3随机变量的分布函数由于对任意实数x1<x2有P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)−P(X≤x1)故研究X落在一个区间上的概率问题，就转化为对任意的实数x求概率P(X≤x)的问题了.而P(X≤x)是x的函数，从而导出下面的定义：

定义3.2设

X为一个随机变量，称FX(x)=P(X≤x)为X的分布函数，其中x为任意实数.由分布函数的定义，事件“x1<X≤x2”的概率可写成P(x1<X≤x2)=FX(x2)−FX(x1)41由于对任意实数x1<x2有故研究X落在一个区间上的概率问题，分布函数是一个普通的函数，正是由于这个缘故，我们能用数学分析的工具来研究随机变量.例1设随机变量的分布列为

X−123P1/21/31/6求

X的分布函数.42分布函数是一个普通的函数，正是由于这个缘故，我们能用数学分析X−123P1/21/31/643X−123P1/21/31/643解

由分布列可知：当x<−1时，FX(x)=P(X≤x)=P(Φ)=0；当−1≤x<2时，FX(x)=P(X≤x)=P(X=−1)=1/2；当2≤x<3时，FX(x)=P(X≤x)=P(X=−1)+P(X=2)=5/6；当x≥3时，FX(x)=P(X≤x)=P(S)=1.于是的X分布函数为44解由分布列可知：当x<−1时，FX(x)=P(X≤x)=PFX(x)的图形如图3.2所示.x0F(x)−1231/25/61图3.245FX(x)的图形如图3.2所示.x0F(x)−1231/2由图3.2可以看出，FX(x)的图形是一条阶梯形曲线，该曲线在x=−1,2,3处，分别有跳跃值1/2,1/3,1/6.该阶梯形曲线的台阶的个数等于取值的个数+1，跳跃点为取值点，跃度为取相应值的概率.一般地，设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk，k=1,2,…则X的分布函数可以通过下式求得其中和式是对所有满足xk≤x的k求和.分布函数在X=xk处具有跳跃值pk.46由图3.2可以看出，FX(x)的图形是一条阶梯形曲线，该曲线例2向区间(a,b]内任意掷一质点，设此试验是几何概型的，求落点的坐标X的分布函数.解

由题意可知：当x≤a时，FX(x)=P(X≤x)=P(Φ)=0；当a<x<b时，FX(x)=P(X≤x)=P(a<X≤x)=(x−a)/(b−a)；当x≥b时，FX(x)=P(X≤x)=P(a<X≤b)=1.于是的X分布函数为

47例2向区间(a,b]内任意掷一质点，设此试验是几何概型的，FX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.Oabx1F(x)图3.348FX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.Oabx1分布函数具有如下的性质：(ⅰ)当0≤F(x)≤1时，−∞<x<+∞；(ⅱ)对任意的x1≤x2，有F(x1)≤F(x2)，即F(x)是单调不减的；(ⅲ)(ⅳ)F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的.可以证明，若某一个函数F(x)满足上面的性质，则必存在一个随机变量X以F(x)为其分布函数.

49分布函数具有如下的性质：(ⅰ)当0≤F(x)≤1时，−∞<x分布函数的性质(ⅰ)、(ⅱ)可由概率的定义和性质直接得到，而性质(ⅲ)、(ⅳ)的证明，则需要较多的数学工具.这些性质的正确性，可由前面的两个例子得到很好的验证.50分布函数的性质(ⅰ)、(ⅱ)可由概率的定义和性质直接得到，而第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量(continuous)

3.4.1连续型随机变量、概率密度若随机变量X的分布函数F(x)是可微的，则其导数51第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量(con如果将概率比作质量，类似于物理学中质量线密度的概念，人们自然称f(x)为随机变量X的概率密度.若f(x)还是连续的，则有一般地，随机变量X的分布函数F(x)当然不一定处处可微，但在实际中常遇到这样一些随机变量，也存在一个非负的函数f(x)使上式成立.52如果将概率比作质量，类似于物理学中质量线密度的概念，人们自然例如，上节例2中的随机变量的分布函数在除了x=a与x=b两点外，均有导数，如令53例如，上节例2中的随机变量的分布函数在除了x=a与x=b两点即

则54即则54为了描述这一类随机变量的概率分布律，引入下面的定义定义3.3设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在一个非负的函数f(x)，使得对任意的实数x，都有则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度.55为了描述这一类随机变量的概率分布律，引入下面的定义定义3.3由连续型随机变量的定义，再根据积分学的知识，可以得到下面的两个结果：(a)在整个实数轴上，F(x)是连续的函数，即连续型随机变量的分布函数一定是连续的；(b)对f(x)的连续点x，有

F’(x)=f(x).前面的两个式子表示了分布函数和概率密度之间的两个关系，利用这两个关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个.56由连续型随机变量的定义，再根据积分学的知识，可以得到下面的两概率密度f(x)具有如下的性质：

(ⅰ)f(x)≥0；(ⅱ)(ⅲ)概率密度f(x)上面的性质，可以分别由概率密度的定义，分布函数的性质直接得到.57概率密度f(x)具有如下的性质：(ⅰ)f(x)≥0；(ⅱ)性质(ⅰ)、(ⅱ)是概率密度的基本性质，可以证明满足性质(ⅰ)、(ⅱ)的函数f(x)，一定是某一个随机变量X的概率密度.58性质(ⅰ)、(ⅱ)是概率密度的基本性质，可以证明满足性质(ⅰ根据概率密度f(x)的基本性质(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)，可以画出函数f(x)的图形如下图3.4.f(x)xOy=f(x)图3.459根据概率密度f(x)的基本性质(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)，可以画在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1；f(x)xOy=f(x)图3.460在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的以(x1,x2]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B，表示概率P(x1<X≤x2)的值.xOf(x)y=f(x)x1x2B61以(x1,x2]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积以(−∞,x]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A，表示F(x)的值.xOf(x)y=f(x)Ax62以(−∞,x]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A图3.4中以(x,x+Δx]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C，表示概率P(x<X≤x+Δx)的值.xOf(x)y=f(x)xx+ΔxCΔx>063图3.4中以(x,x+Δx]为底，以曲线y=f(x)为顶的xx+Δxx1x2xOf(x)ABC图3.464xx+Δxx1x2xOf(x)ABC图3.464在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1；以(x1,x2]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B，表示概率P(x1<X≤x2)的值.这就是性质(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)的几何说明.以(−∞,x]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A，表示F(x)的值.这就是连续型随机变量的分布函数与概率密度之间关系式的几何说明.65在图3.4中，曲线y=f(x)表示概率密度曲线，它位于x轴的图3.4中以(x,x+Δx]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C，表示概率P(x<X≤x+Δx)的值.若y=f(x)在x处连续，则

因此，概率密度

f(x)的数值反映了随机变量X取x的邻近值的概率的大小.但要注意，对连续型随机变量而言，概率P(X=x)不能描述随机变量X取x值的概率分布规律，因为对任何的x值，总有P(X=x)=0.

66图3.4中以(x,x+Δx]为底，以曲线y=f(x)为顶的曲事实上，设X的分布函数为F(x)，则有0≤P(X=x)≤P(x−Δx<X≤x)=F(x)−F(x−Δx)，Δx>0.由于连续型随机变量的分布函数是处处连续的，所以而前式的左端与Δx无关，故得P(X=x)=0.

67事实上，设X的分布函数为F(x)，则有由于连续型随机变量的由于连续型随机变量取个别值的概率为0，因此想用列举连续型随机变量取某个值的概率来描述这种随机变量不但作不到，而且也毫无意义.此外，当计算连续型随机变量落在某一个区间的概率时，区间是否包含端点，是无需考虑的.由对连续型随机变量有P(X=x)=0可知，一个事件的概率等于零，这个事件不一定是不可能事件；同样，一个事件的概率等于1，这个事件也未必是必然事件.68由于连续型随机变量取个别值的概率为0，因此想用列举连续型随机例1设连续型随机变量X的概率密度为求(a)常数A；(b)FX(x)；(c)P(X<1).解:(a)A=2.69例1设连续型随机变量X的概率密度为求(a)常数A；解:(解:(a)70解:(a)70解:(b)71解:(b)71解:(c)下面介绍几种重要的连续型随机变量:均匀分布、指数分布、正态分布72解:(c)下面介绍几种重要的连续型随机变量:72第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量3.4.2均匀分布(Uniformdistribution)

设连续型随机变量X的概率密度为则称随机变量X在区间[a,b]上服从均匀分布(图3.5)，记为X~U[a,b].73第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量3.Oax1/(b-a)f(x)b图3.574Oax1/(b-a)f(x)b图3.574由分布函数与概率密度之间的关系式

可得在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X的相应分布函数为F(x)的图形见图3.3.75由分布函数与概率密度之间的关系式可得在区间[a,b]上服从FX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.Oabx1F(x)图3.376FX(x)的图形是一条连续曲线，如图3.3所示.Oabx1由于

f(x)≥0，且故均匀分布的概率密度f(x)满足概率密度的性质(ⅰ)、(ⅱ).77由于f(x)≥0，且故均匀分布的概率密度f(x)满足概率密若X~U[a,b]，(x1,x2]为[a,b]中的任意一个子区间，则有这说明X落在[a,b]中的任意一个子区间上的概率与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，属于几何概率；故X落在长度相等的各个子区间的可能性是相等的.这个结果也可由图3.5直接看出.“均匀分布”中的“均匀”就是“等可能”的意思.78若X~U[a,b]，(x1,x2]为[a,b]中的任意一个子在实际问题中，服从均匀分布的例子是很多的，例如：(a)设通过某站的汽车10分钟一辆，那么乘客的候车时间就是在[0,10]上服从均匀分布的随机变量；(b)某电台每隔30分钟发出一个信号，我们随手打开收音机，那么我们的等待时间就是在[0,30]上服从均匀分布的随机变量；(c)在计算机中的舍入误差X，是一个在(−0.5,0.5)上服从均匀分布的随机变量；(d)随机投一根针在坐标纸上，它和坐标轴的夹角X是一个在[0,]上服从均匀分布的随机变量.79在实际问题中，服从均匀分布的例子是很多的，例如：(a)设通过第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量3.4.2指数分布(Exponentialdistribution)

若连续型随机变量X的概率密度为其中λ是正常数，则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ).80第三章随机变量及其分布3.4连续型随机变量3.由分布函数与概率密度之间的关系式

可得服从参数为λ的指数分布的随机变量X的相应分布函数为81由分布函数与概率密度之间的关系式可得服从参数为λ的指数分布由于

f(x)≥0，且故服从参数为λ的指数分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质(ⅰ)、(ⅱ).82由于f(x)≥0，且故服从参数为λ的指数分布的随机变量X的指数分布有重要的应用，常用它来近似地表示各种“寿命”的分布.下面给出一个导出指数分布的实际例子.例2设已使用了t小时的电子管在以后的Δt小时内损坏的概率为λΔt+o(Δt)，其中λ是正常数，o(Δt)是Δt的高阶无穷小.若电子管寿命X为零的概率为零，求X的概率分布密度.解

使用了t小时以后的电子管在以后的Δt小时内损坏的概率，就是条件概率P(t<X≤t+Δt|X>t)按题意有P(t<X≤t+Δt|X>t)=λΔt+o(Δt)83指数分布有重要的应用，常用它来近似地表示各种“寿命”的分布.由条件概率的定义，式P(t<X≤t+Δt|X>t)=λΔt+o(Δt)左端为代入式P(t<X≤t+Δt|X>t)=λΔt+o(Δt)，得84由条件概率的定义，式代入式P(t<X≤t+Δt|X>t)=λ即令Δt0，得这是关于F(t)的可分离变量的微分方程或一阶线性微分方程，它的通解为.其中C为任意的常数.

85即令Δt0，得这是关于F(t)的可分离变量的微分方程或一根据初始条件得到C=−1.于是

故X的分布函数为86根据初始条件得到C=−1.于是故X的分布函数为86从而

X的概率分布密度为由上可知，电子管寿命X是服从参数为λ的指数分布的.87从而X的概率分布密度为由上可知，电子管寿命X是服从参数为λ第三章

随机变量及其分布

3.5正态分布(Normaldistribution)

连续型随机变量中，最重要的分布是正态分布，也称高斯分布(Gauss).定义3.4若连续型随机变量X的概率密度为88第三章随机变量及其分布3.5正态分布(Norma定义3.4若连续型随机变量X的概率密度为其中μ，σ为常数，且σ>0，则称X服从参数为μ，σ的正态分布，也称为正态变量，记为X~N(μ,σ2).下面首先验证服从参数为μ，σ的正态分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质(ⅰ)、(ⅱ).89定义3.4若连续型随机变量X的概率密度为其中μ，σ为常数，显然，

f(x)≥0，只需证明证令t=(x−μ)/σ，则90显然，f(x)≥0，只需证明证令t=(x−μ)/σ，则而91而91故代入前式得到

故服从参数为μ，σ的正态分布的随机变量X的概率密度f(x)满足概率密度的性质.证毕.92故代入前式得到故服从参数为μ，σ的正态分布的随机变量X的利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(图3.6).μxOf(x)图3.693利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(当x=μ时，f(x)取最大值，y=f(x)的曲线关于直线x=μ对称，曲线y=f(x)在x=μ±σ处有拐点.当x±∞时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线.μ-σμμ+σxOf(x)x94当x=μ时，f(x)取最大值，y=f(x)的曲线关于直线x=利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(图3.6).当x=μ时，f(x)取最大值，y=f(x)的曲线关于x=μ成对称，在x=μ±σ处有拐点.当x±∞时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线.当固定σ值而改变μ值时，y=f(x)的图形将随着μ值的增大而沿着Ox轴向右平移，且不改变其形状；当固定μ值而改变σ值时，y=f(x)的图形将随着σ值的减少而变得越陡峭，且对称中心不变(图3.7).95利用数学分析的知识，可以画出y=f(x)的图形，形状如悬钟(μ-σμμ+σxOf(x)x图3.696μ-σμμ+σxOf(x)x图3.696当固定σ值而改变μ值时，y=f(x)的图形将随着μ值的增大而沿着Ox轴向右平移，且不改变其形状.μμxOf(x)97当固定σ值而改变μ值时，y=f(x)的图形将随着μ值的增大而μxOf(x)σ=1σ=2σ=1/2当固定μ值而改变σ值时，y=f(x)的图形将随着σ值的减少而变得越陡峭，且对称中心不变(图3.7).98μxOf(x)σ=1σ=2σ=1/2当固定μ值而改变σ值时，由分布函数与概率密度之间的关系式可得X的分布函数为它的图形见图3.8，在图3.6中阴影部分的面积为

F(x).99由分布函数与概率密度之间的关系式可得X的分布函数为它的图形见Oμ1/21xF(x)图3.8100Oμ1/21xF(x)图3.8100图3.6μ-σμμ+σxOf(x)x101图3.6μ-σμμ+σxOf(x)x101下面介绍一个重要的特殊情况若正态分布N(μ,σ2)中的参数μ,σ分别为0,1时，则得到N(0,1)，称它为标准正态分布.标准正态分布对应的概率密度和分布函数分别用(x)与Φ(x)来表示，即102下面介绍一个重要的特殊情况若正态分布N(μ,σ2)中的参数μxO(x)103xO(x)103由

(x)的表达式可知，(x)是偶函数，即(−x)=(x)进一步Φ(−x)=1−Φ(x)故对(x)及Φ(x)来说，当自变量取负值时所对应的函数值，可用自变量取相应的正值时所对应的函数值来表示.

104由(x)的表达式可知，(x)是偶函数，即故对(x)及Φ(−x)=1−Φ(x)这是因为105Φ(−x)=1−Φ(x)105一般的正态分布N(μ,σ2)的分布函数F(x)与标准正态分布的分布函数Φ(x)，有下面的关系:这是因为106一般的正态分布N(μ,σ2)的分布函数F(x)与标准正态分布由一般的正态分布N(μ,σ2)的分布函数F(x)与标准正态分布的分布函数Φ(x)的关系，对随机变量X~N(μ,σ2)，可得到下面的结果：

其中x1<x2是任意的两个实数.这就是说，计算X~N(μ,σ2)落在任意一个区间内的概率都归结为计算Φ(x)的数值.为了计算方便，人们编制了x≥0的Φ(x)的数值表，见附表2.107由一般的正态分布N(μ,σ2)的分布函数F(x)与标准正态分例1设X~N(μ,σ2)，k为任意的正常实数，求P(|X−μ|<kσ).解利用一般正态分布和标准正态分布的转换关系式，有108例1设X~N(μ,σ2)，k为任意的正常实数，求解利用解：利用一般正态分布和标准正态分布的转换关系式，有109解：利用一般正态分布和标准正态分布的转换关系式，有109特别，当k=1时，有

当k=2时，有110特别，当k=1时，有当k=2时，有110特别，当k=3时，有

由此可见，在一次试验中，X~N(μ,σ2)几乎落在(μ−3σ,μ+3σ)之中.本题的几何意义见图3.9.

111特别，当k=3时，有由此可见，在一次试验中，X~N(μ,σ图3.9μxOf(x)μ+3σμ-3σμ-2σμ-σμ+σμ+2σ面积0.6826面积0.9544面积0.9973112图3.9μxOf(x)μ+3σμ-3σμ-2σμ-σμ+σμ例2设从某地前往火车站，可以乘公共汽车，也可以乘地铁.若乘公共汽车所需时间X~N(50,102)(单位为分钟)，乘地铁所需时间Y~N(60,42)，那么若有70分钟可用，问乘公共汽车好还是乘地铁好？若有65分钟可用，答案又如何？113例2设从某地前往火车站，可以乘公共汽车，也可以乘地铁.11解显然，两种走法中以在允许的时间内有较大的概率及时赶到火车站的走法为好.若有70分钟可用，那么比较概率P(X≤70)和P(Y≤70)的大小.由一般正态分布和标准正态分布的转换关系式，有由于后者P(Y≤70)较大，故乘地铁较好.

114解显然，两种走法中以在允许的时间内有较大的概率及时赶到火车若有65分钟可用，那么比较概率P(X≤65)和P(Y≤65)的大小.由一般正态分布和标准正态分布的转换关系式，有由于前者P(X≤65)较大，故乘地铁较好.

115若有65分钟可用，那么比较概率P(X≤65)和P(Y≤65)例2某工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从正态分布N(1600,σ2)

，如果要求寿命在1200小时以外的概率不小于0.96，求σ的值？

解

由题意，需

P(X>1200)≥0.96而116例2某工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从正态分布N(故查标准正态分布表得故117故查标准正态分布表得故117118118正态分布是概率论中最重要的分布，在实际中，许多随机变量都服从或近似服从这种“中间大，两头小”的正态分布.例如，测量一个零件长度的测量误差，向一个中心点射击的横向偏差或纵向偏差，电子管的噪声电流或电压，飞机材料的疲劳应力，海洋波浪的高度，农作物的亩产量，人的身高或体重等等，都服从正态分布.正态分布不仅在实际应用中有重要的意义，而且在理论上也有很重要的意义，这将在后面的章节随机变量的数字特征与极限定理中说明.

119正态分布是概率论中最重要的分布，在实际中，许多随机变量都服从为了数理统计的需要，人们引入了标准正态分布N(0,1)的上侧分位数的概念.设X~N(0,1)，对给定的α(0<α<1)，若数uα满足条件即

则称uα为N(0,1)分布的上侧分位数，其几何意义见图3.10.120为了数理统计的需要，人们引入了标准正态分布N(0,1)的上侧uO(u)α图3.10121uO(u)α图3.10121利用式并查Φ(x)函数表可知122利用式并查Φ(x)函数表可知122第三章

随机变量及其分布

3.6

随机变量函数的分布

设g(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值而取y=g(x)，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=g(X).

例如，设X为分子运动的速率，则分子运动的动能

Y=1/2×mX2(m为分子的质量)是随机变量X的函数；设M为随机地落在以原点O为圆心R为半径的圆周上的质点，则M在x轴上的投影X=RcosZ(Z为x轴与OM的夹角)为随机变量Z的函数.

123第三章随机变量及其分布3.6随机变量函数的分布对随机变量X的函数Y=g(X)来说，我们的问题是：如何根据已知的随机变量X的分布来寻求随机变量Y的分布.当X是离散型随机变量时，g(X)的分布可直接由X的分布列求得.例1已知的分布列为X−1012P0.10.20.30.4求Y1=2X+1和Y2=X2的分布.124对随机变量X的函数Y=g(X)来说，我们的问题是：如何根据已解:P0.10.20.30.4X−1012Y1=2X+1−1135Y2=X21014125解:P0.10.20.30.4X−1012Y1=2X+1−1因此，Y1=2X+1的分布列为Y1=2X+1−1135P0.10.20.30.4至于Y2的分布列，只需注意Y2取的值有重复相同的，应当把相同的值所对应的概率按概率的加法公式加起来，这样就得到Y2=X2的分布列为126因此，Y1=2X+1的分布列为Y1=2X+1−1135P0.至于Y2的分布列，只需注意Y2取的值有重复相同的，应当把相同的值所对应的概率按概率的加法公式加起来，这样就得到Y2=X2的分布列为Y2=X2014P0.20.40.4127至于Y2的分布列，只需注意Y2取的值有重复相同的，应当把相同下面考虑连续型随机变量函数的分布问题现在的问题是：已知随机变量X的概率密度fX(x)，求随机变量Y=g(X)的概率密度fY(y).今后分别以FX(x)和FY(y)表示随机变量X与Y的分布函数.128下面考虑连续型随机变量函数的分布问题现在的问题是：已知随机变首先，我们指出：如果某随机变量X的分布函数F(x)连续，并且除了有限个点之外，导函数F’(x)存在且连续，那么令则(可用牛顿—莱布尼兹公式证明)，故该随机变量为连续型的且其概率密度为上面确定的f(x).

129首先，我们指出：如果某随机变量X的分布函数F(x)连续，并且在求Y=g(X)的概率密度时，只要Y的分布函数FY(y)满足上述的条件，就可以先求FY(y)，然后再求其导数FY’(y)而得到结果.这种方法，称之为“分布函数法”.130在求Y=g(X)的概率密度时，只要Y的分布函数FY(y)满足例2设X是连续型的随机变量，其概率密度为fX(x)，分布函数为FX(x)，求Y=aX+b(a,b为常数,a≠0)的概率密度？解先求Y的分布函数FY(y)当a>0时131例2设X是连续型的随机变量，其概率密度为fX(x)，分布函当a<0时由于FY’(y)存在且连续，故132当a<0时由于FY’(y)存在且连续，故132133133总之134总之134定理设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g(x)是严格单调的连续函数，其反函数x=h(y)有连续的导数h’(y)，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为证明不妨设y=g(x)是严格单调递增的连续函数，设Y的分布函数为FY(y)，则135定理设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g故Y为连续型的随机变量，其概率密度为136故Y为连续型的随机变量，其概率密度为136定理设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g(x)在不相交的区间I1,I2,…,In上是严格单调的连续函数，反函数分别为x=h1(y),x=h2(y),…,x=hn(y)，它们都有连续的导数，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为137定理设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)，y=g例3设随机变量X~N(μ,σ2)，求Y=aX+b(a,b为常数，a≠0)的概率密度？解:138例3设随机变量X~N(μ,σ2)，求Y=aX+b(a,b为故Y=aX+b~N(aμ+b,a2σ2)，这说明正态随机变量的线性函数仍然是正态变量.例4设X~N(μ,σ2)，求Y=(X−μ)/σ的概率密度？解

故Y~N(0,1).称Y=(X−μ)/σ为X的标准化.139故Y=aX+b~N(aμ+b,a2σ2)，这说明正态随机变量例(31.)设随机变量X的概率密度求Y=sinX的概率密度？解函数y=sinx在(0,π/2)上严格单调递增↑，反函数x=h1(y)=arcsiny；函数y=sinx在[π/2,π)上严格单调递减↓，反函数x=h2(y)=π−arcsiny，故140例(31.)设随机变量X的概率密度求Y=sinX的概率密度141141例(29.)设随机变量X~N(0,1),求Y=|X|的概率密度？解当y≥0时142例(29.)设随机变量X~N(0,1),求Y=|X|的概率当y≥0时故143当y≥0时故143最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：（1）为求Y=g(X)的概率密度fY(y)，先求Y的分布函数FY(y)其中G={x|g(x)≤y}；144最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：（1）为求Y=g(X（2）若FY(y)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数，则可以通过对FY(y)求导而得fY(y).若FY(y)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换，将积分式化为如下的形式

则145（2）若FY(y)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点例5设一质点M随机地落在以原点O为圆心R为半径的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求质点M的横坐标X的概率密度？(图3.11)xOyZM(x,y)R图3.11146例5设一质点M随机地落在以原点O为圆心R为半径的圆周上，并解设Z为x轴与OM的夹角，则由题意，Z在[−π,+π]上服从均匀分布，概率密度为显然，X=RcosZ.下面求X的概率密度.147解设Z为x轴与OM的夹角，则由题意，Z在[−π,+π]上服148148当|x|≤R时149当|x|≤R时149150150故

151故151例(23.)设电源电压不超过200V，在200V~240V和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,252)，试求(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200V~240V的概率β.解设A=“电子元件损坏”，Bi=“电源电压在第i档”，i=1,2,3，则(1)152例(23.)设电源电压不超过200V，在200V~240V153153154154155155解设A=“电子元件损坏”，Bi=“电源电压在第i档”，i=1,2,3，则(1)α=P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)156解设A=“电子元件损坏”，Bi=“电源电压在第i档”例22.假设测量的随机误差X~N(0,102)，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字).解

设Y为测量误差的绝对值大于19.6的测量次数，则Y~B(100,p)，其中157例22.假设测量的随机误差X~N(0,102)，试求在10故所求的概率为利用泊松逼近定理158故所求的概率为利用泊松逼近定理158例7.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初要至少库存多少此种商品才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上.解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意159例7.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，即查泊松分布表得N+1=15，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上.160即查泊松分布表得160例1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列．解“X=k”表示事件：前k−1次出现正面，第k次出现反面，或前k−1次出现反面，第k次出现正面，所以161例1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)例2．袋中有个a白球，b个黑球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列.解X的分布列为162例2．袋中有个a白球，b个黑球，从袋中任意取出r个球，求r个例4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为1/2，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.

解设X的概率分布为X0123P1/21/41/81/8163例4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每其中P(X=0)=P(第一个路口即为红灯)=1/2P(X=1)=P(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)=1/2×1/2=1/4164其中164例13．设电子管寿命X的概率密度为若一架收音机上装有三个这种管子，求(1)使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；(2)在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布列；(3)Y的分布函数.165例13．设电子管寿命X的概率密度为若一架收音机上装有三个这种解

Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，则Y~B(3,p)，其中(1)所求概率为166解Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，则Y~B(3(2)Y的分布列为即Y0123P8/2712/276/271/27167(2)Y的分布列为即Y0123P8/2712/276/271(3)Y的分布函数为168(3)Y的分布函数为168例15．设随机变量X~U[1,6]，求方程x2+Xx+1=0有实根的概率?解设A=“方程有实根”，则事件A发生的充要条件是X2−4≥0，即|X|≥2.因X~U[1,6]，所以169例15．设随机变量X~U[1,6]，求方程x2+Xx+1=例17.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从参数为1/5的指数分布.若等待时间超过10分钟，则他就离开.设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及P(Y≥1)?解由题意Y~B(5,p)，其中170例17.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从于是Y的分布为而171于是Y的分布为而171例18．设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作了8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率.解(1)设T的分布函数为FT(t)，则FT(t)=P(T≤t)=1−P(T>t)而事件“T>t”表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故N(t)=0，于是172例18．设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t可见，T的分布函数为即T服从参数为λ的指数分布.173可见，T的分布函数为即T服从参数为λ的指数分布.173所求的概率为174所求的概率为174例21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩(即参数μ之值)为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.解

由题意有175例21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从故所求概率为176故所求概率为176177177例32．设随机变量X的分布函数F(x)连续，且严格单调增加，求Y=F(X)的概率密度.解

设Y的分布函数为FY(y)，则当y<0时，FY(y)=P(Y≤y)=P(Φ)=0；当y≥1时，FY(y)=P(Y≤y)=P(S)=1；而当0≤y<1时，178例32．设随机变量X的分布函数F(x)连续，且严格单调增加，于是Y的概率密度为179于是Y的概率密度为179概率论与数理统计第三章随机变量及其分布180概率论与数理统计第三章1第三章

随机变量及其分布

3.1

随机变量的概念

前面我们研究了随机事件及其概率，本章我们将在这个基础上进一步研究随机变量及其分布.现在先研究随机变量的概念，它是概率论中最基本的概念之一.在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.181第三章随机变量及其分布3.1随机变量的概念前在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.例如，考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这个量可能取的值为0,1,2,…；测试灯泡的寿命，这个量可能在[0,+∞)中取值.再如，在n次打靶试验中，要观察击中目标的次数，这个量可能取的值为0,1,2,…,n；在测量某物体长度的试验中，要观察测量长度与标准长度的偏差，这个量可能在(−∞,+∞)中取值.

182在随机试验中，人们观察的对象常常是一个随机取值的量.例如，考当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.例如掷一枚匀质的硬币，观察正反面出现的情况这个随机试验，它的样本空间S是正与反的不同组合.初看起来这个现象与数值无关，但是我们可以用下面的方法使它与数值联系起来：更一般地，在伯努利试验中，用“1”表示成功，用“0”表示失败.于是，对试验结果不是数值的情况，我们可用一定的方法将它们数量化，也用数量来描述.当出现正面时用“1”表示，而出现反面时用“0”表示.183当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.例如掷一枚匀质的硬币在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数量X来表示，那么X就具有这样的特点：随着试验的重复X可以取不同的数值，并且在每次试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言，是带随机性的数量，由此，自然地称X为随机变量.由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的，因此，X是基本事件e的函数，即X=X(e).例如，在1.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观察正反面出现情况这个随机试验中，样本空间S={正，反}.若用X表示试验结果，并按上述的方法数量化，那么X就是基本事件的函数：

184在上述的各例中，如果把试验中所观察的对象用数量X来表示，那么在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个随机试验中，样本空间

S={0,1,2,…}.若用X表示呼叫次数，那么X=X(e)=e(e∈S)也是基本事件的函数.185在1.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个由上所述，可以得到如下的随机变量的定义.定义3.1设E是随机试验，它的样本空间是S，如果对S中的每个基本事件e，都有唯一的实数值X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X.引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量来描述了.例如，设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，则“0≤X≤3”表示“呼叫次数不超过三次”的事件；“X>5”表示“呼叫次数大于5”的事件.

186由上所述，可以得到如下的随机变量的定义.定义3.1设E是随若则“X=1”表示事件“正面”，而“X=0”表示事件“反面”.187若则8不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义函数称IA(e)为A的示性函数.显然，IA是一个随机变量，当“IA=1”就表示事件A.于是，对事件的研究就可以转化为对随机变量的研究了.由此可见，随机变量的概念的引入是很重要的.以后我们还会看到，由于引入了随机变量，数学分析的方法就可用来研究随机现象了.188不仅如此，对任意事件A，可以在样本空间S上定义函数称IA(e在上面遇到的随机变量中，有的随机变量所能取的值是有限个(如在n次打靶试验中，中靶的次数)，有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数)，这两种随机变量统称为离散型随机变量.象