数字切比雪夫滤波器-20课件

数字切比雪夫滤波器

ChebyshevFilterLesson201/5/20231数字信号处理陈鹏3299340数字切比雪夫滤波器

ChebyshevFilterLessButterworth滤波器1/5/20232数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器12/28/20222数字信号处Butterworth滤波器总结设计数字Butterworth滤波器的步骤如下根据实际需要规定滤波器的数字截止频率处的衰减，单位为dB

由数字截止频率处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率1/5/20233数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器总结设计数字ButterwortButterworth滤波器求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成系统函数左半平面的极点：系统函数：使用冲激不变法或双线性变换法将转换成数字滤波器的系统函数1/5/20234数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由Chebyshev滤波器—两种类型I型：在通带内的幅度是等波纹的，而在阻带内是单调下降的；II型：在通带内的幅度是单调下降的，但在阻带内是等波纹的。幅度平方函数由Chebyshev多项式定义。

1/5/20235数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器—两种类型I型：在通带内的幅度是等波Chebyshev滤波器式中，称为纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；为有效通带截止频率，它与Butterworth滤波器的有些不同，巴特沃斯滤波器的幅度响应在处衰减为3dB，而Chebyshev滤波器只有在当时，其幅度响应在处的衰减才为3dB；1/5/20236数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器12/28/20226数字信号处理Chebyshev多项式二项式定义：Chebyshev多项式定义如下：其中，N为阶数。不同N值对应的Chebyshev多项式如右所示。Chebyshev多项式满足以下递推公式1/5/20237数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式二项式定义：Chebyshev多项式Chebyshev多项式实三角函数：Chebyshev多项式定义如下：1/5/20238数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式实三角函数：Chebyshev多项式Chebyshev多项式复三角函数：Chebyshev多项式可以用复三角函数定义为或1/5/20239数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式复三角函数：Chebyshev多项式Chebyshev多项式的函数曲线1/5/202310数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线12/28/202210数Chebyshev多项式的函数曲线从图中可以看出:当时，具有等波纹性质，即在-1和1之间等幅振荡，且N越大，振荡越快；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升，N越大曲线上升越快；当时，偶数N对应的按双曲余弦函数单调下降，奇数N对应的按双曲余弦函数单调上升；N为偶数时为偶函数，N为奇数为奇函数。1/5/202311数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线从图中可以看出:12/2Chebyshev滤波器1/5/202312数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器12/28/202212数字信号处理幅度响应曲线N是滤波器的阶数。下图分别显示N为奇数(N=3)和N为偶数(N=4)时的切比雪夫滤波器的幅度响应曲线。1/5/202313数字信号处理陈鹏3299340幅度响应曲线N是滤波器的阶数。下图分别显示N为奇数(关键参数Chebyshev滤波器由等3个参数确定。从上图可看出:Chebyshev滤波器在通带内，其幅度响应在1和之间起伏变化，而在阻带内是单调下降的；N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为；N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1。1/5/202314数字信号处理陈鹏3299340关键参数Chebyshev滤波器由极点分布Chebyshev滤波器有极点，而零点在处。现在来确定模拟Chebyshev滤波器的极点分布。重写幅度平方函数为可求出极点对应于令，则上式为1/5/202315数字信号处理陈鹏3299340极点分布Chebyshev滤波器有极点，而零点在极点分布Chebyshev的多项式反函数为把代入上式得1/5/202316数字信号处理陈鹏3299340极点分布Chebyshev的多项式反函数为把极点分布其中上式是一个复数椭圆方程，椭圆的长半轴为，短半轴为。Chebyshev滤波器共有2N个极点，它们关于虚轴对称地分布在一个椭圆上，N为偶数时实轴上无极点，N为奇数时实轴上有两个极点。它们的分布见书P132的图。1/5/202317数字信号处理陈鹏3299340极点分布上式是一个复数椭圆方程，椭圆的长半轴为参量确定由允许的通带纹波确定。如果在处允许的通带衰减为，那么可以这样确定因此1/5/202318数字信号处理陈鹏3299340参量确定12/28/202218数字信号处理陈Chebyshev多项式的函数曲线1/5/202319数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线12/28/202219数幅度响应曲线1/5/202320数字信号处理陈鹏3299340幅度响应曲线12/28/202220数字信号处理截止频率确定是Chebyshev滤波器有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常是给定的。当为1时，就是通带的3dB截止频率，这与Butterworth滤波器的3dB截止频率相对应。1/5/202321数字信号处理陈鹏3299340截止频率确定12/28/202221数字信号处理阶次N确定滤波器的阶次Chebyshev滤波器的阶次N由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率处的允许衰减为，即由此得到计算滤波器阶次N的公式1/5/202322数字信号处理陈鹏3299340阶次N确定滤波器的阶次12/28/202222数字信号处理设计步骤根据滤波器的指标确定为有效通带截止频率，一般是给定的。由以下公式计算。，1/5/202323数字信号处理陈鹏3299340设计步骤根据滤波器的指标确定设计步骤计算并求出极点1/5/202324数字信号处理陈鹏3299340设计步骤计算12/28/202224数字信号处理设计步骤由s平面左半平面的极点构成系统函数N为偶数时

为左半平面的极点，为的共轭极点,N为奇数时

是左半平面实轴上的极点。1/5/202325数字信号处理陈鹏3299340设计步骤由s平面左半平面的极点构成系统函数12/28/2设计步骤确定系数：由时滤波器幅度响应的值确定。当N为奇数时，；当N为偶数时，利用冲激响应不变法或双线性变换法将转换成1/5/202326数字信号处理陈鹏3299340设计步骤确定系数：12/28/202226数举例—冲激响应不变法例4.4采用冲激响应不变法设计一个数字Chebyshev低通滤波器，在通带截止频率处衰减不大于1dB，在阻带截止频率处衰减不小于15dB。解：

根据滤波器的指标求。设则1/5/202327数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法例4.4采用冲激响应不变法设计一举例—冲激响应不变法因此有效通带截止频率取N=4。验算表明，通带内满足技术指标，在阻带截止频率处幅度响应衰减为-21.5834dB，超过了指标。1/5/202328数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法因此有效通带截止频率12/28/2022举例—冲激响应不变法求滤波器的极点所以求得s平面左半平面的共轭极点对为1/5/202329数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法求滤波器的极点12/28/202229数举例—冲激响应不变法

由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数系数B由s=0时滤波器的幅度响应确定。因为N为偶数，所以由此得B=0.03828。因此1/5/202330数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数举例—冲激响应不变法

采用冲激响应不变法将转换成可以代入来验证滤波器的各项性能指标是否满足要求。值得注意的是，由于混叠现象，阻带边缘处的衰减要比模拟滤波器稍差一些。但在模拟滤波器设计中，由于N取整使得在阻带截止频率处的衰减比规定指标要大，所以设计出来的数字滤波器还是满足规定的技术指标的。1/5/202331数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法采用冲激响应不变法将举例—冲激响应不变法上述设计过程的MATLAB程序如下wp=0.2*pi;wt=0.3*pi;wc=wp;alpha=1;beta=15;ep=sqrt(10^(alpha/10)-1);A1=10^(beta/10)-1;A12=sqrt(A1);N=acosh(A12/ep)/acosh(wt/wc),pauseN=ceil(N)aph=1/ep+sqrt(1+1/ep/ep);a=0.5*(aph^(1/N)-aph^(-1/N));b=0.5*(aph^(1/N)+aph^(-1/N));awc=a*wc;bwc=b*wc;[z,p,k]=cheby1(N,1,0.2*pi,'s'),pause[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause[b,a]=zp2tf(z,p,k);[bz,az]=impinvar(b,a),pause[sos,g]=tf2sos(bz,az),1/5/202332数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法上述设计过程的MATLAB程序如下wp=举例—双线性变换法例4.5采用双线性变换法设计一个数字Chebyshev低通滤波器，在通带截止频率处衰减不大于1dB，在阻带截止频率处衰减不小于15dB。解:滤波器的技术指标不变，所以都与上例一样，但应进行预畸变，即其它过程与上例一样，不再重复。1/5/202333数字信号处理陈鹏3299340举例—双线性变换法例4.5采用双线性变换法设计一个数字举例—双线性变换法

上述设计过程的MATLAB程序如下wp=0.2*pi;wt=0.3*pi;wc=wp;alpha=1;beta=15;wc=2*tan(wc/2);ep=sqrt(10^(alpha/10)-1);A1=10^(beta/10)-1;A12=sqrt(A1);N=acosh(A12/ep)/acosh(wt/wc),pauseN=ceil(N)aph=1/ep+sqrt(1+1/ep/ep);a=0.5*(aph^(1/N)-aph^(-1/N));b=0.5*(aph^(1/N)+aph^(-1/N));awc=a*wc;bwc=b*wc;[z,p,k]=cheby1(N,1,wc,'s'),pause[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause[b,a]=zp2tf(z,p,k);[bz,az]=bilinear(b,a,1),pause[sos,g]=tf2sos(bz,az),1/5/202334数字信号处理陈鹏3299340举例—双线性变换法上述设计过程的MATLAB程序如下wp=IIR滤波器的Matlab设计MATLAB提供了相应函数来实现前面介绍的各种IIR设计方法，其中最主要的有：MATLAB函数描述butterButterworth数字滤波器cheby1ChebyshevI型数字滤波器cheby2ChebyshevII型数字滤波器ellip椭圆数字滤波器MATLAB还提供了一个数字滤波器设计的集成环境程序fdatool1/5/202335数字信号处理陈鹏3299340IIR滤波器的Matlab设计MATLAB提供了相应函数来实数字切比雪夫滤波器

ChebyshevFilterLesson201/5/202336数字信号处理陈鹏3299340数字切比雪夫滤波器

ChebyshevFilterLessButterworth滤波器1/5/202337数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器12/28/20222数字信号处Butterworth滤波器总结设计数字Butterworth滤波器的步骤如下根据实际需要规定滤波器的数字截止频率处的衰减，单位为dB

由数字截止频率处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率1/5/202338数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器总结设计数字ButterwortButterworth滤波器求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成系统函数左半平面的极点：系统函数：使用冲激不变法或双线性变换法将转换成数字滤波器的系统函数1/5/202339数字信号处理陈鹏3299340Butterworth滤波器求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由Chebyshev滤波器—两种类型I型：在通带内的幅度是等波纹的，而在阻带内是单调下降的；II型：在通带内的幅度是单调下降的，但在阻带内是等波纹的。幅度平方函数由Chebyshev多项式定义。

1/5/202340数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器—两种类型I型：在通带内的幅度是等波Chebyshev滤波器式中，称为纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；为有效通带截止频率，它与Butterworth滤波器的有些不同，巴特沃斯滤波器的幅度响应在处衰减为3dB，而Chebyshev滤波器只有在当时，其幅度响应在处的衰减才为3dB；1/5/202341数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器12/28/20226数字信号处理Chebyshev多项式二项式定义：Chebyshev多项式定义如下：其中，N为阶数。不同N值对应的Chebyshev多项式如右所示。Chebyshev多项式满足以下递推公式1/5/202342数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式二项式定义：Chebyshev多项式Chebyshev多项式实三角函数：Chebyshev多项式定义如下：1/5/202343数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式实三角函数：Chebyshev多项式Chebyshev多项式复三角函数：Chebyshev多项式可以用复三角函数定义为或1/5/202344数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式复三角函数：Chebyshev多项式Chebyshev多项式的函数曲线1/5/202345数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线12/28/202210数Chebyshev多项式的函数曲线从图中可以看出:当时，具有等波纹性质，即在-1和1之间等幅振荡，且N越大，振荡越快；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升，N越大曲线上升越快；当时，偶数N对应的按双曲余弦函数单调下降，奇数N对应的按双曲余弦函数单调上升；N为偶数时为偶函数，N为奇数为奇函数。1/5/202346数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线从图中可以看出:12/2Chebyshev滤波器1/5/202347数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev滤波器12/28/202212数字信号处理幅度响应曲线N是滤波器的阶数。下图分别显示N为奇数(N=3)和N为偶数(N=4)时的切比雪夫滤波器的幅度响应曲线。1/5/202348数字信号处理陈鹏3299340幅度响应曲线N是滤波器的阶数。下图分别显示N为奇数(关键参数Chebyshev滤波器由等3个参数确定。从上图可看出:Chebyshev滤波器在通带内，其幅度响应在1和之间起伏变化，而在阻带内是单调下降的；N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为；N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1。1/5/202349数字信号处理陈鹏3299340关键参数Chebyshev滤波器由极点分布Chebyshev滤波器有极点，而零点在处。现在来确定模拟Chebyshev滤波器的极点分布。重写幅度平方函数为可求出极点对应于令，则上式为1/5/202350数字信号处理陈鹏3299340极点分布Chebyshev滤波器有极点，而零点在极点分布Chebyshev的多项式反函数为把代入上式得1/5/202351数字信号处理陈鹏3299340极点分布Chebyshev的多项式反函数为把极点分布其中上式是一个复数椭圆方程，椭圆的长半轴为，短半轴为。Chebyshev滤波器共有2N个极点，它们关于虚轴对称地分布在一个椭圆上，N为偶数时实轴上无极点，N为奇数时实轴上有两个极点。它们的分布见书P132的图。1/5/202352数字信号处理陈鹏3299340极点分布上式是一个复数椭圆方程，椭圆的长半轴为参量确定由允许的通带纹波确定。如果在处允许的通带衰减为，那么可以这样确定因此1/5/202353数字信号处理陈鹏3299340参量确定12/28/202218数字信号处理陈Chebyshev多项式的函数曲线1/5/202354数字信号处理陈鹏3299340Chebyshev多项式的函数曲线12/28/202219数幅度响应曲线1/5/202355数字信号处理陈鹏3299340幅度响应曲线12/28/202220数字信号处理截止频率确定是Chebyshev滤波器有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常是给定的。当为1时，就是通带的3dB截止频率，这与Butterworth滤波器的3dB截止频率相对应。1/5/202356数字信号处理陈鹏3299340截止频率确定12/28/202221数字信号处理阶次N确定滤波器的阶次Chebyshev滤波器的阶次N由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率处的允许衰减为，即由此得到计算滤波器阶次N的公式1/5/202357数字信号处理陈鹏3299340阶次N确定滤波器的阶次12/28/202222数字信号处理设计步骤根据滤波器的指标确定为有效通带截止频率，一般是给定的。由以下公式计算。，1/5/202358数字信号处理陈鹏3299340设计步骤根据滤波器的指标确定设计步骤计算并求出极点1/5/202359数字信号处理陈鹏3299340设计步骤计算12/28/202224数字信号处理设计步骤由s平面左半平面的极点构成系统函数N为偶数时

为左半平面的极点，为的共轭极点,N为奇数时

是左半平面实轴上的极点。1/5/202360数字信号处理陈鹏3299340设计步骤由s平面左半平面的极点构成系统函数12/28/2设计步骤确定系数：由时滤波器幅度响应的值确定。当N为奇数时，；当N为偶数时，利用冲激响应不变法或双线性变换法将转换成1/5/202361数字信号处理陈鹏3299340设计步骤确定系数：12/28/202226数举例—冲激响应不变法例4.4采用冲激响应不变法设计一个数字Chebyshev低通滤波器，在通带截止频率处衰减不大于1dB，在阻带截止频率处衰减不小于15dB。解：

根据滤波器的指标求。设则1/5/202362数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法例4.4采用冲激响应不变法设计一举例—冲激响应不变法因此有效通带截止频率取N=4。验算表明，通带内满足技术指标，在阻带截止频率处幅度响应衰减为-21.5834dB，超过了指标。1/5/202363数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法因此有效通带截止频率12/28/2022举例—冲激响应不变法求滤波器的极点所以求得s平面左半平面的共轭极点对为1/5/202364数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法求滤波器的极点12/28/202229数举例—冲激响应不变法

由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数系数B由s=0时滤波器的幅度响应确定。因为N为偶数，所以由此得B=0.03828。因此1/5/202365数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法由左半平面极点构成模拟滤波器的系统函数举例—冲激响应不变法

采用冲激响应不变法将转换成可以代入来验证滤波器的各项性能指标是否满足要求。值得注意的是，由于混叠现象，阻带边缘处的衰减要比模拟滤波器稍差一些。但在模拟滤波器设计中，由于N取整使得在阻带截止频率处的衰减比规定指标要大，所以设计出来的数字滤波器还是满足规定的技术指标的。1/5/202366数字信号处理陈鹏3299340举例—冲激响应不变法采用冲激响应不变法将举例—冲激响应不变法上述设计过程的MATLAB程序如下wp=0.2*pi;wt=0.3*pi;wc=wp;alpha=1;beta=15;ep=sqrt(10^(alpha/10)-1);A1=10^(beta/10)-1;A12=sqrt(A1);N=acosh(A12/ep)/acosh(wt/wc),pauseN=ceil(N)a